Raisonnement flou

1. Raisonnement flou • Variables linguistiques et propositions floues • Variables linguistiques • Proposition floue générale • Implication floue • Raisonnement Flou • Modus ponens classique • Modus ponens généralisé • Application du Modus ponens généralisé DESS TSI

2. Agé Jeune Très-jeune 1 0 Age Variable linguistique • Une variable linguistique est représentée par un triplet (V, XV, TV) • V : nom de la variable (age, taille, température, longueur,...) • XV : univers des valeurs prises par V (ℝ,...) • TV = {A1, A2, ...} : ensemble de sous-ensembles flous de XV, utilisés pour caractériser V. • Par exemple: (Age-Personne, [0,130], {Très-jeune, Jeune, Agé}) DESS TSI

3. Proposition floue • Proposition floue élémentaire : qualification « V est A » d'une variable linguistique (V, XV, TV) • Par exemple: « Age-personne est jeune » • Proposition floue générale : composition de propositions floues élémentaires de variables linguistiques qui peuvent être distinctes • Soit « V est A » p.f.e. de (V, XV, TV), et « W est B » p.f.e. de (W, XW, TW), • Exemples de proposition floue générale : • « V est A et W est B » • « V est A ou W est B » DESS TSI

4. Valeur de vérité d’une proposition floue • Proposition classique : valeur de vérité  {0, 1} (FAUX ou VRAI) • Proposition floue : la valeur de vérité est un sous-ensemble flou à valeurs dans [0,1] • Valeur de vérité pA de « V est A » : fA fonction d'appartenance de A • Négation: « V n'est pas A » : pAc= fAc = 1-fA • Valeur de vérité p d'une proposition floue générale : agrégation des valeurs de vérité pA et pB de chaque proposition floue élémentaire • Le type d'agrégation dépend de la composition réalisée (et, ou,...) • Conjonction « V est A et W est B » : pAB= min(pA, pB) • Disjonction « V est A ou W est B » : pAB= max(pA, pB) DESS TSI

5. Implication floue • Règle de production : lien particulier (implication) entre 2 propositions floues • « V est A  W est B » est lue « si V est A alors W est B » • « V est A » est la prémisse • « W est B » est la conclusion • Par exemple: « si Age-personne est Jeune alors Salaire est Bas » • Valeur de vérité de l'implication « V est A  W est B » : évaluée par une fonction implicative fI : X x Y  [0,1] • x  X, y  Y, fI(x, y) = (fA(x), fB(y)) •  est une fonction [0,1]x[0,1] [0,1] qui est équivalente à l'implication classique quand les propositions sont classiques. DESS TSI

6. - Principales fonctions d'implication floue fI(x, y) = (A(x), B(y)) DESS TSI

7. Logique classique vs Logique floue DESS TSI

8. Mode de raisonnement classique • Modus ponens de la logique classique Règle: Prémisse  Conclusion Observation: Prémisse-observée Déduction: Conclusion • Modus ponens : règle de déduction pour inférer de la connaissance Règle: H est humain  H est mortel Observation: Socrate est humain Déduction: Socrate est mortel DESS TSI

9. Mode de raisonnement flou • Modus ponens généralisé : extension du MP aux propositions floues • Soient (V, XV, TV) et (W, XW, TW) deux variables linguistiques Règle floue: V est AW est B fA fB Observation floue: V est A' fA' Déduction: W est B' fB' • fA, fB, et fA' sont connus, on recherche la valeur de fB'(y), y  Y DESS TSI

10. Modus ponens généralisé • Règle floue « V est AW est B » • Implication x  X, y  Y, fI(x,y)= (fA(x), fB(y)) • Le MPG combine la règle floue avec l'observation « V est A' » pour construire la conclusion B' • Opérateur de modus ponens généralisé : fonction T de [0,1]x[0,1] dans [0,1] pour combiner fI et fA' • T est une t-norme • T est liée à fI pour que le MPG soit compatible avec le modus ponens classique. • On a, pour tout y  Y : fB' = supx  X T(fI(x,y), fA'(x)) DESS TSI

