Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok

1. Metody numeryczneSOWIGWydział Inżynierii ŚrodowiskaIII rok dr inż. Jerzy Kotowski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki

2. Metody numeryczneInterpolacja dr inż. Jerzy Kotowski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki

3. InterpolacjaDefinicje • Interpolacja jest to wstawienie do cudzego tekstu wyrazów, zwrotów, zdań, których pierwotnie nie zawierał; (przybliżone) oblicze, oszacowanie wartości (zwł. funkcji mat.) znajdujących się między dwiema znanymi wartościami. • http://www.slownik-online.pl/kopalinski/D6DC7462CB749143C12565E30055DDD5.php • Ekstrapolacja jest to wnioskowanie o tendencjach rozwojowych, stosunkach, warunkach, wartościach (zwł. funkcji mat.) na zewnątrz jakiegoś przedziału na podstawie znanych, zaobserwowanych tendencji, wartości itp. wewnątrz niego. • Załóżmy że dane są wartości funkcji f(x) na zbiorze punktów x0,x1,…,xn zwanych węzłami interpolacji. Zadaniem interpolacji jest wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji f(x) zwanej funkcją interpolowaną w punktach nie będących węzłami interpolacji. • Przybliżoną wartość funkcji f(x) obliczamy za pomocą funkcji F(x) zwanej funkcją interpolującą, która w węzłach ma te same wartości co funkcja interpolowana.

4. InterpolacjaDefinicje • Funkcja interpolująca – przybliżenie zadanej funkcji musi przechodzić przez zadane punkty, inaczej niż w aproksymacji. • Interpolację stosuje się najczęściej gdy nie znamy analitycznej postaci funkcji (jest ona tylko stablicowana) lub gdy jej postać analityczna jest zbyt skomplikowana. • Funkcja interpolująca F(x) jest funkcją z pewnej klasy. Najczęściej będzie to wielomian algebraiczny, wielomian trygonometryczny, funkcja wymierna lub funkcja sklejana. • W dalszej części wykładu ograniczymy się do przypadku gdy funkcja aproksymująca jest uogólnionym wielomianem. • Przypomnienie: wielomian uogólniony jest kombinacją liniową pewnych funkcji bazowych qi(x), i=0,1,2,…,n. • Szczególnym przypadkiem wielomianu uogólnionego jest klasyczny wielomian: qi(x)=xi, i=0,1,2,…,n.

5. (xn,yn) (x0,y0) (x1,y1) InterpolacjaSformułowanie problemu • Węzły interpolacji: • To jest układ n+1 równań liniowych z n+1 niewiadomymi a0,a1,…,an

6. InterpolacjaZapis macierzowy • Układ równań: • Oznaczenie: vij=qj(xi)

7. InterpolacjaWłasności wielomianu interpolującego • Wektor funkcji bazowych: • Funkcja aproksymująca: • Po podstawieniu rozwiązania z poprzedniego slajdu otrzymujemy: • q(x) jest wektorem wierszowym zawierającym funkcje bazowe. Wartości tych funkcji zależą tylko od zmiennej niezależnej x. • V jest macierzą kwadratową, której elementy zależą wyłącznie od wartości funkcji bazowych w węzłach interpolacji (x-ach) • Wektor kolumnowy Y zależy od składowych y-kowych węzłów interpolacji

8. InterpolacjaWłasności uogólnionego wielomianu • Mnożenie macierzy jest łączne: A(BC)=(AB)C • Dlatego można napisać: Qn(x)=q(x)(V-1Y)=(q(x)V-1)Y • Wprowadzamy oznaczenie: Rn(x)=q(x)V-1 • Rn(x) jest wektorem wierszowym o n+1 składowych: Rn(x)=[l0,l1,…,ln] • Wszystkie te składowe są funkcjami zmiennej niezależnej x i zależą od składowych x-owych węzłów interpolacji: li=li(x,x0, x1,…, xn), i=0,1,2,…,n. • Ostatecznie: Qn(x)=Rn(x)Y. • Oznacza to, że poszukiwany uogólniony wielomian interpolujący jest liniową kombinacją składowych y-kowych węzłów interpolacji. Współczynnikami w tej liniowej kombinacji są funkcje l0,l1,…,ln.

9. InterpolacjaKlasyczny wielomian interpolacyjny • Pytanie: czy można wyznaczyć analitycznie funkcje li, i=0,1,2,…,n? • Jeżeli się to uda, to wtedy wyznaczanie wartości wielomianu interpolującego sprowadzi się do podstawiania do wzoru. • Z tym (tzn. z obliczaniem wartości wyrażenia) komputery radzą sobie najlepiej. • Jest to możliwe dla wybranych wektorów funkcji bazowych. • W tym zbiorze ważnym przypadkiem jest klasyczny wielomian interpolacyjny qi(x)=xi, i=0,1,2,…,n:

10. InterpolacjaWyznacznik Vandermonde’a • Macierz V przypomina macierz X z wykładu o aproksymacji. • Istotna różnica: V jest zawsze macierzą kwadratową. • Można obliczyć jej wyznacznik. Jest to znany z algebry wyznacznik Vandermonde’a. • Jak widać z wzoru |V|0 wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne x-owe węzłów interpolacji są różne. • Jest to warunek istnieniai jednoznaczności rozwiązania

11. InterpolacjaWzór Lagrange’a • Twierdzenie 1 Jeżeli |V|0 to wtedy zadanie interpolacji wielomianowej posiada jednoznaczne rozwiązanie, czyli istnieje tylko jeden wielomian Ln(x) stopnia nie większego niż n spełniający warunek Ln(xi)=yi, i=0,1,2,…,n • Szukany wielomian ma postać: • Powyższy wzór nosi nazwę wzoru Lagrange’a • Funkcje Lagrange’a:

12. InterpolacjaPrzykład 1: n=1 • Jest to znany ze szkoły wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. • Zarys dowodu: • Jest to prosta niewątpliwie równanie linii prostej • y(x0)=y0, y(x1)=y1

13. InterpolacjaPrzykład 2: n=2 • Jest to na pewno parabola • y(x0)=y0, y(x1)=y1, y(x2)=y2 • Jest to zatem to, czego szukaliśmy.

14. InterpolacjaPrzykład 3: n=2 (historyczny) • Wniosek: poprawianie kartkówek przedświątecznych nie musi być zajęciem bardzo wyczerpującym.