Download
1 / 23
E N D
Życiorys • Żył w V w. p.n.e., joński matematyk i sofista. W latach ok. 450 - 420 p.n.e. działał w Atenach gdzie otworzył szkołę geometrii. Nauczał w niej za opłatą za co został usunięty ze szkoły pitagorejczyków. Był autorem systemu aksjomatycznego geometrii wcześniejszego niż Elementy Euklidesa. Jego dzieło Stoicheia zaginęło. Prowadząc badania nad kwadraturą koła odkrył księżyce Hipokratesa. Sprowadził także rozwiązanie problemu podwojenia sześcianu (tzw. problemu delijskiego) do znalezienia podwójnej średniej proporcjonalnej tzn. takich dwóch liczb x i y, że dla dwóch danych, dowolnych liczb a i b zachodzi: .
Księżyce Hipokratesa • są to figury geometryczne w kształcie księżyców związane z wielokątem wpisanym w okrąg O. Są one ograniczone łukami okręgu O oraz półokręgami, których średnicami są boki danego wielokąta. Zostały odkryte przez Hipokratesa z Chios w trakcie jego prac nad problemem kwadratury koła. W przypadku gdy wielokąt jest prostokątem lub trójkątem prostokątnym suma pól księżyców Hipokratesa jest równa polu tego prostokąta lub trójkąta prostokątnego.
Podwojenie sześcianu: • (inaczej nazywany problemem delijskim) – jedno z trzech, obok trysekcja kąta i kwadratury koła, wielkich zagadnień starożytnej matematyki greckiej, polegające na zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy większej niż dany. • Legenda mówi, że w czasie zarazy na Delos wyrocznia Delfijska przekazała proroctwo Apolla, że choroba ustanie, gdy jego ołtarz w świątyni w Delfach zostanie powiększony dwukrotnie. Zrozumiano to w ten sposób, że należy dwukrotnie powiększyć objętość ołtarza, zachowując jego kształt sześcianu.
Życiorys • Urodził się około 287 p.n.e., zmarł około 212 p.n.e., grecki matematyk, fizyk i wynalazca, jeden z najwybitniejszych uczonych starożytnoci. Archimedes zajmował się różnymi dziedzinami nauki, m. in.: arytmetyką, geometrią, hydrostatyką, astronomią, mechaniką, optyką. Jego prace z matematyki stanowiły fundament myli matematycznej kilku stuleci. Archimedesa uznano za jednego z trzech, obok C. F. Gaussa i I. Newtona, największych matematyków wiata. W biografii Archimedesa trudno oddzielić prawdę od legendy. Urodził się w Syrakuzach na Sycylii, kształcił się w Aleksandrii. Podczas drugiej wojny punickiej kierował obroną Syrakuz, służąc swą wiedzą przy budowie machin obronnych. Po zdobyciu miasta przez Rzymian został przypadkowo zabity przez rzym. żołnierza, wbrew rozkazowi zdobywcy Syrakuz Marcellusa. Zachowało się wiele dzieł Archidemesa zarówno w języku greckim, jak i w przekładach arabskich. Wyróżniały się one spośród innych dzieł starożytności oryginalnością pomysłów, siłą dowodu, logiczną budową i mistrzostwem rachunku. Do cenniejszych dzieł matematycznych Archidemesa należą prace dotyczące rachunku nieskończonociowego.
„Dajcie mi punkt podparcia, a sam jeden poruszę z posad Ziemię". • Archimedes zyskał u współczesnych sławę głównie dzięki wynalazkom. W czasie pobytu w Aleksandrii skonstruował urządzenie znane pod nazwą śruby Archimedesa, które służyło do nawadniania pól i do dzisiaj można je spotkać w Egipcie. Skonstruował też przenośnik ślimakowy, organy wodne i zegar wodny, machiny obronne. Udoskonalił wielokrążek, który zastosował do wodowania statku. Z tym faktem związane jest słynne powiedzenie Archimedesa.
Życiorys • Diofantos, (ur. około 200/214 p.n.e., zm. około 284/298 p.n.e.), matematyk epoki hellenistycznej żyjący w III wieku naszej ery w Aleksandrii. • Z jego głównego dzieła "Arytmetyka", składającego się z 13 ksiąg, zachowało się tylko 6. Są one dowodem genialnych osiągnięć algebraicznych. Diofantos rozwiązuje w nich równania do trzeciego stopnia włącznie, w zakresie szerszym niż Babilończycy, wprowadzając również więcej niewiadomych, które oznacza specjalnymi literami. Posługuje się już symbolem odejmowania i na szeroką skalę stosuje skróty słowne dla poszczególnych określeń i działań. W ten sposób jest autorem pierwszego, co prawda jeszcze niedoskonałego, języka algebraicznego. U Diofantosa znajdujemy również pierwsze ślady liczb ujemnych.
