João Pedro da Ponte

1. Metodologia do Ensino da Matemática 2005 Aula Teórica 3 – 28 Fevereiro As diversas áreas do currículo de MatemáticaCurrículo e Programas de Matemática. Diferentes tipos de tarefas João Pedro da Ponte Departamento de Educação

2. Currículo e Programa • Do conceito de programa ao conceito de currículo

3. Os grandes domínios da Matemática Geometria • Grécia, Renascimento, geometrias não euclideanas, computação gráfica... • Pontos, rectas/segmentos/figuras, planos/poliedros, espaços abstractos... Aritmética • Antiguidade, Grécia, Indus, Gauss, Peano... • Números (naturais/racionais(reais) e suas operações. História, objectos e processos, papel no mundo de hoje...

4. Os grandes domínios da Matemática Álgebra • Antiguidade, indus e árabes, estudo equações, estrut. abstractas... • Relações matemáticas abstractas (equações, estruturas definidas por operações em conjuntos). Análise • Época moderna (Newton e Leibniz)... • Processos infinitos (que geram infinitésimos, infinitamente grandes, etc.). Probabilidades • Época moderna... • Experiência aleatória. Estatística • Época moderníssima... • Dados e suas distribuições.

5. O NCTM é a associação de professores de Matemática dos Estados Unidos da América e Canadá (ver site) Principles and standards (NCTM, 2000) Princípios • Equidade – expectativas elevadas e forte apoio a todos os alunos, • Currículo – é mais do que uma colecção de actividades: deve ser coerente, focado em matemática importante e bem articulado, • Ensino – compreender o que os alunos sabem e precisam de aprender, desafiá-los e apoiá-los, • Aprendizagem – os alunos devem aprender Matemática com compreensão, construindo activamente o novo conhecimento a partir da sua experiência e conhecimento prévio, • Avaliação – deve apoiar a aprendizagem de Matemática importante e fornecer informação útil a alunos e professores, • Tecnologia – é essencial para o ensino e a aprendizagem, influencia a Matemática que é ensinada e favorece a aprendizagem dos alunos.

6. Principles and standards (NCTM, 2000) Normas de conteúdo • Números e operações • Álgebra • Geometria • Medida • Análise de dados e probabilidade Normas de processo • Resolução de problemas • Raciocínio e demonstração • Comunicação • Conexões • Representação

7. Currículo de âmbito nacional, disponível na Web Irlanda (Junior cycle) 12-14 anos Níveis Superior e Comum • Conjuntos • Sistemas de números • Aritmética aplicada e medida • Álgebra • Estatística • Geometria • Trigonometria • Funções e gráficos Nível Inferior • Conjuntos • Sistemas de números • Aritmética aplicada e medida • Álgebra • Estatística e análise de dados • Geometria • Relações, funções e gráficos

8. Portugal – orientações transversais 2º e 3º ciclos do ensino básico • Programas (1991): Resolução de problemas • Currículo nacional (2001): • Experiências de aprendizagem: Resolução de problemas, actividades de investigação, realização de projectos, jogos, • Aspectos transversais da matemática: comunicação, prática compreensiva de procedimentos, exploração de conexões. Secundário - Temas transversais • Comunicação matemática, • Aplicações e modelação matemática, • História da matemática, • Lógica e raciocínio matemático, • Resolução de problemas e actividades investigativas, • Tecnologia e matemática.

9. Portugal (2º ciclo) Geometria (43%) • Sólidos geométricos • Perímetros • Ângulos, triângulos, quadriláteros • Simetria em relação a uma recta • Áreas • Volumes Números e cálculo (40%) • Números inteiros e números decimais; Operações • Números racionais absolutos; Operações • Números inteiros relativos; Operações Estatística (11%) Proporcionalidade (06%)

10. Portugal (3º ciclo) Geometria (40%) • O espaço e o plano (sólidos geométricos, áreas e volumes, planos e rectas no espaço (// e –!), construção dedutiva), • Análise de figuras: Medição. Construção (ângulos, const. triângulos, quadriláteros, Pitágoras, circunferência e polígonos), • Transformação de figuras (ampliação, redução, semelhança, trigonometria, translações, rotações, isometrias). Números e cálculo (39%) • Números e cálculo numérico (problemas e jogos sobre números, potências, racionais relativos, dízimas, reais), • Variáveis e cálculo algébrico (expressões, equação 1º grau, equação 2º grau, equações literais, sistemas, inequações). Funções (12,5%) • Proporcionalidade directa e inversa, função afim, gráficos sit. reais. Estatística (08,5%) • Recolha e organização de dados, med. tendência central, probabilidades.

