1 / 55

Povijest matematike Doba renesanse

Povijest matematike Doba renesanse. F. M. Br ü ckler Ak.God. 2008/09. Razvoj matematičke notacije. U renesansi se počinje sustavno razvijati matematička notacija Kao oznake za nepoznanicu i njen kvadrat vrlo su raširene latinske riječi res i census

libitha
Download Presentation

Povijest matematike Doba renesanse

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Povijest matematike Doba renesanse F. M. Brückler Ak.God. 2008/09

  2. Razvoj matematičke notacije • U renesansi se počinje sustavno razvijati matematička notacija • Kao oznake za nepoznanicu i njen kvadrat vrlo su raširene latinske riječi res i census • U doba renesanse uvode se oznake +, −, =, <, >, √

  3. Njemačka renesansa • Johan Müller (Regiomontanus), 15. st. – trigonometrija; res-census terminologija • Johannes Widman, 15. st. – prvo korištenje znakova + i − • Michael Stifel, 16. st. – koristi znakove + i − te √ (Arithmetica integra, 1544.), za 24:8 pište 8)24, ima i oznake za potencije

  4. Christoff Rudolff, 16. st. – prva njemačka knjiga o algebri (1525. Die Coss kosisti), oznake za treći i četvrti korijen: • Adam Riese, 16. st. – aritmetički udžbenik “za svakog”

  5. Engleska renesansa • Robert Recorde, 16. st. – znak = • Thomas Harriot, 16.-17.st. – znakovi < i >; sferna trigonometrija i kartografija; uočio da ako su a,b,c rješenja kubne jednadžbe, možemo ju zapisati u obliku (x-a)(x-b)(x-c)=0

  6. Francuska renesansa • Nicolas Chuquet, 15.st. – prva francuska knjiga o algebri (1484.), potencije s pozitivnim i negativnim koeficijenitima (i nulom), npr. 123 odgovara današnjem 12x3 • François Viète (1540.-1603.) – predlaže korištenje suglasnika za konstante, a samoglasnika za nepoznanice • Koristi +, −, razlomačku crtu

  7. Talijanska renesansa • Fra Luca Pacioli (1445.-1517.) Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita: res-census terminologija, p. za +, m. za −, R. za √ 6.p.R.1018.m.R.90 108.m.R.3240.p.R.3240.m.R.90hoc est 78. (6 + √10) (18 - √ 90) = (108- √3240 + √3240 - √900)što je 78. (Broj 90 je zapravo štamparska greška: treba biti 900 ali je margina bila preuska pa je odbačena zadnja nula)

  8. Rafael Bombelli (1526.-1572.)

  9. Renesansna algebra • Rješenje jednadžbe u radikalima je opis (formula) rješenje opisana preko četiri osnovne računske operacije i korijena (konačno mnogo operacija!) • Mogu li se jednadžbe stupnja 3 riješiti u radikalima? A što je s jednadžbama stupnja 4?

  10. Fra Luca Pacioliu Summa-i: diskusija jednadžbi 4. stupnja: x4 = a + bx2se može riješiti preko kvadratne jednadžbe, a x4 + ax2 = bix4 + a = bx2se ne mogu riješiti pri trenutnom stanju znanosti • matematičari renesanse znaju da je dovoljno znati riješiti kubnu jednadžbu bez kvadratnog člana: y3 + Ay2 + By + C = 0 y =x− A/3  x3 + px = q

  11. nepoznati neg. brojevi  više tipova kubnih jednadžbi: x3+px=q x3=px+q x3+q =px • Scipione del Ferro (1465.-1526.) – ca. 1515. rješava reduciranu jednadžbu prvog tipa, postupak drži tajnim • poslije njegove smrti to rješenje imaju (bar) njegov zet Hannibal Nave te student kojem je del Ferro pred smrt otkrio metodu (Antonio Fior, osrednji matematičar, hvali se poznavanjem rješenja)

  12. Niccolo Fontana Tartaglia (1499-1557) • samouk matematičar, 1512. kad su • Francuzi osvojili Brescia-u usred općeg pokolja • dobija udarac sabljom u čeljustkoja mu je • rasječena i ostavljen je kao mrtav, zahvaljujući majčinoj brizi preživljava, no ostaje mu nakaznost i teškoće u govoru zbog kojih dobiva nadimak Tartaglia = mucavac

  13. Tartaglia rješava jednadžbu tipa x3 + px2 = q i ne taji svoje otkriće • Fior ga izaziva na natjecanje (1535): svaki zadaje 30 zadataka, rok 50 dana, pobjednik je tko riješi više • Tartaglia je očekivao da će svi Fiorovi zadaci biti istog tipa; razvija vlastitu, u biti del Ferrovu, metodu za ostale tipove i pobjeđuje (u 2 sata riješio sve Fiorove probleme)

