Fibonacci ja tema arvujada Helki Haavasalu

1. Fibonacci ja tema arvujadaHelki Haavasalu

2. Fibonacci jada on selline arvude jada, mis on defineeritud algtingimustel F1=0 ja F2=1 (või ka F1=1 ja F2=1) rekurrentse valemiga(jada üldliige esitub talle vahetult eelnevate liikmete kaudu). Fibonacci jada:1)0,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…või 2)1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…

3. Fibonacci arvud esinevad esimest korda teadaolevalt mātrāmeru nime all sansritikeelses käsikirjas Pingala (Chandah-shāstra, "Prosoodia kunst", 450 e.m.a või 200 e.m.a).Aastal 1202 tutvustas seda jada maailmale itaalia matemaatik Pisa Leonardo ehk Fibonacci.

4. Fibonacci

5. Leonardo Fibonacci (1175-1250)

6. Pisa Leonardo, Leonardo Fibonacci, kõige sagedamini lihtsalt Fibonacci (nimi Fibonacci tähendab tõlkes Bonacci poeg), oli Itaalia matemaatik, keda peetakse "keskaja kõige andekamaks matemaatikuks“.1202. a. tutvustas ta maailmale arvujada, mida nimetatakse tema järgi Fibonacci arvude jadaks. Samuti peetakse teda araabia numbrite Euroopasse toojaks.

7. Kuulus torn Pisa linnas Itaalias

8. Fibonacci elas Itaalias Pisa linnas. Ta oli üsna osav arvutaja ja tundis hästi igasuguseid arvudevahelisi seoseid. Aastal 1202 andis ta välja ladinakeelse raamatu, mis sisaldas kogu tollal tuntud aritmeetika- ja algebra-alaste teadmiste hulga. See oli üks esimesi Euroopas ilmunud raamatuid, mis õpetas kümnendsüsteemi kasutamist.

9. Leonardo raamat levis laialdaselt ja oli rohkem kui 2 sajandit kõige autoriteetsemaks teadmiste allikaks arvude vallas. Vastavalt tolle aja kommetele võttis Fibonacci osa ka matemaatilistest turniiridest (avalikest võistlustest raskete ülesannete parima ja kiireima lahendaja nimele).

10. Leonardo osavus numbriliste ülesannete lahendamisel hämmastas kõiki. Fibonacci hea reputatsioon meelitas 1225. aastal Pisasse ka Rooma valitseja Friedrich II, kes saabus matemaatikute rühmaga Leonardo võimeid kontrollima. Üks turniiril olnud ülesannetest oli järgmine: „Leida täisruut, mis jääb selleks ka pärast viie võrra suurendamist või vähendamist”.

11. Fibonacci leidiski pärast lühiajalist mõtlemist niisuguse arvu, mis osutus murruks: Tõepoolest:

12. Fibonacci arvude jada omadusi

13. Vaatame Fibonacci jada: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…* Iga kolmas Fibonacci arv on paarisarv, s.t, et kolmas, kuues, üheksas, kaheteistkümnes jne arv on paarisarv: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… * Iga neljas Fibonacci arv jagub kolmega: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…* Iga viies Fibonacci arv jagub viiega, kuna F(5)=5.* Iga kuues Fibonacci arv jagub kaheksaga, sest F(6)=8...* Kehtib üldine reegel: iga k-s Fibonacci arv jagub k-nda Fibonacci arvuga.

14. * Sellest saame järelduse, et iga algarvulise Fibonacci arvu järjekorra number peab olema algarv. Siin on vaid üks erand: järjekorranumber 4ei ole algarv, aga neljas arv selles reas on 3, mis on algarv.

15. Veel jada liikmete omadusi.12 + 12 + 22 + 32 + 52 = 5 x 812 + 12 + . . . + F(n)2 = F(n) x F(n+1)Selgita antud seoseid. Kirjuta veel näiteid.Kehtib ka seos:Näited: 3x8 = 52-1,   5x13=82+1

16. Jada 12.liige on võrdne arvu 12 ruuduga.0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … sama ka jadas1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …Fibonacci jadas on ainult 3 arvu, mis on täisarvu ruudud: 0,1,144.

17. Fibonacci arvud ja muusika

18. Tundub, et Fibonacci arvud on muusikalised arvud. Üks oktaav klaveri klahvistikul on seotud arvudega 2; 3; 5; 8 ja 13.Oktaavis on 13 klahvi, millest 8 on valged, 5 mustad. Mustad jaotuvad igas oktaavis 3-seks ja 2-seks klahvide grupiks. Kas pole väga huvitav Fibonacci arvude paigutumise koht?

20. Fibonacci arvud ja kuldlõigeφ = 1,618033…

21. Kuldlõike suhtarv φ on Fibonacci jada (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…) kahe järjestikuse liikme suhetest (an+1 : an) moodustatud jada piirväärtus: .

