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TEMA 5 FILTROS DIGITALES

TEMA 5 FILTROS DIGITALES. CONCEPTOS GENERALES. CLASIFICACIÓN DE FILTROS DIGITALES. FILTRO DIGITAL: Proceso computacional que genera una secuencia discreta a partir de otra, según una regla preestablecida . CLASIFICACIÓN En función de la forma del módulo de la respuesta en frecuencias

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TEMA 5 FILTROS DIGITALES

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  1. TEMA 5 FILTROS DIGITALES

  2. CONCEPTOS GENERALES. CLASIFICACIÓN DE FILTROS DIGITALES • FILTRO DIGITAL: Proceso computacional que genera una secuencia discreta a partir de otra, según una regla preestablecida. • CLASIFICACIÓN • En función de la forma del módulo de la respuesta en frecuencias • En función del procedimiento de realización • En función de la longitud de la respuesta impulsional • En función de la característica de fase. • ANÁLISIS:  Proceso por el cual dado un filtro digital Respuesta en Frecuencias

  3. CONCEPTOS GENERALES. CLASIFICACIÓN DE FILTROS DIGITALES • SINTESIS O DISEÑO DE FILTROS DIGITALES En el diseño de filtros selectivos en frecuencia. Las características deseadas del filtro se especifican en el dominio de la frecuencia en función de la respuesta del filtro en magnitud y fase. El proceso del diseño del filtro consiste bien en:              a) La selección de los coeficientes de la ecuación en diferencias, ó          b) La determinación de la respuesta impulsional h(n). de forma que se cumpla algún criterio sobre las características en el dominio del tiempo o de la frecuencia.

  4. CONCEPTOS GENERALES. CLASIFICACIÓN DE FILTROS DIGITALES • ETAPAS DEL DISEÑO • Especificación de las propiedades. • Aproximación • Realización En general, un filtro digital es un sistema DLI realizado utilizando aritmética de precisión finita.

  5. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS • La forma clásica de diseñar un filtro discreto IIR consiste en transformar un filtro analógico en uno digital que cumpla las especificaciones prescritas, por lo que haremos un repaso general sobre el diseño de filtros analógicos. • Se trata de determinar la H(s) de un sistema LIT cuya correspondiente respuesta frecuencial caiga dentro del margen de tolerancias especificado. Esto constituye un problema de aproximación funcional, por lo que veremos a continuación distintos tipos de aproximación:

  6. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS APROXIMACIÓN BUTTERWORTH • Lo más simple  sería considerar:   |H(jS)|2 = k/P(S2) • La aproximación de Butterworth consiste en : siendo N en orden del filtro, Sc la frecuencia de corte del filtro, (que representa una atenuación de 3dB).

  7. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS APROXIMACIÓN BUTTERWORTH • Se define el filtro Butterworth normalizado como:

  8. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS APROXIMACIÓN BUTTERWORTH • Características: • Esta aproximación es la que presenta una respuesta mas plana en S=0. ( Para un filtro de orden N, las 2N-1 primeras derivadas de |H(jS)|son nulas en S =0. • Para altas frecuencias presenta una pendiente asintótica de -20N dB/década. • En general, la ganancia es monótona decreciente con S.

  9. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS APROXIMACIÓN BUTTERWORTH

  10. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Aproximación de Chebyshev • Presenta las siguientes características: • Ganancia en paso banda mas balanceada que la Butterworth. • La ganancia en paso banda oscila con rizado * constante. • La ganancia en rechazo de banda decrece monótonamente y es similar a la Butterworth.

  11. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Aproximación de Chebyshev • La aproximación es: ε: Controla la amplitud del rizado en paso banda. k: Controla el nivel de ganancia. TN(S): Polinomio de Chebyshev de 10 clase y orden N definido por: TN(S) = cos( N cos-1 S ) , |S|<1  TN(S) = cosh(N cosh-1 S ) , |S|>=1

  12. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Aproximación de Chebyshev • Propiedades de los polinomios de Chebyshev: 1) TN(0) =(-1)N/2 si N es par,  0 si N es impar  2) TN(1) =  3) TN(-1) = 1 si N es par, -1 si N es impar  4) TN (S) oscila con rizado constante entre +1 y -1 para |S|<1 5) Para |S|1, TN(S) es monótona creciente, tendiendo a infinito como 2N-1 SN

  13. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Aproximación de Chebyshev • Representación gráfica de los polinomios de Chebyshev de distintos órdenes.