11. Une règle DESS TSI

12. Plusieurs règles DESS TSI

13. Exemple d’un système de règles floues DESS TSI

14. Max-Min inférence : exemple DESS TSI

15. Max-Min inférence : autre exemple DESS TSI

16. Exemples d'opérateurs de MPG • Zadeh : u,v  [0,1], T(u,v) = min(u,v) • Utilisé avec les implications de Mamdani, Larsen,... • Lukasiewicz : u,v  [0,1], T(u,v) = max(u+v-1,0) • Utilisé avec les implications de Lukasiewicz, Reichenbach, Mamdani, Larsen,... DESS TSI

17. Applications du modus ponens généralisé • Commande floue : ensemble de règles floues + entrée numérique + sortie numérique • Contrôle flou de processus • Phase de défuzzification nécessaire • Systèmes experts flous : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue • Raisonnement flou, inférence de connaissances • Pas de défuzzification • Raisonnement par analogie : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue • B' est à B ce que A' est à A • ressemblance (A,A') doit être la même que ressemblance(B,B') DESS TSI

18. Imprécisions et incertitudes • Théorie des sous-ensembles flous • Modélisation des connaissances imprécises (« environ 20 ans ») ou vague (« jeune ») • traitement dans un même cadre des connaissances numériques et des connaissances symboliques • Ne permet pas de manipuler dans un même formalisme imprécisions et incertitudes • ce qui est très généralement lié : « je suis sûr que nous sommes en fin d'après-midi » mais « je ne suis pas certain qu'il soit exactement 17h30 » • De plus, un raisonnement basé sur des connaissances imprécises engendre souvent des incertitudes • « Mon train est à 9h32, si je pars de chez moi vers 9h quelle est la certitude que je puisse l'avoir? » DESS TSI

19. Théorie des possibilités • Introduite en 1978 par L. A. Zadeh (puis popularisée par Dubois et Prade), en liaison avec la théorie des sous-ensembles flous : • But: raisonner sur des connaissances imprécises ou vague, en introduisant un moyen de prendre en compte des incertitudes sur les connaissances. • Incertitudes non-probabilistes sur des événements : impossibilité d'évaluer correctement leur probabilité de réalisation. • « Serais-je en salle 506 lundi 24 Novembre à 14h ? » • Probabilité: ici, peu réaliste à évaluer • « Il est relativement possible que je sois dans cette salle, et c'est même assez certain. » DESS TSI

20. Mesure de possibilité • Soit un ensemble de référence fini X • On souhaite attribuer à chaque sous-ensemble de X (on parle alors d'événements) un coefficient compris entre 0 et 1 évaluant à quel point cet événement est possible. • Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de possibilité définie sur P(X), l'ensemble des parties de X, à valeur dans [0,1], telle que: • (∅)=0, et (X)=1 • (A,B) P(X)2, (A∪B) = max((A), (B)) Un événement esttout à fait possible si la mesure de sa possibilité est égale à 1. DESS TSI

21. Mesure de possibilité : propriétés • Une mesure de possibilité vérifie: • (A,B) P(X)2, (A∩B) ≤ min((A), (B)) • En particulier, l'occurrence simultanée de 2 événements possibles peut être impossible • Monotonie relativement à l'inclusion des parties de X • Si A  B alors (A) ≤(B) • A P(X), max((A), (Ac)) = 1 • A P(X), (A) + (Ac) ≥ 1 DESS TSI

22. Mesure de nécessité • Une mesure de possibilité fournit une information sur l'occurrence d'un événement mais elle ne suffit pas pour décrire l'incertitude existante sur cet événement • (A) = 1 et (Ac)=1 peuvent être vérifiés en même temps: indétermination complète sur la réalisation de A. • On attribue à chaque événement un coefficientévaluant à quel point la réalisation de cet événement est certaine. • Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de nécessité N définie sur P(X), à valeur dans [0,1], telle que : • N(∅)=0, et N(X)=1 • ∀(A,B)∈ P(X)2, N(A∩B) = min(N(A), N(B)) DESS TSI

23. Mesure de nécessité : propriétés • Une mesure de nécessité vérifie: • (A,B) P(X)2, N(AB) ≥ max(N(A), N(B)) • Monotonie relativement à l'inclusion des parties de X • Si A  B alors N(A) ≤ N(B) • A P(X), min(N(A), N(Ac)) = 0 • A P(X), N(A) + N(Ac) ≤ 1 DESS TSI