Diofantos miał uważać się za pierwszego matematyka, który zastosował znak równania - (=) , oraz znak odejmowania -(-). Według legendy na jego nagrobku widniał napis: • Tu jest grobowiec, w którym złożono prochy Diofantosa. Przez jedną szóstą jego życia Bóg obdarzył go młodością, przez dalszą, dwunastą część życia jego policzki były pokryte brodą. Po siódmej dalszej części życia doświadczył szczęścia małżeńskiego, w którego piątym roku został ojcem syna. Nieszczęśliwie syn żył tylko połowę lat ojca, który pozostał w smutku przez cztery ostatnie lata swego życia.Przechodniu, oblicz długość jego życia!
Kartezjusz • René DescartesPortret Kartezjusza pędzla Fransa Halsa z 1649.Urodzony 31 marca 1596Descartes, Francja. Zmarł11 lutego 1650Sztokholm, Szwecja.
Życie • Pochodził ze starego szlacheckiego rodu, wychowany u jezuitów w La Fléche (1606-1614), później naukę kontynuował w Paryżu. Studiował tam m. in. inżynierię wojskową. W roku 1616 uzyskał tytuł naukowy z dziedziny prawa na Uniwersytecie w Poitiers. • W 1618 zaciągnął się do armii holenderskiej, gdzie spotkał Izaaka Beekmana, który przedstawił mu wiele nowych teorii matematycznych. Z wdzięczności Kartezjusz napisał dla niego kompendium muzyczne, opublikowane dopiero w 1650 roku. Brał udział jako żołnierz w wyprawach wojennych w Holandii, następnie pod Tillym w Niemczech. Z rozmyślań na zimowej kwaterze nad Dunajem w roku 1619 wyniósł niezachwiane przekonanie, iż tylko to, co da się poznać, „jasno i wyraźnie” (clair et distinct), za prawdę uważać należy.
Filozofia Kartezjusza • Filozofia Descartesa jest przejściem od scholastyki do oświecenia. Tak jak scholastycy, stawia on sobie za zadanie ustalenie systemu i związku dla zasadniczych prawd nauki i religii. Nowością jest jednak to, że jedynie matematykę uznaje za naukę, matematyzuje naturę i uznaje jedynie rozumowe myślenie za źródło poznania. Na tym też polega jednostronność jego rozumowania, z którym łączy się jeszcze typowa wówczas pogarda dla historii, tym samem dla ustalonych przez nią także w dziedzinie filozofii pojęć. Połączenie przez Descartesa matematyczno-fizycznego światopoglądu z teologią, w przeciwstawieniu do chrześcijaństwa, w którym teologia wiąże się z historią, odnajdujemy u Spinozy, Leibniza i Wolffa, a nawet u Kanta, dla którego zawsze jeszcze matematyka jest istotną nauką, a Bóg najwyższym przedmiotem filozofii. Wychodząc, tak jak św. Augustyn z zasadniczego zwątpienia o wszystkim co nazywamy poznaniem, dochodzi Descartes do odkrycia, iż jedynie tylko uświadomienie sobie zwątpienia jest bezwzględnie pewne. Wątpienie jest aktem myśli, więc stwierdza równocześnie istnienie myślących ludzi. Tak dochodzi do swego pierwszego twierdzenia: „ cogito ergo sum” („myślę więc jestem”). Ponieważ wszystkie twierdzenia o mojej osobie mogę odrzucić, a nie mogę odrzucić tylko myślenia, bo choćbym je odrzucił, to jednak negując je myślę, przeto wynika z tego, że istota człowieka polega na myśleniu. W przeciwieństwie do św. Augustyna wyklucza zatem Descartes poza myśleniem każdą inną treść świadomości: Rozsądkowe myślenie jest jedynym źródłem prawdy, które posiadamy. Pewnym jest zatem wszystko, co rozsądek jasno i wyraźnie widzi, jak np. cogito, ergo sum. Jeżeli wedle tej zasady zbadamy treść naszego myślenia, to znajdziemy w nim idee różnego gatunku, częściowo wrodzone, częściowo nabyte, częściowo wynalezione. Między nimi idea Boga zajmuje pierwsze miejsce. Ponieważ człowiek jest niedoskonały i otacza go jedynie niedoskonałość i doczesność, a Boga z konieczności musimy sobie wyobrażać nieskończonym i doskonałym, przeto idea Boga nie może powstać z człowieka. Ona jest przez Boga w niego wlana czyli wrodzona, tak jak jest mi wrodzona idea mnie samego. Bóg jest przyczyną idei Boga w nas, a zarazem wszystkich prawd wiecznych. Istnienie Boga jest zatem takim samym pewnikiem jak cogito, ergo sum i jak prawdziwość jasnych i dokładnych twierdzeń odnajdywanych w naszym myśleniu. W przeciwnym bowiem razie Bóg byłby oszustem. Jeśliby nam dał rozum, który by nas stale wprowadzał w błąd, co jest niemożliwe.