  14. Girolamo Cardano1501.-1576. • Liječnik iz Pavia-e • Buran renesansni život • Cardano saznaje za natjecanje i postojanje rješenja kubne jednadžbe, želi saznati Tartaglia-inu metodui poziva ga 1539. u Milano • uspijeva ga nagovoriti, uz zakletvu da metodu neće odati

  15. Kad su kub i stvari* skupa Jednaki nekom diskretnom brojuNađi druga dva broja Koji se za taj razlikujuTad ćeš to zadržati kao naviku Da im je produkt uvijek jednak Točno kubu treće od stvari Ostatak tad kao opće pravilo Od njihovih oduzetih kubnih korijena Bit će jednak tvojoj osnovnoj stvari Rješenje kubne jednadžbe *cosa=stvar (sinonim za nepoznanicu u doba renesanse); algebraičari = kosisti cosa i kub = jednadžba x3 + ax = b(a, b > 0)

  16. Cardano i student mu Ferrari razvijaju metodu do kraja, a saznaju i da Tartaglia nije prvi koji je otkrio rješenje  1545 Cardano objavljujeArs magnau kojoj je rješenje jednadžbi 3. i 4. stupnja(uz isticanje otkrića del Ferra i Tartagliae) • Tartaglia 1546 objavljuje svoju verziju priče, napada Cardana, za čiju obranu je zadužen Ferrari, koji ga izaziva na natjecanje (u Milanu 1548) – Tartaglia napušta natjecanje

  17. Metoda: x3= 3px + 2qpretpostavimo da je rješenje oblika x=u+v

  18. Pojava kompleksnih brojeva • Cardano – rješavanje prethodne jednadžbe • Rafael Bombelli1572.daje prva pravila za rad s kompleksnim brojevima • Jednostavno je pretpostavio da postoje brojevi oblika a+√b i primijenio uobičajena pravila

  19. http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/ComplexNumberOrigin.htmlhttp://math.fullerton.edu/mathews/n2003/ComplexNumberOrigin.html

  20. Lodovico Ferrari (2.2.1522.-5.10.1565.) Riješio je jednadžbu 4. stupnja svođenjem na jednadžbe 2. i 3. stupnja: za slučaj jednadžbe bez kubnog člana, iz x4 + px2 + qx + r = 0 svodimo na potpun kvadrat: x4 + 2px2 + p2 = px2 - qx + p2 - r (x2 + p)2 = px2 - qx + p2 - r E, sad: za svaki y je (x2 + p + y)2 = px2 - qx + p2 - r + 2y(x2 + p) + y2= (p + 2y)x2 - qx + (p2 - r + 2py + y2) (*)

  21. Desna strana je kvadratna u x i možemo odabrati y tako da bude potpun kvadrat (tj. diskriminanta bude 0 – taj uvjet daje kubnu jednadžbu za y: -8y3-20py2+(8r-16p2)y+q2-4p3+4pr=0). Riješimo tu kubnu jednadžbu- za dobiveni y je desna strana u (*) potpun kvadrat, pa korjenujemo i dobijemo kvadratnu jednadžbu za x: x2+p+y=kv.korijen desne strane.

  22. François Viète(1540-1603)Quod est, nullum non problema solvere. – Nema problema koji se ne može riješiti. • dao prvu jednadžbu stupnja n s n rješenja • Arhimedovom metodom, upisivanjem 393216-erokuta izračunao je π na 9 decimala • dao, koliko je poznato, najstariji prikaz broja π kao beskonačnog produkta • Viètove formule • vidi: Osječka matematička škola, 2 (2002), br.2

  23. Viète – pravnik i hobi-matematičar, savjetnik kraljeva Henrika III i IV • 1590 dešifrirao španjolski kod • 1593 belgijski matematičar Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus, 1561-1615)zadaje zadatak s jednadž-bom stupnja 45; nizozemski ambasa-dor u Francuskoj izjavljuje da Francus-ka nema dovoljno dobrih matematičara da riješe van Roomenov problem kralj Henrik IV ga daje Vièteu, koji ga rješava uočivši u njegovoj pozadini trigonometrijsku relaciju

  24. Otkriće logaritama

  25. Zašto uvesti logaritme? • lakše je zbrajati nego množiti  korisno je moći svesti množenje dva broja na zbrajanje dva broja • ideja: napraviti tablice koje brojevima koje treba množiti pridružuju brojeve koje ćemo umjesto toga zbrojiti, a onda iz iste tablice vidimo koji produkt polaznih brojeva odgovara dobivenom zbroju • dva izvora otkrića logaritama: izrada trigonometrijskih tablica za korištenje u navigaciji; kamatni račun

