Raisonnement non-monotone

1. Raisonnement non-monotone Règles ayant des exceptions potentielles : les oiseaux volent, les manchots ne volent pas situations incomplètement décrites: Ex. : on a à affaire à un oiseau règle si A alors B représentée de manière bipolaire : - l’ensemble de ses exemplesA  B - l ’ensemble de ses contre-exemplesA  Bc BA = (A  B, Ac B)évènement conditionnel Relation de conséquence sémantique: (BA)  (DC) ssi A  B  C  D et si A c B  Cc D  Prob(DC) ≥ Prob(BA)

2. Conjonction : (BA) & (DC) = ((Ac B)  (Cc D))(A  C) un ensemble de règles est applicable si au moins une règle l’est Disjonction duale de & (BA) ¥ (DC) = ((A  B)  (C  D))(AC) • «Paradoxes» de l’implication matérielle A  B = Ac B  (A  C)  B  (A  B)  (C  B) B(A  C) ≠ (BA) ¥ (BC) = B(A  C)  On peut distinguer entre les règles si A alors B et si nonB alors nonA : elles n’ont pas les mêmes exemples!

3. Raisonnement non-monotone A  B implique (A  C)  B Mais BA n’entraîne pas B(A  C)! règle si A et C alors B a moins d’exemples que la règle si A alors B  pas d’incohérence dans la base si on a à la fois BA et Bc(A  C)  satisfait les postulats du système P dit d’inférence préférentielle de Kraus, Lehmann et Magidor

4. DUALITÉ K = {BiAi , i = 1,n} consistent Si A K B alors non(A K B)

5. Information bipolaire Information négative (valeurs impossibles) - sur-ensemble d’éléments non-impossibles (NI) positive (valeurs garanties possibles) - sous-ensemble d’éléments garantis possibles (GP) paire d’ensemblesflous (π*, π*) telle que π* ≥ π* en logique possibiliste (p, ) N(p) ≥  i.e. (p)≤ 1(p) ≥ ; (p) = min{π*() t.q. p)

6. Raisonnement déductif bipolaire règles : si X est Ai alors Y est Bi expriment que • Situations oùX est Aiet Y est non-Bi sont impossibles non Ai ou Bi combinaison conjonctive des règles : B’ = A’ i (Ai Bi) B’ = Bi si A’ = Ai • les situations oùX est Aiet Y est Bi sont garanties possibles Ai et Bi combinaison disjonctive des règles : i (Ai Bi) B’ = {y t.q.  x  A’ et (x,y) i(Ai Bi)} B’ = Bi si A’ = Ai

7. Exemple: - R1: si un employé est en catégorie 1 alors son salaire est nécessairement dans 1000, 2000 typiquement dans 1500, 1800 - R2: si un employé est en catégorie 2 alors son salaire est nécessairement dans 1500, 2500 typiquement dans 1700, 2000. * B’ = A’i (Ai Bi) A’ = cat.1, cat.2 A1 = cat.1, B1 = 1000, 2000 A2 = cat.2, B2= 1500, 2500 B’ = B1  B2= 1000, 2500 * B’ = {y t.q.  x  A’ et (x,y) i(Ai Bi)}, B1 = 1500, 1800, B2 = 1700, 2000, B’ = B1  B2= 1700, 1800garanti possible