Dokonania Kartezjusza na polu nauk przyrodniczych i ścisłych. • Dołączony do Rozprawy... traktat La géométrie (1637) (Geometria) zawierał opis zastosowania metody Kartezjusza w geometrii. Wyrazem jego prac przyrodniczych jest „Dioptrique” (1639), zawierająca Sneliusowskie prawo o załamywaniu światła. • Kartezjusz sądził, że geometrii brak ogólnej metody postępowania, a algebra bez właściwego powiązania z geometrią jest trudno zrozumiała intuicyjnie. Traktat zawiera oryginalny pomysł nadania każdemu punktowi na płaszczyźnie nazwy przez przypisanie mu dwóch liczb. • Obecnie przyjmuje się, że liczby te są równe z dokładnością do znaku odległościom od dwóch wzajemnie prostopadłych prostych, ale Kartezjusz rozpatrywał tylko jedną prostą z wybranym punktem O. Dzięki temu krzywe można było opisywać równaniami spełnionymi przez liczby przypisane punktom krzywych. • Rozwój idei Kartezjusza doprowadził do powstania geometrii analitycznej, a badania własności geometrycznych krzywych metodami algebraicznymi do powstania rachunku różniczkowego i całkowego, a następnie geometrii różniczkowej. • Kartezjusz po raz pierwszy wprowadził termin funkcja, a także nazwę liczby urojone. Zapoczątkował też badania wielu problemów teorii równań algebraicznych. Sformułował twierdzenie znane obecnie pod nazwą twierdzenia Bézout oraz (w sposób bardzo niejasny) twierdzenie o liczbie rzeczywistych i zespolonych pierwiastków równania algebraicznego (tzw. zasadnicze twierdzenie algebry), udowodnione następnie przez matematyka niemieckiego Carla Gaussa. Kartezjusz podał również prosty sposób oszacowania liczby dodatnich i ujemnych pierwiastków równania algebraicznego, tzw. regułę znaków Kartezjusza. Znalazł graficzny sposób rozwiązania równania algebraicznego trzeciego stopnia, jak również nowy sposób rozwiązania równania czwartego stopnia. Badał także własności niektórych krzywych nazwanych później jego imieniem takich jak liść Kartezjusza czy owal Kartezjusza. • Kartezjusz był też jednym z prekursorów fizyki klasycznej. Sformułował zasadę zachowania pędu oraz tzw. teorię wirów, według której materia Wszechświata znajduje się w ciągłym ruchu, wywołującym wiry wypełniającego wszechświat eteru. Kartezjusz zajmował się również eksperymentami optycznymi, sformułował prawo załamania i odbicia światła.
Życie • Z wody powstało i z wody się składa" - twierdził i dowodził Tales. Tales zMiletu (gr. Θαλῆς ὁ Μιλήσιος Thales ho Milesios), (ur. ok. 625 p.n.e., zm. ok. 545 p.n.e.), półlegendarny, archaiczny grecki filozof, matematyk, astronom, inżynier, polityk, podróżnik i kupiec, zaliczany do siedmiu mędrców starożytnej Grecji, uznawany za twórcę podstaw nauki i filozofii europejskiej. Prawdopodobnie odkrył, że magnetyt oraz potarty bursztyn mają własności przyciągania (wnioskując z tego, że według Diogenesa Laertiosa Tales przypisywał tym przedmiotom duszę). Zaliczany do filozofów szkoły jońskiej. Jego uczniem był Anaksymander. • Podczas gdy przed nim zadowalano się religijno-poetyckim, mitologicznym obrazem świata, Tales stworzył pierwszą spójną, racjonalną teorię natury (physis), bez odwoływania się do sił nadprzyrodzonych, odpowiedzi na zagadki natury poszukując w samej przyrodzie [materii], w jej obserwacji. Nastąpiło w ten sposób tzw. "przejście od mitu do Logosu". • Jego "materializm" (co prawda nie znano jeszcze wówczas pojęcia materii, ale świat był dla Talesa zbiorem konkretnych ciał) w połączeniu z hylozoizmem (zdolność do ruchu jako podstawowa właściwość przyrody, będącą objawem jej życia i duszy) dał początek szkole jońskiej i wpłynął na antyczną myśl przyrodniczą w ogóle.
Twierdzenie Talesa • Twierdzenie Talesa – jedno z najważniejszych twierdzeń całej geometrii euklidesowej. Tradycja przypisuje jego sformułowanie Talesowi z Miletu. • Teza • Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta. :
Dla powyższych rysunków zachodzi: • lub po przekształceniu: oraz a także: • Często spotykaną nieścisłością jest takie formułowanie twierdzenia Talesa: ta równość jest oczywiście prawdziwa, ale wynika z podobieństwa trójkątów ADE i ABC a nie z samego twierdzenia Talesa.
Dowód • Najstarszy zachowany dowód twierdzenia Talesa zamieszczony jest w VI. księdze Elementów Euklidesa. Dowód oparty jest na dwóch lematach: Lemat I. Jeśli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw. Lemat II. Jeśli dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości, to ich pola są równe.
1. Trójkąty CED i EAD mają wspólną wysokość h', więc na mocy lematu I.: 2. Trójkąty CED i BDE mają wspólną podstawę ED i równe wysokości h, więc na mocy lematu II.: SCED = SBDE, stąd 3. Trójkąty BDE i EAD ma wspólną wysokość, więc na mocy lematu I.: . Łącząc w jeden zapis otrzymujemy: , czego należało dowieść.