  26. 1593.dva danska matematičara predlažu korištenje trig. tablica za olakšanje računa pomoću formule sin(A)cos(B) = (1/2)sin(A+B) + (1/2)sin(A-B) • npr. za 0.17365·0.99027, u tablicama nađemo 0.17365 = sin(10), 0.99027 = cos(8) te iz formule slijedi 0.17365·0.99027 =sin(10)cos(8) = (sin(18) + sin(2))/2 = /tablice/ = (0.30902 + 0.03490)/2 = 0.17196

  27. Tko je izmislio logaritme? • John Napier (Neper, 1550-1617) • škotski aristokrat, fanatični protestant, glavni interes mu je teologija i održava-nje svojih imanja, a matematika je hobi • najpoznatiji, ali ne i jedini matematički rezultat: tablica logaritama • Joost Bürgi (1552-1632) • najpoznatiji švicarski urar svog doba, konstruirao više znanstvenih instrumenata • radio je i na carskom dvoru u Pragu, gdje je Keplera uveo u algebru, a vj. ga je Kepler uvjerio da zapiše svoju konstrukciju logaritama

  28. Napierova konstrukcija logaritama • Mirifici logarithmorum canonis descriptio 1614 . • ideja: parovi nizova (uz fiksnu bazu: aritmetički niz eksponenata i pripadni geometrijski niz potencija): zbroj/razlika eksponenata odgovaraju produktima/kvocijentima potencija • prvo je svoje eksponente zvao “umjetni brojevi”, kasnije je smislio složenicu od “logos” i “arithmos”

  29. NapLog je padajući i nema baš svojstva koja danas očekujemo od logaritma

  30. Promatramo paralelno gibanje dvije točke A i B. Točka A se giba konstantnom brzinom (107)  njene pozicije u jednakim vremenskim intervalima čine aritmetički niz. Točka B giba se od 0 do 107 na paralelnom pravcu tako da joj brzina pada i brzine u uzastopnim intervalima čine geometrijski niz (brzina u svakom trenutku je po iznosu jednaka putu koji još treba preći). Udaljenost koju je točka A prešla do n-tog trenutka Napier zove logaritmom od udaljenosti koju B još treba preći u tom trenutku.

  31. Briggsov doprinos • Henry Briggs (1561-1630) – prof. geometrije u Oxfordu, oduševljen Napierovim tablicama, 1615. putuje u Edinburgh da posjeti Napiera i diskutira o logaritmima • već prije posjeta je u pismu predložio izradu tablice onog što bismo danas zvali dekadskim logaritmom i počeo ju konstruirati (dakle, predlaže log(1) = 0, log(10) = 1) • Briggs kreće od uvjeta log(10) = 1 i konsturira nove pomoću korijena (logaritam drugog korijena broja je pola njegova logaritma); 1624. Arithmetica Logarithmica – sadrži tablicu log. od brojeva od 1 do 20000 i 90000 do 100000 na po 14 decimala • Briggs uvodi pojmove mantise i karakteristike broja (mantisa je najveće cijelo brojeva dekadskog logaritma, a mantisa je decimalni dio)

  32. A što je napravio Bürgi? • tablicu prirodnih logaritama objavljenu 1620. • promatra (de facto) eksponencijalnu funkciju s bazom 1,0001 i promjene potencije koje uzrokuju promjenu eksponenta za 1 • tablica N, N, L za L=0,1,2,... • vidi se da zbroju L-ova odgovara produkt N-ova • finija razdioba L-ova (npr. gledamo L/104)  nova tablica (de facto samo izmjena baze na (1+0,0001)10000) – ponavljanje postupka dovodi do toga da je baza sve bliža broju e

  33. N geometrijski: ako je N=1,000110000L i L=0,0001 onda se prirasti L mogu prikazati kaopravokutnici širineN i visine 1/N gdjese za svaki N njegov prirast N bira tako da jepovršina pravokutnika L; Tada je L suma tih prirasta od 1 do N – što je aproksimativno ln N!

  34. Primjene matematike u fizici i astronomiji

  35. Nikola Kopernik (1473-1543) • od ca. 1510. razvija koncept heliocentričnog sustava (nije prvi kojem je to palo na pamet ) • prvi koji kretanjem Zemlje objašnjava prividno retrograd-no kretanje planeta • De revolutionibus orbium coelestium(1543) – pregled pripadne matematičke teorije • naizgled lošije od Ptolomeja: Kopernik pretpostavlja kružne orbite  mjerenja naizgled bolje odgovaraju Ptolomejevom nego njegovom koceptu

