Formulation d’un modèle de covariance d’erreur d’ébauche multivarié pour l’assimilation variationnelle océanique: introd

1. Formulation d’un modèle de covariance d’erreur d’ébauche multivarié pour l’assimilation variationnelle océanique: introduction de contraintes physiques Thèse effectuée au CERFACS par Sophie Ricci sous la direction d’Anthony Weaver et Olivier Thual Global Change and Climate Modelling Team École Doctorale SDU2E Océanographie Physique Soutenance de thèse, le 29 Mars 2004, CERFACS

2. Pourquoi assimiler des données océaniques? Évènement El niño 1996-97

3. Pourquoi assimiler des données océaniques? Cartes d’anomalies de T pour 1996-97 et 2001-2002 Décembre 1996 Juin 1997 Décembre 2001 Juin 2002

4. Pourquoi assimiler des données océaniques? passé futur Ré-analyses Prévision océanique Prévision saisonnière • Objectifs : • Condition initiale pour la prévision • Meilleure compréhension a posteriori de la circulation océanique

5. Plan de l’exposé I - L’assimilation de données océaniques II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche B III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical. IV - Conclusions et Perspectives

6. a- Un peu d’histoire. I – L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie Définition : L’assimilation de données est une technique qui vise à estimer l’état d’un système dynamique en combinant des informations d’origines diverses. Première application en astronomie par K.F. Gauss pour la détermination de l’orbite de Cérès, A-M. Legendre pour l’étude des orbites planétaires et P.-S. Laplace pour l’étude du système solaire. Application à l’automatique et au filtrage avec la méthode de Kalman. Première application aux sciences de la terre en prévision atmosphérique pour l’identification de conditions initiales (Gandin, 1963). Utilisation dans les centres de prévision opérationnels (Météo-France, ECMWF …). Application à l’océanographie pour l’étude de la dynamique océanique et de son rôle pour la variabilité climatique.

7. I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie Position observée b- Le processus d’assimilation Position exacte Équation de mouvement + C.I : C. I

8. De quoi a-t-on besoin pour assimiler des données océaniques? • Description de l’océan par les observations le modèle + C.I • Techniques d’assimilation • Moyens de calcul et stockage • Outils logiciels I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie OI, 3D-Var, 4D-Var, Filtres de Kalman …

9. I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie c- Description de l’océan Le modèle : Système d’équations qui décrit la propagation de l’état de l’océan au cours du temps. • Modèle OPA (Madec et al., 1998) : • Version globale // restreinte au Pacifique Tropical • Configuration à surface libre // toit rigide • Vecteur d’état : température, salinité, courants, éventuellement hauteur de mer

10. I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie Les observations: Mesures des champs océaniques de température, salinité, courants, concentration en chlorophylle … en surface ou en profondeur. Observations In situ • Directement liées aux variables du modèle • Peu nombreuses • Inégalement réparties en espace et en temps Observations satellitaires • Interprétation 3D d’une information 2D • Très nombreuses • Réparties le long des traces, récurrentes

11. I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie d- L’assimilation de données en océanographie Optimisation de l’information provenant du modèle et des observations en sachant que chaque information est entachée d’une erreur Océan “vrai” Observations Modèle Analyse • Les observations : • erreur instrumentale • erreur de représentativité • couverture spatio-temporelle inhomogène • Le modèle numérique : • erreur modèle • simplification des équations physiques • - discrétisation - troncature • erreur sur les conditions initiales • erreur sur les conditions aux limites

12. I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie Ce que l’on connaît Observations Modèle Calcul innovations État vrai à l’instant Ce que l’on cherche à estimer Condition initiale telle que soit le plus proche de la trajectoire réelle Comment ? Description de la condition initiale Ébauche Évolution temporelle Trajectoire de l’ébauche Ce que l’on ne connaît pas Problème inverse de x

13. I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie Formulation des erreurs est inconnu On modélise ces matrices : Partie II d’ébauche d’observation Définition des matrices de covariance d’erreur(Cohn, 1997) La taille du système ne permet pas le stockage de tous les termes de ces matrices

14. I - L’assimilation de données océaniques a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation c- Description de l’océan d- L’assimilation en océanographie L’approche variationnelle : résolution du problème inverse par la minimisation d’une fonction coût Formulation 3D-Var/4D-Var(Courtier et al., 1994): Dans le 3D-Var (FGAT), l’incrément est constant sur une fenêtre d’assimilation Dans le 4D-Var, l’incrément est propagé par le modèle linéaire tangent • Approche incrémentale : • linéarisation au voisinage de l’ébauche • l’inconnue est l’incrément

