Te ória hromadnej obsluhy

1. Teória hromadnej obsluhy 1909 – Erlang (D) 30. roky – Kolmogorov, Chinčin Molina, Fry (US) Palm (S)

2. Systém hromadnej obsluhy - prvky • kanály obsluhy – súbor zariadení, schopných vykonávať obsluhu požiadaviek • front požiadaviek – súbor požiadaviek čakajúcich v systéme na obsluhu • zdroj požiadaviek – množina objektov, prichádzajúcich do úvahy ako potenciálne požiadavky • vstupný prúd – časová postupnosť javov – vstupov požiadavky do SHO • výstupný prúd - časová postupnosť javov – výstupov požiadavky zo SHO

3. Schéma SHO vstupujúce požiadavky vystupujúce obslúžené požiadavky front požiadaviek obslužné kanály zdroj požiad.

4. Význam modelovania SHO

5. Pre popis SHO treba poznať: režim príchodu požiadaviek intervaly medzi príchodmi, počet vstupujúcich požiadaviek za čas. jednotku, pravidelnosť či náhodnosť vstupov (pravdepod. rozdelenie), jednotlivo či v skupinách – dávkach správanie požiadaviek, ak nemôžu byť obslúžené - odchod bez obsluhy – syst. bez čakania (s odmietnutím) - čakanie vo fronte – syst. s čakaním priebeh obsluhy súčasne môže byť obslúžená 1 požiadavka, alebo viaceré doba obsluhy je – konštantná – náhodná

6. Klasifikácia SHO zdroj požiad. -ohraničený – uzavretý SHO (n strojov v dielni - opravy) - neohraničený – otvorený SHO (predajňa, križovatka, ...) čakanie vo fronte - SHO s čakaním – ohr. – dĺžka fronty – čas. čakania – neohr. - SHO bez čakania (s odmietnutím)

7. Klasifikácia SHO počet kanálov obsluhy - jednokanálové SHO - viackanálové SHO štruktúra kanálov obsluhy - paralelné SHO - sériové SHO (- viacfázové) - zložité (viacstupňové, siete) obsluha - usporiadaná - bez priorít – FIFO – LIFO - s prioritami – PRI– s preruš. – bez preruš. -náhodná

8. Klasifikačný systém(Kendall 1953) 3 symboly: (A / B / X) A – typ stochastického procesu vstup. prúdu B – typ rozdelenia času obsluhy X – počet paralelných kanálov obsluhy A, resp. B môže nadobúdať hodnoty: M – Poissonov (markovovský) vstupný prúd, resp. exponenciálne rozdelenie času obsluhy Ek – Erlangovo rozdelenie intervalov medzi medzi vstupmi (výstupmi) s parametrami λ, k Kn - 2 rozdelenie intervalov medzi vstupmi (výstupmi) s n stupňami voľnosti

9. Klasifikačný systém D – pravidelné deterministické vstupy (výstupy) G – žiadne predpoklady o vstupnom (výstupnom) prúde X – prirodzené číslo alebo  Napr. (M / M / 1) – jednokanálový SHO s Poissonovým vstupným prúdom a s exponenciálnym rozdelením času obsluhy Väčšina teoretických modelov predpokladá A = M, B = M

10. Klasifikačný systém Kendallova klasifikácia sa dopĺňa o ďalšie charakteristiky: Y – maximálny počet požiadaviek v SHO (max. možný) Z – maximálny počet požiadaviek v zdroji U – disciplína čakania a režim obsluhy  (A / B / X / Y / Z / U)

11. Modelovanie procesov hromadnej obsluhy náhodné procesy: • vstupy požiadaviek do sústavy char-né vel. λ= intenzita vstupného prúdu – priemerný počet požiadaviek vstúpivších do systému za časovú jednotku • obsluha charakterizovaná veličinou μ = intenzita obsluhy – priemerný počet požiadaviek obslúžených jedným obslužným kanálom za časovú jednotku

12. N(t) t Proces vstupu požiadaviek do SHO k = tk – tk-1- náh. prem. - interval medzi príchodmi dvoch požiadaviek N(t) – počet požiadaviek, ktoré k čas. ok. t vstúpili do systému {N(t)} - náh. proces s urč. vlastnosťami - Poissonov proces tk-1 tk

13. Proces vstupu požiadaviek do SHO =prúd javov (bodový proces) - postupnosť javov, vyskytujúcich sa v náhodných časových okamihoch kde N(t) - prirodzené číslo - počet výskytov javu v čase (0, t) N(t2) - N(t1) - prirodzené číslo (t1 < t2) - vstupy pož. do SHO aj výstupy z neho sú bodové procesy