  36. Rheticus, mladi prof. matematike u Wittenbergu, je pomogao izdavanje iako je Rheticus protestant, Kopernik katolik, a sukobi u to doba na vrhuncu; Rheticus je manuskript na tiskanje odnio u Nürnberg, ali je brigu o tisku prepustio luteranskom teologu A. Osianderu koji je već imao iskustva s tiskanjem matematičkih tekstova • Osiander je umjesto originalnog Kopernikova predgovora umetnuo pismo čitateljima u kojima kaže da rezultati navedeni u knjizi nisu zamišljeni kao istina, nego kao jednostavniji način računanjapozicija nebeskih tijela; • također je malo izmijenio naslov tako da • manje izgleda kao tvrdnja o stvarnom svijetu

  37. Galileo Galilei (1564-1642) • obrazovan kao medicinar, bavio se astronomijom, fizikom (njihalo, kohezija, slobodni pad) i matematikom (prije svega kao argument u svojim fizikalnim i astronomskim radovima), ali i glazbom i slikanjem • 1609. izradio vlastiti teleskop i pomoću njega otkrio kratere na Mjesecu, Sunčeve pjege, četiri najveća Jupiterova mjeseca, i faze Venere (koje dokazuju kopernikanski stav: moguće su samo ako je Venera uvijek bliža Suncu nego je to Zemlja).

  38. predložio Galilejsku relativnost: svuda vrijede iste definicije gibanja  Galilejeve transformacije (točne za male brzine, za velike ih se mora zamijeniti Lorenzovim) 1632. Dijalog od dva glavna sustava svijeta – zamišljeno kao rasprava između kopernikanskog i ptolomejskog sustava, ismijava argumente Crkve  pada u nemilost, prisiljen odreći se kopernikanskih stavova i stavljen je u kućni pritvor; u kućnom pritvoru napisao je raspravu o novim znanostima, matematički vrlo rigoroznu (1638, Discorsi e dimonstrationi matematiche)

  39. Johannes Kepler (1571-1630) • 1596. Mysterium cosmographicum– prvi kozmološki model, mistički pitagorejski pogledi na svemir • uvjereni pristaša kopernikanske teorije • uspijeva postati asistent Tycha Brahea, danskog astronoma poznatog po kvalitetnim astronomskim tablicama – analizira ih nakon Braheove smrti • iz računa zaključuje da su planetarne orbite elipse Keplerov prvi kozmološki model (1596)

  40. Astronomia Nova(1609 – tri Keplerova zakona kretanja planeta • planeti se kreću po elipsama u čijem jednom fokusu je Sunce • radij-vektor planeta u jednakim vremenskim razmacima prelazi jednake površine • kvadrat perioda planeta je proporcionalan duljini glavne poluosi orbite (Harmonices mundi, 1619) Keplerova eliptička orbita za Mars

  41. Simon Stevin (1548-1620) • Belgijanac, vanbračno dijete, majka se kasnije vjenčala u kalvinističku obitelj • radio razne činovničke poslove, tek s 35 godina upisao sveučilište (Leiden) • važni doprinosi u trigonometriji, mehanici, arhitekturi i utvrđivanju, glazbi, zemljopisu i navigaciji • 1585 La Theinde (Desetina), knjižica s 29 strana o decimalnim razlomcima (koje su prije njega koristili Arapi i Kinezi, ali ih on uvodi u Evropu); komentira da je opće uvođenje decimalnih mjernih jedinica samo pitanje vremena

  42. 1586 De Beghinselen der Weegconst: teorem o trokutu sila (poticaj razvoja statike); treatise De Beghinselen des Waterwichts: hidrostatika – razvoj Arhimedovih ideja; tlak tekućine na plohu ovisi o visini tekućine i površini plohe. • 1586 (3 godine prije Galilea): različite mase danu visinu padaju jednako dugo (eksperiment bacanjem dvije olovne kugle s crkvenog tornja u Delftu) • 1608 De Hemelloop:astronomija – zagovornik Kopernika • piše i o perspektivi (čak za slučaj da platno nije okomito na tlo i o inverznoj perspektivi: gdje treba biti oko promatrača ako znamo gdje je objekt i kakva mu je slika)

  43. Primjena matematike u likovnoj umjetnosti u doba renesanse • Zlatni rez kao idealni omjer • Pravila linearne perspektive

  44. De divina proportione, (1509) – Luca Pacioli Luca Paciooli kako ga je prikazao Jacopo de Barbari, 1495

  45. ilustracije:da Vinci tema: zlatni rez, poliedri ... http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/leonardo.html

  46. http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/projects/perspective/ Pravila linearne perspektive • F. Brunelleschi – ca. 1415. ponovno otkriva pravilo jedinstvene izbježne točke paralelnih pravaca koji ne leže u ravnini slike, izračunavanje veličine slike objekta

  47. L. Alberti – De Pictura (1445.): prvo cjelovito djelo o pravilima perspektive  • P. Della Francesca – više matematičkih djela o perspektivi, s vlastitim teoremima (De prospectiva pingendi) P. Della Francesca: Bičevanje Krista

More Related