Distribuzione esponenziale:

1. Distribuzione esponenziale: Ipotizziamo un modello semplice:

2. Log-verosimiglianza: Max =15.6

3. Test per stime MLE Confronto tra un modello “generale” (con logveros. L) e uno “vincolato” o “ridotto” (con logveros. Lv) I modelli devono essere, quindi, “annidati” (nested) Se i vincoli sono appropriati si avrà Lv  L

4. Likelihood Ratio test Misura la riduzione di L connessa alla introduzione del vincolo, se il vincolo è valido, si dovrebbe perdere poca informazione:

5. Test di Wald Misura il valore del vincolo in corrispondenza del parametro di max MLE, se il vincolo è appropriato, il valore dovrebbe essere 0, cioè verifica se la stima max MLE rispetta i vincoli: (Si stima del modello generale)

6. Test dei moltiplicatori di Lagrange Misura il valore dei moltiplicatori di Lagrange, se il vincolo è appropriato, il valore dovrebbe essere 0, cioè verifica se la stima max MLE rispetta i vincoli: (Si stima del modello ristretto) Se i  sono “vicini” a 0 il vincolo non ha effetti sulla stima, allora si calcolano le derivate di L nel punto di massimo vincolato, se sono prossime a 0 la perdita di informazioni non è significativa

7. Derivata L verosimiglianza Vincolo su 

8. Riprendiamo il modello iniziale: È una forma ristretta di un Gamma generalizzata con Parametro =1 Il vincolo è =1, se non vi è perdita di informazione allora tra tutte le distribuzioni generate da una Gamma, quella esponenziale è la più adatta

9. Utilizziamo i tre test per verificare: • LIKELIHOOD RATIO: • Dalla stima MLE dei DUE modelli otteniamo: • Ln(L) non vincolato (Gamma) = -82.916 • Ln(L) vincolato (esponenziale) = -88.436 • LR=-2[-88.436-(-82.916)]=11.04  ²(1) Il valore test è 3.842, quindi si rigetta H0

10. TEST DI WALD Dalla stima MLE del solo modello non vincolato: Il valore test è ancora 3.842, quindi si rigetta H0

11. TEST DEI MOLTIPLIPICATORI DI LAGRANGE: Dalla stima MLE del solo modello non vincolato: Il valore test è ancora 3.842, quindi si rigetta H0