15. Plan de l’exposé I - L’assimilation de données océaniques II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche B III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical. IV - Conclusions et Perspectives

16. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre a- Définition et interprétation physique On suppose les covariances d’erreur d’ébauche non-biaisées E: Espérance mathématique T: Transposée Écart entre l’état vrai et l’ébauche : Matrice de covariances d’erreur de x’ :

17. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Variances d’erreur en chaque point de grille Covariances univariées entre les erreurs à différents points de grille pour une variable donnée de x’ Covariances multivariées entre deux différentes variables de x’

18. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Incrément d’analyse 3D-Var : Assimilation de données de température: Utilisation de la première colonne de B pour distribuer l’information provenant de l’observation L’outil statistique B a un impact physique : distribution spatiale de l’information distribution de l’information entre les variables

19. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Exemple : 1 observation de T située sur un point de la grille Distribution spatiale de l’information : construction de l’incrément de température Champ T Distribution de l’information entre variables : construction de l’incrément de salinité Champ S

20. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre b- Modélisation Impossible de connaître les termes de B Modélisation sous forme d’un produit d’opérateurs Matrice de covariances univariées de Un modèle univarié : Représentation des covariances univariées uniquement Distribution spatiale de l’information Univarié

21. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre c- L’opérateur de corrélation Modélisation des variances d’erreur et des corrélations par des opérateurs distincts: Matrice d’écart-types pour les variables de Matrice de corrélations pour les variables de

22. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Assimilation variationnelle Pas nécessaire d’exprimer la matrice On veut évaluer le produit MATRICE * VECTEUR : Formulation du produitpar un calcul intégral Exemple pour les corrélations verticales • Comment calculer cette intégrale ? • Application d’un filtre diffusif tri-dimensionnel • Implémentation : discrétisation explicite/implicite du schéma temporel est la fonction de corrélation symétrique adimensionnelle

23. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Bibliographie : Impact sur la dynamique océanique (Pacifique tropical) dans le contexte de l’assimilation univariée de données de température Introduction d’une contrainte T-S pour préserver les propriétés thermo-halines des masses d’eau lors de l’assimilation de données de température Plus généralement, modélisation des covariances multivariées grâce à un opérateur d’équilibre K • Amélioration de la structure thermique (Vialard et al., 2003, Weaver et al., 2003) • État moyen • Variabilité (Comparaison à un jeu de données indépendant) • Dégradation de la structure haline (Vialard et al., 2003, Weaver et al., 2003) • Perte du maximum de salinité en sub-surface • Création de masses d’eaux instables • Génération de courants artificiels (Burgers et al., 2002) • Courant équatorial de surface biaisé • Remontée en surface du sous courant équatorial • ‘‘Downwelling’’ dans l’est du bassin équatorial

24. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre d- L’opérateur d’équilibre Univarié I I I I I I I I I I Un modèle multivarié Représentation des covariances multivariées Distribution de l’information entre les variables K: opérateur d’équilibre Séparation en composantes équilibrées et non- équilibrées : (Derber et Bouttier, 1999) Balanced (équilibrées) Unbalanced (non-équilibrées)

25. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre décrit les covariances univariées pour le vecteur de contrôle dont les composantes sont indépendantes les unes des autres Composantes non équilibrées Composantes équilibrées décrit les relations d’équilibre entre les variables du modèle

26. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Formulation en contrainte forte: Relation T-S: Les parties non-équilibrées des variables de sont négligées et leurs statistiques sont supposées connues et nulles K =

27. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre La contrainte température-salinité = b b S S ( T ) • Relation T-S locale issue de l’ébauche (Troccoli et al., 2002) • Introduction de cette contrainte dans B après linéarisation • Perturbations de T-S proviennent de déplacements verticaux des isopycnes de l’ébauche • Conservation des propriétés T-S dans les régions où les processus isentropiques dominent  = 0 fort mélange =1ailleurs  = 0 fort mélange =1ailleurs

28. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Illustration sur l’assimilation 3D-Var de T État ‘‘vrai ’’ connu 11 données synthétiques de T Incréments ‘‘vrais’’ de T et S connus S incrément “vrai” “innovations” T Incrément d’analyse en température Incrément d’analyse en salinité 0 0 • 3D-Var simple (analyse à t donné) • Expérience jumelle • Assimilation de 11 données de T le long d’un profilvertical • Relation T-S

29. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Illustration sur l’assimilation 4D-Var de SSH Salinité (psu) remontée d’eau froide anomalie négative de T sur-élévation du profil de T Température (°C) Salinité (psu) 4D-Var multivarié Température (°C) • 4D-Var • Assimilation d’une données de SSH à t = 30 jours • Modèle de B univarié Le 4D-Var génère un incrément de SSH, T, S, u et v à t=0 jours • dynamique thermique ou haline ? • équilibre dynamique entre δη, δT, δS ? anomalie négative de SSH remontée d’eau plus dense remontée d’eau plus salée anomalie positive de S enfoncement du profil de S

30. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Illustration sur l’assimilation 4D-Var de SSH Salinité (psu) Température (°C) Salinité (psu) sur-élévation du profil de T sur-élévation du profil de S Température (°C) • 4D-Var • Assimilation d’une données de SSH à t = 30 jours • Modèle de B multivarié T-S • Dynamique thermique • Préservation des propriétés T-S des masses d’eau

31. II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche a- Définition et interprétation physique b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation d- L’opérateur d’équilibre Conclusions • Def.: Statistiques sur les écarts entre l’état ‘‘vrai ’’ et l’ébauche • 2 rôles principaux: distribution spatiale • distribution entre variables • Impossible de calculer B Modélisation • Séquence d’opérateurs traitant séparément les covariances univariées et multivariées • Corrélations spatiales représentées par l’application d’un filtre diffusif • Analyse dynamiquement incohérente • Covariances multivariées modélisées grâce à l’application d’un opérateur d’équilibre • Relation T-S permet la préservation des propriétés thermo-halines des masses d’eau

32. Plan de l’exposé I - L’assimilation de données océaniques II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche B III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical. IV - Conclusions et Perspectives

33. a- Contexte des expériences longues • Assimilation de données de température du réseau GTSPP • Données TAO (moyennes journalières), CTD, XBT (20 à 30 000/mois) • Configuration toit rigide Pacifique tropical (T, S, u, v) ~ • Résolution 1° x 0.5 °/ 2° x 25 niveaux verticaux • Système 3D-FGAT (Weaver et al., 2003) III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Modèle d’océan et méthode d’assimilation: Modèle de covariance d’erreur d’ébauche: • Ecart-type issue de la climatologie d’une expérience forcée • Échelles de corrélation spatiales variables • Relation T-S Modèle de covariance d’erreur d’observation: • Diagonal • Erreur: 0.5 °C pour les données TAO et 1 °C pour les XBT • 3 expériences (Ricci et al., 2004) • CTL run de contrôle forcé sans assimilation • NOTS assimilation univariée de T • TS assimilation de T + relation T-S

34. Pincement de la thermocline dans NOTS et TS par rapport à CTL Restauration du maximum de salinité (35.2 psu) dans TS TS Climatologie Levitus NOTS CTL b- Impact sur la dynamique III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Impact sur la structure thermo-haline moyenne : Section verticale le long de l’équateur de la climatologie de sel 1993-98

35. CTL TS NOTS Levitus III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Salinité moyenne sur la boite TAO Jan. 93 Jan. 94 Jan. 95 Jan. 96 Jan. 97 Jan. 98 Profil moyen de sel sur la boite TAO pour 1996 • Cas univarié (T) : • Diminution/augmentation de la salinité dans l’océan de surface/de sub-surface • Destruction du maximum de salinité • Développement d’une circulation artificielle (Troccoli et al., 2002) • Cas Multivarié (T-S): • Préservation du maximum de salinité en sub-surface • Conservation des masses d’eau • Rétablissement de la dynamique Levitus Profondeur (m) Salinité (psu)

36. Impact les courants : III – Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Climatologie Reverdin et al. Courants de surface Pacifique tropical CTL NOTS Biais du courant de surface équatorial vers l’Est TS Correction du courant de surface

37. Utilisation d’une contrainte sur les vitesses dans K Amélioration par la contrainte T-S III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Comparaison aux observations de courant TAO indépendantes: Courants à 165°E Courants à 140°W Courants à 110°W TAO Obs. CTL NOTS TS • Correction du courant de surface • Amélioration des courants en sub-surface mais encore imparfaits • Maximum imparfait

38. Les courants géostrophiques III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Érosion du maximum de sel dans NOTS Creux de hauteur dynamique biais du courant de surface vers l’Est dans NOTS Anomalie de courant géostrophique