24. Relations possibilité / nécessité • Une mesure de nécessité N peut être obtenue à partir d'une mesure de possibilité  par : • A P(X), N(A) = 1 - (Ac) • Plus un événement A est affecté d'une grande nécessité, moins son complémentaire Ac est possible. • On a de plus: • A P(X), (A) ≥ N(A) • A P(X), max((A), 1-N(A))=1 DESS TSI

25. Distribution de possibilité • Une mesure de possibilité est totalement définie • si on attribue un coefficient de possibilité à toute partie de X. • si on indique un coefficient seulement aux parties élémentaires de X, une partie quelconque étant l'union de parties élémentaires. • Une distribution de possibilité  est une fonction définie sur X, à valeur dans [0,1], telle que : • supxX(x) = 1 • A partir d 'une distribution de possibilité , on construit une mesure de possibilité : • A P(X), (A) = supxA(x) DESS TSI

26. Possibilité de sous-ensemble flou • Possibilité et nécessité ont été introduites pour quantifier la certitude sur un événement, elles s'appliquent à des sous-ensembles ordinaires de X • Pour des sous-ensembles flous de X, on peut indiquer dans quelle mesure ils sont possibles et/ou certains, à partir d'une connaissance préalable donnée sur X. • Ainsi, étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A. • On évalue alors la possibilité de B relative à A par : • (B; A)= supxX min (fB(x), fA(x)) • (B; A) mesure le degré maximal avec lequel un élément x de X peut appartenir à la fois à A et à B. DESS TSI

27. Nécessité de sous-ensemble flou • Étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A. • On évalue alors la nécessité de B relative à A par : • (B; A)= 1- (Bc; A)= infxX max (fB(x), 1-fA(x)) • N(B; A) mesure le degré avec lequel B est inclus dans A. DESS TSI

28. Exemple • On représente le concept de « vitesse rapide » par un s.e.f. Sur l'espace des vitesses. • Une moto roule à env. 100km/h. • Questions: • Avec qu'elle certitude peut on dire que la moto roule avec une vitesse rapide? • Avec quel degré env. 100km/h signifie-t-il « vitesse rapide »? Rapide ~100 km/h 1 0 km/h 100 90 110 DESS TSI

29. 0,6 0 km/h 100 90 110 Rapide ~100 km/h 1 0 km/h 100 90 110 Exemple : possibilité et nécessité (env.100; Rapide)= supxX min (fenv.100(x), fRapide(x)) = 0,6 ~100 km/h Rapide 1 (env.100; Rapide)= infx X max (fenv.100(x), 1-fRapide(x))= 0 DESS TSI

30. Apprentissage non supervisé • Étant donné un ensemble d'exemples (des points dans un plan, ...) • On ne connaît pas de classe à associer aux exemples • Il faut découvrir des classes, faire des regroupements d'éléments similaires • Clustering = construction de paquets DESS TSI

31. Méthodes de C-moyennes • Une des plus anciennes méthodes de clustering existantes (1967). Algorithme des C-means. • Partition d'une population • Affectation sans équivoque ( ou ) de chaque exemple à une classe • L'algorithme : • Sélection de c points (au hasard) : centroïdes. • Affectation de chaque exemple au centroïde le plus proche (distance). Constitution de clusters. • Calcul de nouveaux centroïdes : on prend la moyenne, composante par composante, pour tous les exemples d'un cluster. • Retour à l'étape 2 jusqu'à stabilisation des frontières entre les clusters. DESS TSI

32. C-moyennes: étape 1 DESS TSI

33. X X X X X X X X O X X O X X X X X X X X X X O X X X C-moyennes: étape finale X DESS TSI

34. Méthodes des C-moyennes: Inconvénients • Problèmes de prise en compte des variables non-numériques (nécessité de posséder une mesure de distance) • Traduction en valeurs numériques • Construction de matrices de distances • Problème du choix du nombre de centroïdes c • Problème du choix de la normalisation dans le calcul de la distance (même poids pour chaque composante) • Pondération, normalisation, agrégation DESS TSI

