Ciąg Fibbonaciego - krótkie wprowadzenie

1. Ciąg Fibbonaciego - krótkie wprowadzenie Jakub Radziszewski

2. Wprowadzenie • Spośród wszystkich ciągów liczbowych, które występują, jeden jest szczególnie interesujący. Ciąg ten zawdzięcza swoją nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku słynną księgę Liber Abaci. Ojciec Leonarda nosił przydomek Bonacci, stąd syn został Fibonaccim (filiusBonacci - syn dobrotliwego) Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich nazywa się liczbami Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu sytuacjach, że wydaje się to niemożliwe.

3. 2. Własności ciągu Fibonacciego. • Podstawowy ciąg liczb Fibonacciegoto: 0,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 itd. • a) Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). • Mamy więc do czynienia z ciągiem rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest • pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju. • b) W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz • oscylujący wokół 1.618. w miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od • tej wartości. Odwrotnością 1.618 jest 0.618. W związku z tym współczynnik każdej • liczby ciągu podzielony przez liczbę następną oscyluje wokół 0.618. • c) Trzecia cecha ciągu polega na tym, że pomiędzy każdymi dwiema liczbami • rozdzielonymi jedną liczbą występuje proporcja 2.618 oraz jej odwrotność, czyli • 0.382. • d) Tę samą procedurę można powtórzyć dla liczb bardziej oddalonych od siebie. Na • przykład dla liczb oddzielonych o trzy pozycje współczynniki wynoszą 4.236 i 0.236; • liczby oddalone o cztery pozycje łączą proporcje wyrażone współczynnikiem 6,853 i • 0.146.- zniesienia.

4. Ciąg w przyrodzie • Matematycy i naukowcy odkryli, że ciąg Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach. W słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii spiralnych, wychodzących ze środka. Liczba linii rozwijających się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wynosi 55 i tylko 34 skręconych w przeciwną stronę. Takie same spirale można zaobserwować na wielu innych roślinach, takich jak kalafior, ananas czy szyszki. Liczby spiral występujących w tych roślinach są kolejnymi liczbami Fibonacciego. • Matematycy i naukowcy odkryli, że ciąg Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody. Wyznacza on zarówno kształty fizycznych struktur, jak i przebieg zmian w strukturach dynamicznych. Jednocześnie można stwierdzić, iż zjawiska, których struktura oparta jest na ciągu Fibonacciego, sprawiają przyjemność zmysłom wzroku i słuchu istot ludzkich. Dowodem na to może być to, że złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciągu Fibonacciego posługiwał się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci, podobnie jak Botticelli. Złote proporcje wykorzystano także podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie i Partenonu w Grecji.

5. Złota proporcja a ciąg Fibbonaciego • Złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciągu Fibonacciego posługiwał się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci i Botticelli. W XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był także przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Na ciągu Fibonacciego zbudowane jest między innymi Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera.