Modélisation

1. Modélisation Le livre de la nature est écrit en caractères mathématiques Galilée (1564-1642) Mythe ou réalité? A quoi servent les mathématiques? journées IUFM sur la modélisation en sciences

2. Plan de l’exposé • Présentation du socle commun • Modélisation (lien) • Rôle des mathématiques (lien) • Exemples concrets de modélisation dans les sciences (lien) • Modélisation en sciences (lien) • Projet P3 : activité interdisciplinaire • Annexes, Vocabulaire et bibliographie journées IUFM sur la modélisation en sciences

3. Compétences viséeshttp://eduscol.education.fr/D0231/accueil.htm • la maîtrise de la langue française ; • la pratique d'une langue vivante étrangère ; • les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique ; • la maîtrise des techniques usuelles de l'information et de la communication ; • la culture humaniste ; • les compétences sociales et civiques ; • l'autonomie et initiative. journées IUFM sur la modélisation en sciences

4. Socle commun en maths et sciences et techniques • représentation cohérente du monde. • compréhension de l’environnement quotidien. • la complexité peut être exprimée par des lois fondamentales. • Manipuler pour comprendre. • Acquérir rigueur intellectuelle seule constitutive du raisonnement scientifique. journées IUFM sur la modélisation en sciences

5. Les Mathématiques • Développement de la pensée logique, et de capacités d'abstraction. • acquérir une vision dans le plan et dans l'espace. • utilisation de formules, de modèles, de graphiques et de diagrammes. • Développer le raisonnement logique et le goût de la démonstration. journées IUFM sur la modélisation en sciences

6. Conditions d’acquisition • Résolution de problèmes, • Ancrage dans la réalité notamment à partir de situations proches de cette réalité. journées IUFM sur la modélisation en sciences

7. Connaissances • Nombres et calcul. • Gestion de données et fonctions. • Géométrie plane et dans l’espace. • Grandeurs et mesures. journées IUFM sur la modélisation en sciences

8. Attitudes • On peut appréhender la réalité à partir de lois logiques • L’enseignement des mathématiques doit permettre : • rigueur et précision, • respect de la vérité rationnellement établie, • le goût du raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver. journées IUFM sur la modélisation en sciences

9. Culture scientifique et technologique • Comprendre et décrire : • le monde réel, celui de la nature, • celui construit par l'Homme, • les changements induits par l'activité humaine. • Distinguer : • faits et hypothèses vérifiables et opinions et croyances. journées IUFM sur la modélisation en sciences

10. Pour atteindre ces buts • l'observation, • le questionnement, • la manipulation et • l'expérimentation. journées IUFM sur la modélisation en sciences

11. Capacités à développer dans les sciences expérimentales • démarche scientifique • observer, questionner, • formuler une hypothèse et la valider, • argumenter, • modéliser de façon élémentaire journées IUFM sur la modélisation en sciences

12. Mathématiques outil de modélisation • Comprendre le lien entre les phénomènes de la nature et le langage mathématique qui s'y applique et aide à les décrire. journées IUFM sur la modélisation en sciences

13. Manipuler et Expérimenter en éprouvant la résistance du réel • Concevoir un protocole et le mettre en œuvre • Utiliser les outils appropriés, y compris informatiques • Développer des habiletés manuelles, être familiarisé avec certains gestes techniques • Percevoir la différence entre réalité et simulation • Comprendre qu'un effet peut avoir plusieurs causes agissant simultanément, de percevoir qu'il peut exister des causes non apparentes ou inconnues journées IUFM sur la modélisation en sciences

14. Exprimer et exploiter les résultats d'une mesure ou d'une recherche • utiliser les langages scientifiques à l'écrit et à l'oral, • maîtriser les principales unités de mesure et savoir les associer aux grandeurs correspondantes, • comprendre qu'à une mesure est associée une incertitude, • comprendre la nature et la validité d'un résultat statistique. journées IUFM sur la modélisation en sciences

15. Appréhender rationnellement les choses pour : • développer les attitudes suivantes : • le sens de l'observation, • la curiosité pour la découverte des causes des phénomènes naturels, • l'imagination raisonnée, l'ouverture d'esprit, • l'esprit critique : distinction entre le prouvé, le probable ou l'incertain, la prédiction et la prévision, situation d'un résultat ou d'une information dans son contexte. journées IUFM sur la modélisation en sciences

16. Éducation à la citoyenneté • Développer : • l'intérêt pour les progrès scientifiques et techniques, • la conscience des implications éthiques de ces changements, • l'observation des règles élémentaires de sécurité dans les domaines de la biologie, de la chimie et dans l'usage de l'électricité, • la responsabilité face à l'environnement, au monde vivant, à la santé. journées IUFM sur la modélisation en sciences

17. Place de la modélisation dans la démarche scientifique journées IUFM sur la modélisation en sciences

18. Modélisation : Pourquoi? • On se pose une question dont la réponse n’est pas évidente et l’expérimentation coûteuse ou impossible. • Acquérir une représentation cohérente du monde reposant sur des connaissances. Se créer des images. • Pour échanger avec les non spécialistes en ayant un langage commun. • Pour modifier certains paramètres et ainsi prévoir, anticiper, simuler. • Rigueur, précision. journées IUFM sur la modélisation en sciences

19. Qu’est-ce qu’un modèle? • Un assemblage de concepts représentant de manière simplifiée une chose réelle déjà existante (objet, phénomène, etc.), en vue de la comprendre, d'en prédire le comportement, • Il allie les notions de ressemblance et de représentation. • C’est une représentation d'une réalité qui doit coller à l’expérience. journées IUFM sur la modélisation en sciences

20. Modèle mathématique • Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques. • Généralement, en sens inverse, la traduction des résultats obtenus permet de prédire et d’opérer sur le monde réel. • Un même modèle peut s’appliquer dans des contextes différents. journées IUFM sur la modélisation en sciences

21. Modèle • un modèle est toujours lié à ce que l'on veut en faire, à une théorie. • un modèle n'est jamais parfait ni totalement représentatif de la réalité. • il y a toujours plusieurs modèles possibles. • C’est utile pour traiter le réel, mais il ne faut pas le prendre pour le réel. journées IUFM sur la modélisation en sciences

22. Des sortes de modèles • modèles prédictifs • pour anticiper des événements ou des situations • modèles descriptifs • Pour rendre compte, de manière interprétable, d'une masse d'informations • Les deux modèles sont liés et souvent l’un ne va pas sans l’autre journées IUFM sur la modélisation en sciences

23. Pertinence d’un modèle • Couvrir le champ du problème réel. • Obtention du résultat escompté. • Respect des délais souhaités. • Il est souhaitable qu’il soit ré-utilisable. • Une bonne modélisation permet de répondre à des questions complexes avec des calculs simples. journées IUFM sur la modélisation en sciences

24. Comment Modéliser? • Inspiration, imagination, analogie, rasoir d’Occam et changement de point de vue. • Il faut bien limiter le champ du problème. • filtrer les données pour atteindre l’essentiel. • Introduire des paramètres manquants, éventuellement adopter une approche probabiliste. • Bien décrire l’ensemble des règles ou équations. • valider le modèle. journées IUFM sur la modélisation en sciences

25. Force des mathématiques • Fournir des idées • Langage universel d’expression • Généralité, richesse et puissance du langage • Équations aux dérivées partielles • analyse fonctionnelle : méthodes numériques • Méthodes des éléments finis • Algorithmes et méthodes approchées • Traitement du signal • Calcul stochastique, etc. • Outil de dialogue et de prospection journées IUFM sur la modélisation en sciences

26. Il faut toujours garder son esprit critique • Il faut toujours avoir l’esprit critique vis à vis du modèle et d’autant plus s’il contient des mathématiques (voir usage abusif de concepts mathématiques). • Chercher la simplicité. • Organiser une critique active et imaginative • Rechercher des co-vérités (en utilisant des changements de registre) • Fabriquer des contre-modèles. (pour échapper aux interprétations dominantes : voir Copernic et les trajectoires des astres) journées IUFM sur la modélisation en sciences

27. Quelques exemples détaillés • Modèle proies-prédateurs (1er jour) • Modélisation des forces de frottement (2ème jour) • Loi logistique discrète (2ème jour) • TPE sur la vache folle (2ème jour) • Du bon usage du continu (2ème jour) • La molécule de méthane (voir activité) journées IUFM sur la modélisation en sciences

28. Statistiques de pêche à Triestre journées IUFM sur la modélisation en sciences

29. Proies-prédateursVolterra (1860-1940) • Bons poissons (sardines) : x(t) • Mauvais poissons (requins) : y(t) • Variation du nombre de sardines : x’(t) • Si pas de requins : + ax(t) • Si rencontre avec requins : - bx(t)y(t) • Variation du nombre de requins : y’(t) • Si pas de sardines : - dy(t) • Si rencontre avec sardines : + cx(t)y(t) journées IUFM sur la modélisation en sciences

30. Système différentiel • x’(t) = a x(t) – b x(t)y(t) • y’(t) = - d y(t) + c x(t)y(t) Voir fichier : proie_predateur_différentielle.xls journées IUFM sur la modélisation en sciences

31. De l’intérêt de se parler (I)Approximation affine et usage dans les sciences • Que penser d’un exercice formulé ainsi? • Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à 20°C. A 30°C il ne reste que 2,8l dans le récipient. La physique nous apprend que, entre 20°C et 40°C, l’accroissement de volume est proportionnel à l’accroissement de température. On note x la température. • 1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide restant dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C. • 2)En déduire le volume à 40°C. journées IUFM sur la modélisation en sciences

32. Proposition de modification-l’exercice ne doit pas induire de mauvaises images chez l’élève-il doit permettre à l’élève d’utiliser le modèle fonction affine et proportionnalité des « écarts » avec un support tiré des sciencescomment noter la variable? x ou t? • EX : Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à 20°C. A 30°C le volume dans le récipient est de 4,8l. On a constaté expérimentalement que pour ce liquide, entre 20°C et 40°C, l’accroissement de volume est proportionnel à l’accroissement de température. On note x la température. • 1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C. • 2)En déduire le volume à 40°C. journées IUFM sur la modélisation en sciences

33. De l’intérêt de se parler (II)Approximation affine et usage dans les sciencesQue peut-on faire pour améliorer la cohérence avec les enseignements de mathématiques? • Extrait d’un ex de physique : • On présente le spectre d’une étoile Markab, dont on cherche à extraire la présence d’éléments chimiques dans la couche superficielle. On place en dessous le spectre du fer, dont on connaît les longueurs d’onde des raies. Les 8 raies du spectre du fer, à partir de la raie origine (404,4 nm), coïncident avec certaines raies du spectre de l’étoile. • Question : mesurer la distance dx entre chacune des 8 raies et la raie origine. Calculer la différence de longueur d’onde dL entre chacune de ces raies et la raie origine. Calculer dx/dL pour chaque raie. Montrer que dx est proportionnel à dL. journées IUFM sur la modélisation en sciences

34. Du bon usage de la continuitéPremier exemple : • Deux mobiles reliés par une ficelle de longueur h vont de A à B sur 2 routes différentes, d’intersection vide sans casser la ficelle. • Deux sphères de rayon h l’une partant de A et l’autre de B peuvent-elles aller l’une de A vers B et l’autre de B vers A sans se rencontrer? journées IUFM sur la modélisation en sciences

35. Du bon usage de la continuitéDeuxième exemple : • A une élection on vote pour A ou pour B. Peut-on, avant le scrutin faire une prédiction qui ne sera pas démentie par les faits? • H Simons (prix Nobel d’économie) pense que oui et argumente : • Soit p une prédiction (%de suffrages pour A) • Soit f(p) le résultat du scrutin. • On fait l’hypothèse que f est continue. Alors la courbe de f coupe forcément la droite d’équation y=x. Donc il existe bien p telle que : p = f(p). journées IUFM sur la modélisation en sciences

36. Le pendule simple • Pendule simple : fil inextensible, et sans masse, longueur L, masse ponctuelle m. • Angle avec la verticale : a(t) • Newton : d²a(t)/dt² = -g/L sin (a(t)) avec a(0) = ao et a’(0) = 0 journées IUFM sur la modélisation en sciences

37. Des mathématiques aseptisées aux Mathématiques Tout TerrainExemples • Beaucoup de problèmes concrets échappent aux mathématiques classiques. • Pourtant les maths ont leur rôle à jouer mais différemment : • Utilisation de l’informatique : discrétisation des problèmes et modélisation. • Analyse non standard journées IUFM sur la modélisation en sciences

38. Qu'est une véritable activité mathématique?introduction aux programmes de collège (BO n° 4 du 4 avril 2004) • identifier et formuler un problème, • conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, • bâtir une argumentation, • contrôler les résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié, • communiquer une recherche, • mettre en forme une solution. journées IUFM sur la modélisation en sciences

