METODY NUMERYCZNE

1. METODY NUMERYCZNE Wykład 7 Równania różniczkowe - przegląd dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak Met.Numer. wykład

2. Równania różniczkowe - wprowadzenie Równania różniczkowe są popularnie spotykane we wszystkich dziedzinach nauk ścisłych i przyrodniczych a szczególnie w: • Fizyce (np. równania Maxwell’a) • Mechanice (np. równania ruchu harmonicznego) • Elektronice (np. stany nieustalone w obwodach elektrycznych) • Automatyce (np. warunki sterowalności układu) • i wielu innych dziedzinach nauki i techniki Met.Numer. wykład

3. M Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne – jest to równanie w którym występują stałe oraz funkcje niewiadome i pochodne funkcji niewiadomych zależne od jednej zmiennej niezależnej. Przykład: Met.Numer. wykład

4. Cząstkowe równania różniczkowe Cząstkowe równanie różniczkowe – jest to równanie zawierające funkcję niewiadomą dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych. Jednym z najprostszych równań różniczkowych cząstkowych jest równanie transportu: Met.Numer. wykład

5. Cząstkowe równania różniczkowe Zauważamy, że pochodna kierunkowa funkcji u w kierunku wektora v=(1,b) є Rn+1znika. Zatem ustalając dowolny punkt (t,x)є R+ x Rni kładąc dla s є R dostajemy: Zatem z(s) jest funkcją stałą. Ustalając wartość rozwiązania na każdej prostej równoległej do wektora (1,b) dostajemy rozwiązanie zadania. Met.Numer. wykład

6. Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia początkowe Zagadnienia początkowe, zakładamy, że w chwili t=0 zadana jest wartość funkcji u(0,x). Wówczas zagadnienie początkowe: ma rozwiązanie: Jeśli funkcja g jest klasy C1 to rozwiązanie równania jest rozwiązaniem klasycznym oraz jest ono jednoznaczne Met.Numer. wykład

7. Rozwiązywanie zagadnień początkowych Wprowadzimy teraz kilka oznaczeń, niech: • Y(x) – oznacza dokładne rozwiązanie • y(x) – oznacza rozwiązanie przybliżone są punktami, w których wyznaczamy przybliżone rozwiązania Met.Numer. wykład 6

8. Błąd metody Wielkość Tn nazywamy błędem metody powstałym przy przejściu od xn do xn+1 h – krok całkowania Błąd metody możemy wyrazić jako funkcję zmiennej h i przedstawić w postaci: Gdzie stała , to liczbę p będziemy nazywać rzędem metody przybliżonej Met.Numer. wykład 6

9. Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodne W celu rozwiązania zagadnienia niejednorodnego: podstawmy: wówczas: Met.Numer. wykład

10. Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodne Zatem: Rozwiązaniem zagadnienia jest więc: Met.Numer. wykład

11. Całka zupełna dla równań rzędu 1 Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci: gdzie: Met.Numer. wykład

12. Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci, spróbujemy rozwiązać warunki brzegowe (zagadnienie Cauchy’ego) Zakładamy, że funkcje F i g oraz powierzchnia Г są dostatecznie gładkie. Met.Numer. wykład

13. Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Staramy się połączyć punkt xєΩz pewnym punktem x0єГpewną krzywą ɣ w taki sposób, aby można było policzyć wartości rozwiązania u wzdłuż tej krzywej: Chcemy dobrać krzywą x(s) tak, aby można było policzyć z(s) i p(s). W tym celu policzymy dp(s)/d(s): Met.Numer. wykład

14. Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Z drugiej strony różniczkując równanie ogólne względem xi: Zakładamy, że: Met.Numer. wykład

15. Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Otrzymujemy wtedy: Ostatecznie otrzymujemy: Met.Numer. wykład

16. Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Stosując zapis wektorowy otrzymujemy układ (2n+1) równań różniczkowych zwyczajnych zwany układem charakterystyk całki zupełnej. Met.Numer. wykład

17. Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykład Rozpatrzmy układ: Wówczas równania charakterystyk mają postać: Met.Numer. wykład

18. Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykład Rozwiązując ten układ równań z uwzględnieniem warunku brzegowego dostajemy Ostatecznie rugując parametr s dostajemy rozwiązanie: Met.Numer. wykład

19. Równanie liniowe rzędu 2 Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu 2 określone w obszarze Ω ↄ Rn ma postać: Ogólne równanie cząstkowe drugiego rzędu dwóch zmiennych niezależnych liniowe możemy zapisać: A,B,C są określone w pewnym obszarze Ω ↄ R2 a F jest określona na Ω ↄ R3 Met.Numer. wykład

20. Transformacja Laplace’a Całką Laplace’a funkcji f nazywamy całkę niewłaściwą postaci: Przy czym o funkcji f(t) zakładamy że jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej t określoną dla każdej wartości t > 0 i przedziałami ciągłą. Ponieważ całka jest całką niewłaściwą to nie dla wszystkich funkcji f(t) spełniających podane warunki jest ona zbieżna. Met.Numer. wykład

21. Transformacja Laplace’a c.d. Funkcję f(t) dla których istnieje całka Laplace’a nazywamy oryginałami natomiast odpowiadające i funkcje F(s) nazywamy transformatami Laplace’a. Samą transformację Laplace’a zwaną także przekształceniem Laplace’a w środowisku inżynierskim często zapisujemy jako: Met.Numer. wykład

