A Fibonacci-féle sorozat

1. A Fibonacci-féle sorozat

2. Leonardo Pisano (1170-1250) olasz kereskedő-matematikus, a századfordulón egyike volt azoknak, akik a tízes alapú, helyi értékes rendszerre épülő számírási módot Európában meghonosították. Leonardo, ismertebb nevén Fibonacci kora matematikai ismereteit Liber Abacicímen ismert munkájában foglalta össze. E híres munkájában található a következő probléma, amit Fibonacci nyulaiként is gyakran emlegetnek:

3. „Hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti pár, ha tudjuk, a nyulak két hónap alatt válnak ivaréretté, és ezután minden pár minden hónapban egy új párnak ad életet és mindegyikük életben marad?”

4. Megoldás • Az első hónapban egy nyúl-párunk van, és ugyanannyi lesz a másodikban is; a párok száma csak a harmadik hónapban változik egyről kettőre • A következő hónapban a szülők újabb párnak adnak életet, így a párok száma háromra nő, az ötödik hónapban azonban már az új pár is szaporulatképes, így az új párok száma kettővel nő, és az összes párok száma ötre gyarapodik • A következő hónapban már mindkét ifjabb generáció hoz létre utódokat, és a párok száma hárommal növekedve nyolcra változik

5. Eltelt idő Párok száma

6. Az egyes hónapokhoz tartozó nyúl-párok szám át leíró: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … számsor Fibonacci-sorozat néven vonult be a matematika történetébe • A sorozat előállításának alapja az a tulajdonság, mely szerint a harmadik elemtől kezdve bármely elem az előző kettő összege • A sorozat első két elemét azonban meg kell adni; ezek értéke a Fibonacci-sorozat esetén 1 • A sorozat definíciója ennek megfelelően: a1=1, a2=1 és an=an-1+an-2, ha n>2 • Minden pozitív egész szám felírható különböző Fibonacci-számok összegeként; ha a Fibonacci-számok között nem lehet két egymást követő, akkor a felírás egyértelmű.

7. A Fibonacci-sorozat elemei azonban nem alkotnak mértani sorozatot, az egymást követő elemek hányadosa nem állandó • Az elemek számának növelésével azonban ez a hányados egy állandó számhoz, a "φ"-hez közelít

8. Írjuk fel a Fibonacci sorozat első néhány elemét és vizsgáljuk meg a szomszédos elemek hányadosát! • A hányados értéke a 10. elemtől közelít a 1,618-hoz, azaz az aranymetszési állandóhoz, a "φ"-hez

9. A Fibonacci-sorozat és az aranymetszés A Fibonacci-sorozat szoros kapcsolatban van az aranymetszéssel. A Fibonacci-sorozat elemei nem alkotnak mértani sorozatot, az egymást követő elemek hányadosa nem állandó, ami különösen jól látszik alacsony sorszámok esetén. Az elemek számának növelésével azonban ez a hányados egy állandó számhoz közelít.

10. Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál egy olyan logaritmikus spirál, ami egy negyed fordulat alatt nő a φ-szeresére (φ – ‘aranyszám’). A Fibonacci-spirálon egyenlő távolságra pontokat elhelyezve azok „spirálkarokká” állnak össze, és ezen karok száma Fibonacci-szám lesz. A Fibonacci-spirál mentén elhelyezett gömbök optimális elrendezést adnak abban az értelemben, hogy nagyon sok gömböt elhelyezve is azok egyenletesen oszlanak el.

11. Fibonacci-spirál és aranymetszés előfordulása

12. Fényképészetben • Az aranymetszés két részre oszt egy szakaszt. Matematikailag a nagyobb rész úgy aránylik a kisebbhez, mint az egész a nagyobbhoz. A képet az aranymetszés szerint nagyjából 5:8 arányban felosztó vonalakat harmonikus osztóvonalaknak is nevezzük. A felosztás az emberi szem számára különösen kellemes, hiszen a tekintet előszeretettel vándorol a különféle nagyságú képmezők között, és szereti a harmóniát is.

13. FényképészetbenFibonacci-spirál

14. FényképészetbenAranymetszés

15. Természetben • A virágok szirmai sokszor Fibonacci-szám:  liliom, ; az őszirózsának 21; egyes százszorszépeknek 34; más százszorszép-fajoknak pedig 55 vagy 89 szirma van.

16. Természetben

17. Készítette • Farkas Bálint • Törőcsik Kristóf • Fehér Zoltán