11. Portugal (secundário-A) Temas transversais • Comunicação matemática • Aplicações e modelação matemática • História da matemática • Lógica e raciocínio matemático • Resolução de problemas e actividades investigativas • Tecnologia e matemática Conteúdos • Cálculo diferencial • Geometria (no plano e no espaço) • Funções e sucessões • Probabilidades (com Análise combinatória) e Estatística

12. Portugal (secundário-A) Conteúdos • Resolução de problemas: 9+0+0 • Geometria (no plano e no espaço): 27+30+0 • Funções e sucessões:27+24+12 • Cálculo diferencial: 30+30 • Estatística: 15+0+0 • Probabilidades e Análise combinatória: 0+0+30 • Números complexos: 0+0+12 04% 23% 26% 24% 06% 12% 05%

13. Portugal – traços marcantes Ensino básico • Grande peso da Geometria • Grande ênfase no cálculo • Ausência da Álgebra (que se reduz a cálculo algébrico + funções) • Ausência da Medida Ensino secundário A • Grande peso do cálculo diferencial • Peso significativo da Geometria • Ausência da Matemática discreta • Ênfase na tecnologia (calculadoras)

14. Tarefas matemáticas

15. Actividade e tarefa • Uma vez proposta, uma tarefa pode dar origem a diversas actividades por parte dos alunos, dependendo • da capacidade e da atitude dos alunos e • do modo de actuação do professor • A tarefa é o objectivo da actividade • A partir de uma situação podem formular-se tarefas... • fáceis ou difíceis • abertas ou fechadas • contextualizadas ou não • ...

16. Diferentes tipos de tarefa Na aprendizagem da escrita • Cópia – Ditado – Redacção • Texto orientado – Texto livre • Na Matemática • Exercícios – Problemas • Investigações

17. 18 --- 15 270 --- x x = = 225 x = = 225 Problemas • Em 18 quilogramas de café-mistura há 15 quilogramas de café de S. Tomé. ¿Que quantidade dêste café haverá em 270 gramas da mesma mistura?

18. Problemas • Grau de dificuldade significativo, para o aluno, que não dispõe de um método que o permita resolver de modo imediato • Claramente formulado o que é dado (condições) e o que é pedido (objectivo) • Em aberto: o plano ou a estratégia de resolução

19. Exercícios Simplifica: a) b) c)

20. Exercícios • Grau de dificuldade reduzido para o aluno, que dispõe de um método que o permite resolver de modo imediato • Claramente formulado o que é dado (condições) e o que é pedido (objectivo) • Em aberto: forma de aplicar o método

21. Investigações Vai a um supermercado e verifica se existem diferentes tipos de pacotes de café de uma mesma marca. No caso de estares interessado em adquirir uma grande quantidade de café (por exemplo, para abastecer o bar da escola), qual a melhor opção de compra?

22. Investigações Grau de dificuldade significativo, para o aluno, que não dispõe de um método imediato de resolução Não está claramente formulado o que é dado (condições) e/ou o que é pedido (objectivo) Em aberto: • A concretização dos objectivos e das condições • o plano ou a estratégia de resolução

23. Diferentes tipos de tarefas

24. Acessível Complexo Acessível Fechado Aberto Complexo Diversos tipos de tarefa Acessível Exercício Exploração Fechado Aberto Problema Investigação Complexo

25. Explorações • Qual o valor médio dos pacotes de café do supermercado? • Qual o valor médio da altura dos alunos da tua turma? Diferença no grau de dificuldade: • se o aluno puder começar a trabalhar desde logo, sem muito planeamento, estaremos perante uma tarefa de exploração • caso contrário, será talvez melhor falar em tarefa de investigação • entre as tarefas de exploração e os exercícios a linha de demarcação nem sempre é muito nítida – tudo depende dos conhecimentos prévios dos alunos

26. Duração das tarefas Curta Média Longa Exercícios Problemas Projectos Tarefas de exploração Tarefas de investigação

27. Referência contextual Realidade Semi-realidade Matemática pura Exercícios (aplicações, modelação) Exercícios Problemas (aplicações, modelação) Problemas Investigações (aplicações, modelação) Investigações Explorações (aplicações, modelação) Explorações