14. Modelovanie vstupu požiadaviek do SHO Väčšinou predpokladáme, že vstupný prúd požiadaviek tvorí Poissonov proces. Poissonov proces je prúd javov, ktorý má vlastnosti: • nezávislosť prírastkov– počet javov, kt. sa vyskytnú v určitom intervale, nezávisí od počtu javov v iných intervaloch • stacionárnosť (homogenita v čase) – počet javov v ľubovoľných rovnako dlhých intervaloch je konštatný

15. Modelovanie vstupu požiadaviek do SHO • regulárnosť (ordinárnosť) – pravdepodobnosť výskytu viac než jedného javu na dostatočne malom intervale t je zanedbateľne malá. Na intervale (t, t + t) môže nastať len jeden z dvoch možných prípadov: 1. vyskytne sa práve 1 jav s pravdepodobnosťou λ t 2. nevyskytne sa žiadny jav s pravdepodobnosťou 1 - λ t λ– konštanta - intenzita vstup. prúdu [počet pož. / čas.j.] PriPoissonovom procese môže systém za časový interval (t, t + t) buď prejsť do najbližšieho vyššieho stavu, alebo zotrvať v tom istom stave.

16. {X(t)}- stav systému pk(t) = P( X(t) = k ) = pravdepodobnosť, že v systéme je v čase tpráve k požiadaviek Pravdepodobnosti pk(t)sa odvodzujú z pravdep. prechodu systému do stavuk a využívajú sa na odvodenie ukazovateľov kvalityobsluhy a ukazovateľov využitia SHO Tieto ukazovatele sa využívajú na analýzu existujúcich alebo navrhovaných obslužných systémov s cieľom optimalizácie ich fungovania.

17. 1 - λt 1 - λt λt k k-1 Odvodenie pravdepodobnostípk(t) pre Poissonov proces Ak uvažujeme len vstupy pož. do SHO – z predpokladu ordinárnosti  stav sk v čase (t+t)môže nastať, ak systém bol v čase t v stave sk ,alebo v stave sk-1. Pravdepodobnosti prechodu: sk-1  skλt sk sk 1 - λt Graf prechodov:

18.  pk(t+t) = pk-1(t) λt + pk(t)(1-λt), k > 0 p0(t+t) = p0(t)(1-λt) Ak predp. t  0 : • p0'(t) = - λp0(t) pk'(t) = - λpk(t) + λpk-1(t), k > 0 Začiatočné podmienky: pk(0) = 1 pre k = 0 pk(0) = 0 pre k > 0

19. rekurentná sústava diferenciálnych rovníc s riešením: k = 0, 1, ...... t ≥ 0, λ ≥ 0 • pravdep., že za čas. interval (0, t) vstúpilo do systému k požiadaviek, sa riadi Poissonovým rozdelením. • Vstupný prúd je Poissonov proces, ktorý je súčasne Markovovým procesom. • λ – intenzita vstupného prúdu = priemerný počet požiad., kt. vstúpia do systému za časovú jednotku

20. X(t) t  Počet požiadaviek v systéme je náhodný proces {X(t)}- stav systému pravdepod., že systém je v čase t v stave k: pk(t) = P( X(t) = k ) náh. proces {X(t)} – predpokladáme urč. vlastnosti: MARKOVOV PROCES, t.j. pravdep., že systém je v čase t v stave k závisí len od toho, v akom stave bol systém v predch. časovom okamihu t - t, nie však od vzdialenejšej minulosti(procesy bez minulosti)

21. Proces zrodov a zánikov Pri skúmaní procesov obsluhy možno proces modelovať ako proces zrodov a zánikov – vstupy – zrody – výstupy po obsluhe – zániky Intenzita zrodov – λ Intenzita zánikov – kμ k- počet kanálov μ- intenzita obsluhy

22. Pri modelovaní SHO sa používa diferenciálno-diferenčná metóda, založená na zostavovaní Kolmogorovových rovníc pre pravdepodobnosti pk(t)

23. Otvorený jednokanálový SHO bez čakania Predpoklady: • Vstupný prúd je Poissonov proces s intenzitou vstupu λ • Čas obsluhy sa riadi exponenciálnym zákonom rozdelenia so strednou hodnotou ts = 1 / μ • Počet kanálov n = 1 • Front sa nevytvára; ak je systém obsadený, požiadavka je odmietnutá • Zdroj požiadaviek je neohraničený

24. 0 1 Otvorený jednokanálový SHO BEZ ČAKANIA 2 možné stavy :s0,s1 Pravdepodobnosti prechodov: s0 s0 1 - λt s1 s0μt s0 s1λt s1 s1 1 – μt Graf prechodov: 1 - λt 1 – μt λt μ t