22. Transformacja odwrotna Laplace’a Transformacja odwrotna Laplace’a dla klasy funkcji spełniających podane założenia wyraża się wzorem: Met.Numer. wykład

23. Transformacja Laplace’a – przykładowe funkcje Transformata pochodnej: Transformata całki: Met.Numer. wykład

24. Własności transformacji Laplace’a • Linowość: gdzie a, b, c to współczynniki • Przesunięcie w dziedzinie zmiennej zespolonej: Jeśli to • Zmiana skali Jeśli to Met.Numer. wykład

25. Transformacja Laplace’a - przykład Rozwiązywanie równania różniczkowego przy pomocy transformacji Laplace’a: Krok 1: Transformacja obydwu stron równania różniczkowego Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 5 otrzymujemy: Met.Numer. wykład

26. Transformacja Laplace’a – przykład c.d. Krok 2: Wyrażanie Y(s) jako funkcji s Zapisanie Y(s) w postaci ułamków prostych Met.Numer. wykład

27. Transformacja Laplace’a – przykład c.d. Krok 3: Odwrotna transformacja obydwu stron równania Uwzględniając że: Rozwiązanie równania wynosi: Met.Numer. wykład

28. Równanie Poissona Równaniem Poissona nazywamy niejednorodne równanie Laplace’a Met.Numer. wykład

29. Równanie Poissona Równanie Poissona możemy podać explicite dla przestrzeni 2 i 3 wymiarowej: Met.Numer. wykład

30. Równanie Poissona Rozwiązanie równania Poissona wyrażamy za pomocą funkcji Greena: Met.Numer. wykład

31. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera Metoda Eulera pozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego postaci: Przykłady: Met.Numer. wykład

32. y wartość prawdziwa y1, wartość przewidywana Φ krok h x Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera Dla x = 0 wartość y = y0 przyjmując że x = x0 = 0 Znając f(x, y) i mając dane wartości x0 i y0 z warunku początkowego y(x0) = y0 można obliczyć nachylenie funkcji f(x, y) do osi X w punkcie (x0, y0) Met.Numer. wykład

33. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera Po przekształceniu otrzymujemy: Oznaczając x1-x0 jako krok h otrzymujemy: Wykorzystując obliczaną wartość y1 można obliczyć wartość y2 dla x2 jako: Met.Numer. wykład

34. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera Można zatem wyprowadzić wzór rekurencyjny: y wartość prawdziwa yi+1,wartość przewidywana yi Φ h krok x xi xi+1 Met.Numer. wykład

35. Metoda Eulera - Przykład Kula nagrzana do temperatury 1200 K schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania? Met.Numer. wykład

36. Metoda Eulera – Przykład c.d. Wzór rekurencyjny metody Eulera: Zakładamy krok h = 240 Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = 1200: Met.Numer. wykład

37. Metoda Eulera – Przykład c.d. Dla i = 1, t1 = 240, Θ0 = 106.09: Po wykonaniu dwóch iteracji metody Eulera otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie 110.32K Czy to prawda? Met.Numer. wykład

38. dokładne rozwiązanie temperatura Θ(K) czas t(s) Metoda Eulera – Przykład c.d. Porównanie rozwiązania dokładnego z rozwiązaniem otrzymanym przy użyciu metody Eulera. Met.Numer. wykład

39. dokładne rozwiązanie temperatura Θ(K) czas t(s) Metoda Eulera – Przykład c.d. Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Eulera Met.Numer. wykład

40. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Metoda Rungego-Kuttypozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu postaci: Korzystając z rozwinięcie w szereg Taylora: Widać że metoda Eulera jest metodą Rngego-Kutty pierwszego rzędu Met.Numer. wykład

41. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Wzór dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu będzie wyglądał następująco: dla metody czwartego rzędu: Jak wyznaczyć pochodne f’ metody stopnia drugiego i f’, f’’, f’’’ dla metody stopnia czwartego? Met.Numer. wykład

42. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu wzór: można zapisać jako: gdzie: aby wyznaczyć współczynniki a1, a2, p1, q11 należy rozwiązać kład równań: zazwyczaj wartość a2 wybiera się aby rozwiązać pozostałe Met.Numer. wykład

43. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Zazwyczaj a2 przyjmuje jedną z trzech wartości: ½, 1, 2/3 Met.Numer. wykład

44. Metoda Rungego - Kutty - Przykład Kula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania? Met.Numer. wykład

45. Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Dla metody Heun’a: Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = Θ(0) = 1200: Met.Numer. wykład

46. Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Dla i = 1, t1 = t0 + h= 240, Θ1 = 655,16: Po wykonaniu dwóch iteracji metody Heun’a otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie 110.32K Met.Numer. wykład K

47. dokładne rozwiązanie temperatura Θ(K) czas t(s) Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Heun’a Met.Numer. wykład

48. temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie czas t(s) Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Porównanie dotychczas przedstawionych metod: Dokładna wartość rozwiązania obliczona analitycznie wynosi: Met.Numer. wykład

49. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Dla metody Rungego-Kutty czwartego rzędu wzór: można zapisać jako: gdzie najczęściej przyjmuje się że: Met.Numer. wykład

50. Metoda Rungego - Kutty - Przykład Kula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania? Met.Numer. wykład