  14. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Aproximación de Chebyshev • A partir de la frecuencia de corte normalizada (S=1), [Hn(jS)]2 pasa a ser monótona decreciente.

  15. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Aproximación de Chebyshev • A partir de la frecuencia de corte normalizada (S=1), [Hn(jS)]2 pasa a ser monótona decreciente. FORMA GENERAL EN LA APROXIMACION CHEBYSHEV         a) N par (N=4)                b) N impar (N=5)

  16. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Aproximación de Chebyshev • En pasabanda  oscila entre k (máx.) y k/(1+ε2) (mín.) • Se denomina RIZADO en  db (*) a la relación de valores máximos  y mínimos de [Hn(jS)2] en pasabanda: • K se escoge para ajustar la ganancia en c.c., así para ganancia unitaria en c.c, K debe ser:

  17. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Aproximación de Chebyshev • A altas frecuencias, la ganancia en dB tiene asintóticamente a:

  18. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Aproximación elíptica • La aproximación Chebyshev presenta mejores características que la Butterworth en el paso banda. A altas frecuencias, en el rechazo de banda, ambas presentan un buen comportamiento, pero sus características se deterioran progresivamente al decrecer la frecuencia. • La aproximación elíptica es la que presenta un mejor comportamiento en este último sentido, al poseer una banda de trancisión mas estrecha, comparativamente para un orden dado del filtro. • La aproximación elíptica presenta rizado constante en el paso banda y rechazo de banda.

  19. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Transformaciones en frecuencia • Hemos considerado las tres aproximaciones más frecuentes de filtros analógicos paso bajo.  A partir de estas aproximaciones pueden obtenerse otros tipos de filtros analógicos a través de una transformación de la variable frecuencial. • Las tres transformaciones que permiten a partir de un filtro prototipo paso bajo normalizado, obtener filtros paso alto, paso banda y rechazo de banda se ilustra en la siguiente figura:

  20. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Transformaciones en frecuencia

  21. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Transformaciones en frecuencia • Transformación paso bajo a paso alto 

  22. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Transformaciones en frecuencia • Transformación paso bajo a paso alto  • Si el Filtro es Butterworth o Chebyshev, Ωoh es la frecuencia de corte del filtro paso alto(que le corresponderá Ωoh / Ωoh =1 rad/seg en el paso bajo normalizado). • Si el Filtro es elíptico

  23. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Transformaciones en frecuencia • Transformación paso bajo a paso banda siendo Ωoh y B constantes a determinar de forma que se cumplan las especificaciones del filtro paso banda.

  24. APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS Transformaciones en frecuencia • Transformación paso bajo a paso banda s = jΩ1 si  p = j1 B=(Ω2 -Ω1)     Ωob= (Ω1Ω2)1/2

  25. DISEÑO DE FILTROS DIGITALES IIR • Metodología: Dado un filtro analógico, generar un filtro digital con características similares. • Aprovechar las ventajas y la simplicidad del diseño analógico. • Simular con filtros digitales las características de los filtros analógicos. • Condiciones: • Que se conserven las propiedades esenciales de la respuesta en frecuencia del Filtro Analógico en la correspondiente al Filtro Digital. (es decir, que se mapee el eje imaginario del plano S en el círculo unidad del plano Z) 2) Que se garanticen los requisitos de Estabilidad

  26. MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTE • Criterio: Encontrar un filtro digital cuya respuesta Impulsional sean muestras equiespaciadas de la respuesta Impulsional del filtro analógico. h(n)=ha(t)t=nT • Las respuestas en frecuencias del filtro digital estarán relacionadas con la respuesta en frecuencia del filtro analógico por: Es decir, la respuesta en frecuencias del filtro digital consiste en la suma de infinitos términos de respuestas analógicas frecuenciales escaladas y desplazadas.