25. p0(t+t) = p0(t)(1-λt) + p1(t)μt p1(t+t) = p0(t) λt + p1(t)(1- μt) za predp. t  0 : p0(0) = 1 p1(0) = 0 Okrem toho musí platiť: p0(t) + p1(t) = 1

26. za predp. permanentného režimu, t.j. ak ex. limity • sústava algebraických rovníc: -λ p0+ μ p1= 0 λ p0- μ p1= 0 p0+ p1= 1 Riešenie: p0= μ / (λ + μ) p1 = λ / (λ + μ)

27. Charakteristiky systému (M/M/1/1/) Ukazovatele kvality obsluhy: pravdepodobnosť odmietnutia požiadavky: pst = p1 relatívna kapacita systému (pravdep. obsluhy): Kr = pobsl = p0 absolútna kapacita systému: Ka = λ Kr nominálna kapacita systému: Knom = μ

28. Ukazovatele zaťaženia sústavy: koeficient prestoja obslužného kanála: K0 = p0 koeficient využitia kanála: Kz = 1 – p0 = p1

29. Otvorený viackanálový SHO bez čakania(M/M/n/n/) Predpoklady: ako pri (M/M/1/1/) ale v systéme je nobslužných kanálov (n>1), ktoré sú homogénne, t. j. vykonávajú obsluhu rovnakého druhu za priemerne rovnaký čas

30. Otvorený viackanálový SHO bez čakania Možné stavy : s0,s1,..., sn Pravdepodobnosti prechodov: sk-1 skλt sk sk (1 - λt)(1-kμt) ≡ 1- (λ +kμ)t sk+1 sk (k+1) μt sn-1 snλt sn sn 1 – nμt

31. Graf prechodov: 0 1 k n-1 n ... ...

32. Začiatočné podmienky: • Sústava diferenciálnych rovníc (Erlangova sústava rovníc)

33. a platí: • Za predpokladu perman. režimu => sústava alg. rovníc:

34. po substitúcii ERLANGOV VZOREC

35. 1. Pravdepodobnosť odmietnutia požiadavky • 2. Relatívna kapacita systému Charakteristiky systému (M|M|n|n|∞) • Ukazovatele kvality obsluhy

36. 3. Absolútna kapacita systému • 4. Priem počet obsadených kanálov resp. • 5. Priem počet voľných kanálov resp. • Ukazovatele využitia kanálov obsluhy

37. 6. Koeficient prestoja kanála: • 7. Koeficient využitia kanálov resp. • 8. Nominálna kapacita systému

38. resp. Otvorený jednokanálový SHO s čakaním (M|M|1|∞|∞) • ak je kanál obsadený, požiadavky sa radia do frontu a čakajú na obsluhu • pravdep., že dĺžka frontu nie je ohraničená (iný model – (M|M|1|N|∞) – max. dĺžka frontu je N-1) • Tento SHO môže efektívne fungovať, len ak je splnená podmienka permanentného režimu (inak front neohraničene rastie)

39. Príklady: Predajňa s 1 predavačom, benzínová stanica s 1 čerpadlom, jednoprúdová vozovka a pod. • GRAF PRECHODOV: 0 1 k-1 k k+1 ... ...

40. Za predp. perman. režimu (<1)existujú limitné pravdepodobnosti • súst. algebraických rovníc

41. s riešením:

42. 1. priemerný počet požiadaviek v systéme • 2. priemerný počet požiadaviek vo fronte Charakteristiky systému (M|M|1|∞|∞) • Ukazovatele kvality obsluhy

43. 3. priemerný čas pobytu požiadavky v systéme • 4. priemerný čas čakania vo fronte • 5. koeficient využitia kanála • 6. koeficient prestoja kanála • Ukazovatele využitia kanálov obsluhy

44. ... Viackanálový otvorený SHO s čakaním (M|M|n|∞|∞) ∞ • Počet kanálov n>1 Počet možných stavov: • Podm. perman. režimu: • GRAF PRECHODOV 0 n+1 1 k n-1 n ... ... ...

45. Za predp. perman. režimu možno určiť pk:

46. p0 odvodíme zo vzťahu

47. 1. Pravdep. čakania vo fronte: • 2. Priemerná dĺžka frontu: Charakteristiky systému (M|M|n|∞|∞) • Ukazovatele kvality obsluhy

48. 3. Priemerný počet požiadaviek v SHO: • 4. Priemerný čas pobytu požiadavky v systéme: • 5. Priemerný čas čakania požiadavky na obsluhu:

49. 6. Priemerný počet obsadených kanálov: • 7. Priemerný počet voľných kanálov: • 8. Koeficient využitia kanála: • 9. Koeficient prestoja kanála: • Ukazovatele využitia kanálov obsluhy