39. Méthode des tangentes parallèles pour la détermination du point d'équivalence E journées IUFM sur la modélisation en sciences

40. Autre méthode : méthode du pic de la dérivée journées IUFM sur la modélisation en sciences

41. Projet P3 • projet interdisciplinaire • maîtrise de la langue française par les élèves, éducation à l’environnement ou au développement durable, éducation à la santé, thème de convergence, TPE, IDD, PPCP,….). • Préparer une séquence d’enseignement • Le travail doit être guidé par une problématique pluridisciplinaire • Il doit y avoir articulation entre plusieurs disciplines et une approche théorique • On prépare une séquence pédagogique journées IUFM sur la modélisation en sciences

42. Compétences évaluées • Exercer l’expression écrite et orale des élèves • Connaître le socle commun • Mettre en œuvre des approches pluridisciplinaires • Maîtriser les TICE • Travailler en équipe pluridisciplinaire  • Se former et innover journées IUFM sur la modélisation en sciences

43. Contenu du dossier • présentation de la problématique et éléments théoriques inter-disciplines (deux pages) • objectifs de la séquence et choix effectués (une page) • Calendrier, analyse à priori et à posteriori (3 pages) • choix de productions d’élèves représentatifs (1 page) • synthèse et propositions alternative ou prolongements possibles (1 page) journées IUFM sur la modélisation en sciences

44. Améliorer l’expression chez les élèves(Savoir utiliser un langage pour décrire une situation) • Enrichir l’emploi de la langue • Approfondir la pratique de l’argumentation • Fournir des mots nouveaux pour s’exprimer • Exemples : • Résolution par traduction (analytique) • Décrire en français un algorithme non commenté • Fournir une bonne approximation, bien définie, d’une fonction d’expression analytique inconnue. (chaque élève construit son modèle propre proposé aux autres) • Analyse mathématique de textes scientifiques journées IUFM sur la modélisation en sciences

45. Inter, pluri, trans disciplinarité • L’interdisciplinarité fait appel aux spécificités de diverses disciplines qui convergent par nécessité pour résoudre un problème. • La pluridisciplinarité exploite une situation, à travers certaines disciplines, de façon élégante et opportune, sans chercher des liens et sans obligation. • La transdisciplinarité relie les disciplines sans obligation, de manière à atteindre les mêmes objectifs à travers des activités très variés. journées IUFM sur la modélisation en sciences

46. Exemple de façon de travailler avec les élèves • Après analyse du problème répartir les élèves en groupes thématiques. • Chaque groupe est chargé d’une mission précise et devra produire un texte, rendant compte du travail accompli. • Une synthèse est alors organisée sous forme de débat ou chaque groupe apporte sa contribution. journées IUFM sur la modélisation en sciences

47. Références bibliographiques (I) • Jacques Istas : Introduction aux modélisations mathématiques pour les sciences du vivant. Springer-Verlag, Berlin 2000. • Istas,J. (2005). Mathematical Modeling for the Life Sciences, Springer. • James Gleick : La théorie du chaos. (Champs-Flammarion) • T35 : E.J.Aubert (Mathematical intelligencer Vol 6 no 3) • Leçons de calcul infinitesimal. Deledicq-Diener 1989. journées IUFM sur la modélisation en sciences

48. Références bibliographiques (II) • Cherruault Y. (1998), Modèles et méthodes mathématiques pour les sciences du vivant, Presses universitaires de France, (ISBN 2-13-048978-8) journées IUFM sur la modélisation en sciences

49. Vocabulaire • Conjecture : Émettre une conjecture, c’est résumer dans un énoncé précis une idée que l’on pense universellement vraie (Legrand 2000). • Explication : Proposer une explication, c’est réaliser un discours dont l'objectif est de communiquer à d'autres le caractère de vérité d'un énoncé mathématique. journées IUFM sur la modélisation en sciences

50. Vocabulaire • Preuve : Faire une preuve c’est proposer une explication acceptée relativement à la vérité d’un énoncé par une communauté de pensée à un moment donné. • Il y a : les preuves pragmatiques, les preuves intellectuelles, les preuves formelles, la démonstration. (Balacheff) • Une démonstration est tout raisonnement valide permettant d’établir qu’un énoncé est vrai ou faux à l’intérieur d’un système théorique. • Elle a : un statut social , et deux fonctions : une fonction de validation dans le but de réduire le doute et une fonction explicative du pourquoi journées IUFM sur la modélisation en sciences