  27. MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTE • A partir del Teorema del muestreo sabemos que: si Ha(jΩ)= o para Ω $ B/T                           entonces: H(ejw) = 1/T Ha(jΩ) para W # B/T • La siguiente expresión constituye una generalización de la anterior:

  28. MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTE • Correspondencia entre polos Sea un polo en s = σ + j Ω , que se corresponderá con: Pz=esT= eFT ejST = Dejw , siendo D = eFT, w= ST • Para F<0 Y D=|z|<1 , F=0 Y D=1 , F0 Y D1  por lo que se preserva la estabilidad del filtro. • Observamos que si reemplazamos s por s+jSs, siendo (Ss = 2B/T) , el valor de z no cambia.

  29. MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTE • Cada franja horizontal de ancho Ss en el plano S se mapea en la totalidad del plano Z. Esta ambigüedad es otra manifestación del fenómeno aliasing, encontrado al muestrear señales analógicas.

  30. MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTE • T debe escogerse suficientemente pequeño, de forma que todos los polos del filtro analógico, caigan dentro de la primera franja. • La técnica de la repuesta Impulsional invariante puede distorsionar la forma de la respuesta frecuencial por el "aliasing", aun cuando todos los polos del filtro analógico están en la primera franja.

  31. MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTE • Ajuste Directo de las Respuestas Impulsionales: • Objetivo: Computar H(z) directamente a partir de Ha(s). • Expandamos Ha(s) en fracciones simples  • Esta representación se ilustra en la figura:

  32. MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTE Sea la respuesta Impulsional del filtro i-ésimo: hai(t) = Aiepit  si t0, 0 si t<0; Muestreando:  de donde: • En el procedimiento de diseño de la invarianza de la respuesta Impulsional, la relación entre la frecuencia discreta y continua es lineal, consiguientemente excepto por el aliasing la forma de la respuesta en frecuencia se mantiene. Esto contrasta con el siguiente procedimiento que está basado en una transformación algebraica.

  33. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL • Criterio: Obtener el filtro digital aproximando las derivadas de la ecuación diferencial correspondiente a un filtro analógico, mediante diferencias finitas. • Sea: ' ck dk ya(t)/dtk = ' dk dkxa(t)/dt k • Consideremos la aproximación: d ya(t)/dt ---- L(1) [y(n)] = [y(n+1)-y(n)]/T dk ya(t)/dtk ---- L(k) [y(n)] = L(1) [L(k-1) [y(n)]] • Luego :

  34. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL • Comparando ambas funciones de transferencia, podemos concluir que: • Es decir, el proceso de aproximación de derivadas por diferencias equivale a realizar un mapeo del plano s al plano Z según la transformación: s = (1-z-1)/T

  35. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL • Análisis del mapeo -- Z: Se ha indicado que el eje imaginario jS del plano S debe mapearse en el círculo unidad del plano Z y que, para que el filtro digital diseñado a partir de uno analógico sea estable, los polos situados en el semiplano izquierdo de S deben caer dentro del círculo unidad en el Z. Analicemos este caso, expresando z como función de s:

  36. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL Sustituyendo s=jΩ , resulta: y expresando el cociente en forma polar:

  37. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL • Luego, el mapeo de polos es "semiplano izquierdo de s al círculo anterior en z". Observar que aunque el eje jS no se mapea en el círculo unidad, los polos caen dentro de éste y por tanto el filtro digital resulta estable. • Hay una noción intuitiva según la cual, la simulación discreta del operador derivada mediante diferencias finitas es mejor cuanto mas pequeña es la distancia entre muestras (periodo de muestreo). Esta idea resulta consistente de acuerdo con los resultados obtenidos. Si T es suficientemente pequeño en L (1) [y(n)], la respuesta en frecuencias del filtro digital se concentrar< en la vecindad de z=1, es decir donde ambos círculos son tangentes, por lo que el filtro digital ser < bastante aproximado al analógico.

  38. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL • Una aproximación alternativa consiste en reemplazar las derivadas por una aproximación en diferencias hacia adelante: L(1) [y(n)] = [y(n+1)-y(n)]/T la cual presenta la desventaja de que puede dar lugar a filtros digitales inestables. • De todos modos, los métodos hasta ahora comentados suelen dar lugar a resultados insatisfactorios si el filtro que se diseña no es paso bajo.