35. Méthode des C-moyennes floues • Généralisation de l'algorithme des C-moyennes • Partition floue des données • Fonctions d'appartenance aux clusters • Problématique : trouver une pseudo-partition floue et les centres des clusters associés qui représente le mieux la structure des exemples. • Utilisation d'un critère permettant de mesurer les associations fortes à l'intérieur d'un cluster, faibles à l'extérieur • Index de performance DESS TSI

36. Rappels • Pseudo-partition floue • Ensemble de sous-ensembles flous non vides {A1, A2,..,An} de X tel que: xX, • C-partition floue • Une c-partition floue (c>0) de X est une famille P ={A1, A2,..,Ac} de c sous-ensembles flous tels que : DESS TSI

37. C-moyennes floues Soit X={x1, x2, ..., xn} un ensemble de données où chaque xk peut être un vecteur: xk=(xk1, xk2,...,xkp) Étant donné une c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, les c centres v1, v2,..., vc associés à chaque cluster flou sont calculés par : Avec mℝ, m > 1, influence des degrés d'appartenance. • vi: centre du cluster flou Ai • Moyenne pondérée des données de Ai • Le poids d'une donnée xk est la puissance mième de son degré d'appartenance à Ai. DESS TSI

38. Index de performance d'une partition floue • Soit la c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, son indice de performance est défini par: • Avec ||.||: norme sur ℝp qui permet de mesurer la distance entre xk et vi • Plus Jm(P) est faible, meilleure est P DESS TSI

39. Algorithme de Bezdek (1981) • Algorithme d'optimisation d'une partition floue: algorithme des c-moyennes floues (Fuzzy c-means). • Hypothèses: • C connu, • On possède une distance (mesure), • Un réel m ]1,+∞[ est donné, • Un nombre positif ℇ petit est donné (critère d'arrêt). DESS TSI

40. Algorithme de Bezdek • Etape 1:Soit t=0, sélectionner une partition floue initiale P(0). • Etape 2: Calculer les c centres v1(t), v2(t),...,vc(t) pour P(t) grâce à (1) • Etape 3:Mise à jour de P(t) pour construire P(t+1): xkX, • Si alors • si pour quelque iI ℕc , alors on définit pour iI par tout nombre réel >0 tel que: et on définit pour tout iℕc-I • Etape 4:Comparer P(t) et P(t+1) • Si |P(t) - P(t+1)| ≤ ℇ alors on s'arrête, sinon on incrémente t et on retourne à l'étape 2. On a : (distance entre les partitions) DESS TSI

41. Construction de clusters flous – Exemple DESS TSI

42. Construction de clusters flous – Résultat final DESS TSI

43. Arithmétique floue - Intervalles et nombres flous • Un sef F est convexe si • (x, y)RxR, z  [x,y], fF(z)min(fF(x), fF(y)) • Propriété équivalente au fait que toute –coupe de F est une partie convexe de R. • Quantité floue : sef normalisé de R. • Intervalle flou : quantité floue convexe • Nombre flou : intervalle flou de fonction d’appartenance semi-continue supérieurement et de support compact. 1 0 R a m b DESS TSI

44. Addition floue DESS TSI

45. Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (1) • Quantité floue I dont la fonction d’appartenance dépend de 4 paramètres (m,m’,a,b) et de 2 fonctions L er R telles que : • L(0)=R(0)=1 • L(1)=0 ou L(x)>0 x avec limx L(x)=0 • R(1)=0 ou R(x)>0 x avec limx R(x)=0 • I=(m,m’,a,b)LR DESS TSI

46. Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (2) • Cas particulier : nombre flou I=(m,a,b) LR avec m=m’. • Fonctions L et R particulières : L(x)=R(x)=max(0,1-x) pour des intervalles flous trapézoïdaux ou des nombres flous triangulaires. DESS TSI

47. Arithmétique floue – Opérations sur les L-R • I=(m,m’,a,b)LR J=(n,n’,c,d)LR alors : • -I=(-m’,-m,b,a)RL • I  J = (m+n, m’+n’, a+c, b+d)LR • I  J = (m-n’, m’-n, a+d, b+c)LR si L=R DESS TSI

48. Fonction appliquée à un nombre flou DESS TSI