22. Geomeetriaparadoks

23. Ühe näitena Fibonacci jada kohta võib tuua tuntud geomeetriaparadoksi.Järgneval joonisel on 64-st ühikruudust koosnev ruut jagatud neljaks osaks, millest seejärel on moodustatud ristkülik pindalaga 65 ruutu. Ruudu ja ristküliku külgi moodustavad lõigud on vastavalt 3; 5; 8; 13 ühikut pikad st kujutavad endast Fibonacci jada liikmeid.

25. Paradoksaalne olukord tekib sellepärast, et lõik AC ei ole sirglõik, vaid selle lõigu juurde moodustub kujund, mille pindala võrdub 1 ühikruuduga. Paradoksi põhjuseks on siin asjaolu, et kui selliselt defineeritud rekurrentses jadas järjest edasi minna, siis jada kahe järjestikuse liikme suhe läheneb kindlale arvule φ.

26. Seega meie jadas: 5:3 ≈ 8:5 ≈ 13:8 ≈φ, millest 5:3 ≈ 13:8 ehk 5:13 ≈ 3:8. Et kolmnurk ABC oleks täisnurkne peaks 5:13 = 3:8.Kuna aga kehtib ligikaudne võrdus 5:3 ≈ 8:5 ≈ 13:8 ≈φ, siis pole meil tegemist täisnurkse kolmnurgaga. Ülesanne Kasuta mingit teist analoogiliselt defineeritud rekurrentset jada ja joonista detailid sama paradoksi näitamiseks teiste mõõtmetega lähtekujundite abil.

27. Järgmisel joonisel on tegemist silmapettega, mille põhjus seisneb jällegi suhtes φ.Uuri tähelepanelikult erinevate täisnurksete kolmnurkade sarnasusi.Kumb joonisel olevatest kujunditest on täisnurkne kolmnurk?

29. Fibonacci arvud ja jänesed

30. Aastal 1202 uuris Fibonacci probleemi jäneste paljunemisest. Ta eeldas, et alguses on meil üks paar jäneseid: üks emane, teine isane. Arvestatakse, et jänesed on paljunemisvõimelised 1 kuu vanusest ja siis sellest 1 kuu möödudes võivad sündida pojad.

31. Fibonacci eeldas, et iga kuu möödudes sünnivad paaridel pojad (jänesed saavad endale esimesed jänesepojad, kui nad ise on 2 kuu vanused) ja paaril sünnib 1emane ja 1 isane jänesepoeg.Ta küsis: Mitu paari jäneseid on sellistel tingimustel 1 aasta pärast?

33. Kui kuude arv on n: 1 2 3 4 5 6…10 11 12 13 14 15 ...Siis vastavad jäneste paaride / Fibonacci arvud on1 1 2 3 5 8… 55 89 144 233 377 610…Vastus: 144 jänest

34. Fibonacci arvud looduses

35. Meid ümbritsevas looduses on näiteks taimede lehed paigutunud korrapäraselt nii, et nende ühtlaseks kasvuks oleksid tingimused võimalikult ühetaolised ja soodsad. Taimelehed puhkevad matemaatilises jadas: algul üks, siis kaks, siis kolm, seejärel lisandub korraga viis, hiljem kaheksa jne. Puude oksad hargnevad peenemaks kindlas rütmis kindlate matemaatiliste vahedega. Inimkeha proportsioonid on kuldlõikelises suhtes – alates luude liigeste pikkusest, hammastest ja nende laiusest, meie DNA ahela lõikude pikkussuhtest jne.

36. Fibonacci jada pole tuttav mitte ainult matemaatikutele, vaid seda tunnevad hästi ka botaanikud. Kui lehed asuvad okstel ühekaupa, siis nad paigutuvad ümber varre mitte ringjoonekujuliselt, vaid mööda nn kruvijoont, st iga järgmine leht on eelmisest veidi üleval pool ja kõrval. Kui vaadata, mitu lehte on kahe kohakuti lehe vahel, siis on see tavaliselt Fibonacci arv. Sama toimib ka käbi kihtide puhul.

37. Lehtede jaotus oksa ümber allub Fibonacci e. kuldsele suhtele: 5 lehte 3 pöördega, 8 lehte 5 pöördega.

40. Fibonacci arvud esinevad väga sageli lillede õisikutes, kus väikesed õied asetsevad mööda spiraale, mis pöörlevad päri- ja vastupäeva. Spiraalide arv kummaski suunas on Fibonacci arv. Näiteks: Päevakübaral on täpselt 21 päripäeva spiraali ja 34 vastupäeva spiraali.

43. Fibonacci spiraalidega mustreid võib kohata männikäbidel, ananassi koortel, spargel- või lillkapsal.

45. Fibonacci spiraal

46. Fibonacci spiraal (kuldne spiraal e logaritmiline spiraal) on moodustatud kuldlõikes jaotatud ristkülikute abil. Sellist spiraali järgivat struktuuri võib leida molluskite kodades, õhumasside liikumises, spiraalsetes galaktikates ja mujal.