39. c- Étude des budgets III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Équation de la chaleur au temps t: (A) Équation d’eau fraîche au temps t: (B) • Prise en compte des forçages dans le terme de diffusion vertical • Intégration de (A) et (B) sur 1993-98

40. NOTS CTL TS -u T/x -w T/z T Contribution du terme d’advection zonale au budget de chaleur Contribution du terme d’advection verticale au budget de chaleur Incrément de température III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets

41. Eaux chaudes Eaux froides Advection zonale positive et advection verticale négative se compensent pour maintenir la thermocline -u T/x -w T/z T Contribution du terme d’advection zonale au budget de chaleur Contribution du terme d’advection verticale au budget de chaleur Incrément de température III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets CTL

42. -u T/x -w T/z T Contribution du terme d’advection zonale au budget de chaleur Contribution du terme d’advection verticale au budget de chaleur Incrément de température III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets NOTS • et plus fort que dans CTL • Sous-courant zonal plus fort que dans CTL • “ Upwelling ” équatorial plus fort que dans CTL Advection zonale positive et advection verticale négative plus fortes que dans CTL Déséquilibres locaux (biais) compensés par l’incrément de T

43. -u T/x -w T/z T Contribution du terme d’advection zonale au budget de chaleur Contribution du terme d’advection verticale au budget de chaleur Incrément de température III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets • Structure de la thermocline identique à celle de NOTS • Réduction du sous courant zonal par rapport à NOTS • Réduction de l’upwelling équatorial par rapport à NOTS Réduction de l’advection zonale et de l’advection verticale Tendance de l’assimilation à produire un biais de T plus petit à corriger TS

44. Évolution temporelle des contributions dynamiques au budget de sel (TAO 0-300m) Forçages Total Diffusion verticale Advection Diffusion horizontale Incrément de sel III – Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets CTL NOTS Faible mélange vertical Dérive du contenu de sel Dérive de l’advection (hor.+ vert.) TS Terme d’advection proche de celui du contrôle Incrément de sel

45. Conclusions III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical a- Contexte des expériences longues b- Impact sur la dynamique c- Étude des budgets Impact de l’introduction de la relation T-S dans B • Meilleure représentation • de la structure haline • des courants • Réduction du biais de T induit par la circulation artificielle due à l’assimilation • Le terme d’advection est responsable de la dérive en sel dans l’océan de sub-surface dans l’expérience univariée, le terme de mélange a un rôle moindre • L’incrément de S permet de compenser le biais de sel généré par l’assimilation : semblable au phénomène observé pour la température

46. Plan de l’exposé I - Qu’est ce que l’assimilation de données ? II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche B III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical. Conclusions et Perspectives I - Qu’est ce que l’assimilation de données ?

47. Conclusions L’assimilation en océanographie: Pourquoi? • Meilleure connaissance du climat • Meilleure compréhension de la dynamique océanique • Prévision des phénomènes océaniques ou atmosphériques importants L’assimilation en océanographie: Comment ? Combine l’information provenant du modèle et des observations pour donner l’estimation de l’état océanique la plus proche possible de l’état ‘‘vrai’’ • Choix d’une méthode variationnelle • Utilisation des observations in situ de température

48. Modélisation de la matrice de covariance d’erreur d’ébauche • Représentation des covariances univariées et multivariées par des opérateurs distincts • Modélisation des covariances univariées par un opérateur intégral à travers l’application d’un filtre diffusif 3D • Analyse 3D-Var univariée génère une circulation artificielle • Représentation des covariances multivariées par l’application de l’opérateur d’équilibre K • Dans le contexte de l’assimilation de données de T, la relation T-S permet une représentation réaliste de la circulation océanique pour le Pacifique tropical Un modèle pour la matrice B

49. L’opérateur d’équilibre K • résultats exposés : application de K comme une contrainte forte • tests : assimilation de données de salinité (K contrainte faible) • Introduction de contraintes physiques entre η, T, S, u et v dans K • Application de ce modèle de B dans le cadre de l’assimilation globale Bonne représentation des termes de B et analyse dynamiquement cohérente

50. Le modèle global CTL Coupe verticale de salinité le long de l’équateur : (Climatologie 1990-1999) NOTS Destruction de la stratification en sel Érosion du maximum de salinité Relation T-S TS Préservation de la stratification Préservation du maximum de sel