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Inferências para uma amostra

Inferências para uma amostra. Até agora: ICs e testes de hipótese para uma amostra X 1 , X 2 , …, X n i.i.d. N(0,1) Baseados no fato de que, sob a hipótese nula ( m = m 0 ou s 2 = s 0 2 ), determinadas estatísticas têm distribuições conhecidas.

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Presentation Transcript

  1. Inferências para uma amostra • Até agora: ICs e testes de hipótese para uma amostra X1, X2, …, Xni.i.d. N(0,1) • Baseados no fato de que, sob a hipótese nula (m = m0 ou s2 = s02), determinadas estatísticas têm distribuições conhecidas. • Para testar a hipótese nula, basta comparar o valor dessas estatísticas com os pontos críticos apropriados de suas distribuições.

  2. Inferências para uma amostra • Estatísticas de Teste: • (sob a hipótese nula)

  3. Inferências para duas amostras • X1, …, Xm i.i.d N(m1, s12) Y1, …, Yn i.i.d N(m2, s22) com Xi e Yj independentes, para todo i e j (observações não pareadas) • Também pode ser considerado o caso em que as observações são pareadas.

  4. Testes e ICs para as médias • Baseados nas estatísticas (variâncias conhecidas ou grandes amostras) (variâncias desconhecidas, mas iguais) • No caso geral, é necessário recorrer a um teste aproximado.

  5. Testes e ICs para variância • Ho: s12 = s22 vs H1: s12s22 • Estatística do teste:

  6. A distribuição F • Sejam U e V v.a. independentes, com distribuição cm2 e cn2, respectivamente. A distribuição de é chamada de distribuição F com (m, n) graus de liberdade.

  7. Exemplo

  8. Inferência para m amostras • Análise da Variância (ANOVA) com um único fator • m grupos de observações Xi1, Xi2, …, Xi nii.i.d. N(mi, si2), i = 1, .., I • todas as observações independentes entre si. • em geral, a análise é feita supondo que as variâncias de todos os grupos são iguais.

  9. Teste para a igualdade das médias • H0: m1 = m2 = …= mI H1: nem todas as médias são iguais • Estatísticas de interesse:

  10. Teste para a igualdade das médias • Teorema • SQT = SQTr + SQE • Sob a hipótese nula, SQTr e SQE são independentes, com distribuições c2I–1 e c2N–I, respectivamente, onde N = n1+…+nI é o número total de observações. Logo, • QME = SQE/(N–I) é um estimador não viciado da variância s2.

  11. Tabela ANOVA

  12. Exemplo

  13. Regressão Linear Simples • Modelo: Yi = b0 + b1xi + ei, i = 1, …, n, ondee1, e2, …, en i.i.d. N(0, s2) • Problemas • Estimação pontual e intervalar de b0 e b1 • Testes de hipótese (o mais importante: teste de “relevância do modelo”). • Predição

  14. Estimação Pontual • A estimação de máxima verossimilhança de b0 e b1 resulta da minimização de S (Yi – b0 – b1xi)2 Os estimadores acima são os ENVUMV de b0 e b1 • O ENVUMV de s2é:

  15. Exemplo

  16. Relevância do Modelo • Teste de utilidade do modelo H0: b1 = 0 vs. H1: b1  0 • Pode-se empregar um teste relativo à distribuição de b1 (teste t) ou um teste ANOVA (generalizável para regressão múltipla) • Estatísticas relevantes

  17. Teste de Relevância do Modelo • Teorema • SQT = SQR + SQE • Sob a hipótese nula, SQR e SQE são independentes, com distribuições c21 e c2n–2, respectivamente. Logo • A razão R2 = SQR/SQT é chamado de coeficiente de determinação.

  18. Tabela ANOVA

  19. Inferências relativas aos coeficientes • Baseadas nas estatísticas abaixo:

  20. Intervalos de Predição • Para predizer o valor de Y quando x = x* • Baseados em

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