  39. METODO DE LA TRANSFORMACIÓN BILINEAL • CRITERIO: Obtener el filtro digital integrando la ecuación diferencial correspondiente al filtro analógico y realizando una aproximación numérica de la misma. • La transformación se puede expresar como:

  40. METODO DE LA TRANSFORMACIÓN BILINEAL • Análisis del mapeo S--Z: Haciendo z= ejw, se comprueba que le corresponde F=0, por lo que en este caso el eje imaginario jS se mapea sobre el círculo unitario del plano Z y además la parte izquierda de S se mapea en el interior de dicho círculo. Las partes positiva y negativa del eje imaginario son mapeadas en las mitades superior e inferior del círculo unitario en el plano Z.

  41. METODO DE LA TRANSFORMACIÓN BILINEAL • La transformación bilineal da lugar a filtros digitales estables partiendo de filtros analógicos estables. • Análisis de la respuesta frecuencial. La Transformación Bilineal da lugar a las siguientes relaciones frecuenciales de tipo no lineal: w = 2 arctag S Ts/2 S = 2/T tag w/2 Para pequeños valores de la frecuencia: tag w/2 --- w/2, con lo que S = 2/T, w/2 = w/T.

  42. METODO DE LA TRANSFORMACIÓN BILINEAL • Análisis de la respuesta frecuencial. A altas frecuencias, la compresión no lineal produce que la función de transferencia resulte distoísionada cuando se traslada al dominio T. La respuesta en frecuencias del filtro digital será:

  43. METODO DE LA TRANSFORMACIÓN BILINEAL • Análisis de la respuesta frecuencial. • Para evitar la distorsión frecuencial lo que se hace es predistorsionar las especificaciones originales. Es decir, predistorsionar wc y wr según la relación: S = 2/T tag w/2   con el objeto de determinar los valores apropiados de Sc y Sr para el correspondiente diseño contínuo. • Predistorsionando, tendríamos Sc = 2/T tag T/2 que después de aplicar la TB daría: T=2arctag Sc T/2=2arctag(2T/T2) tag Tc/2 = Tc

  44. DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR • Ventajas: • Facilidad de diseño para filtros de fase lineal • Realización eficiente en forma tanto recursiva como no recursiva • Factible implementación utilizando la FFT • Los filtros FIR no recursivos, son siempre estables. • El ruido de redondeo puede hacerse fácilmente pequeño con realizaciones no recursivas. • Desventajas: • Se requiere un número de puntos N alto para aproximar filtros de transición brusca. • El retardo de fase puede no ser entero.

  45. DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR Filtros FIR simétricos y antisimétricos • Un filtro FIR de longitud M se describe por la ecuación en diferencias: ó bien por la convolución: a partir de ambas expresiones, se deduce que: bk=h(k), k=0,1,2,...,M-1

  46. DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR Filtros FIR simétricos y antisimétricos • El filtro también se puede caracterizar por su función de transferencia: que es un polinomio de grado M-1 en la variable z-1. • Un Filtro FIR tiene fase lineal si su respuesta impulsional satisface la condición:

  47. DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR Filtros FIR simétricos y antisimétricos • Teniendo en cuenta estas condiciones de simetría y antisimetría: • Ahora, si sustituimos z-1 por z en la expresión de H(z) y multiplicamos ambos lados de la ecuación resultante por z-(M-1) , obtenemos:

  48. DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR Filtros FIR simétricos y antisimétricos • Las características de respuesta en frecuencia de filtros FIR de fase lineal se obtienen evaluando H(z) en el círculo unidad. • Cuando h(n)=h(M-1-n), H(w) se puede expresar como: donde Hr( w) es una función real de w y se puede expresar como:

  49. DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR Filtros FIR simétricos y antisimétricos La característica de fase del filtro para M impar y par es: • Cuando h(n)=-h(M-1-n) , la respuesta impulsional es antisimétrica. • Para M impar es h((M-1)/2)=0. • En este caso:

  50. DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR Filtros FIR simétricos y antisimétricos donde: • La característica de fase del filtro para M par y M impar es:

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