Download
1 / 22
E N D
Pitagoras z Samos (572 p.n.e. - 497 p.n.e.) żył w czasach,gdy w Indiach nauczał Budda,a w Chinach Konfucjusz.Był nie tylko matematykiem,ale także filozofem.Założył szkołę, która głosiła m.in.wiarę w reinkarmację.Pitagorejczycy wierzyli, że dusza człowieka może wcielić się nawet w roślinę.Prowadzili też działalność naukową.
Nie wiadomo, czy twierdzenie Pitagorasa udowodnił po raz pierwszy sam Pitagoras, czy też któryś z jego uczniów.Jest natomiast pewne,że było ono znane wcześniej,gdyż archeologowie znaleźli przykłady jego użycia już w egipskich papirusach.
Twierdzenie Pitagorasa brzmi: W trójkącie prostokątnymsuma kwadratów długości przyprostokątnych jest równakwadratowi długości przeciwprostokątnej. c a2+b2=c2 a b
a i b są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego,a c jest długością przeciwprostokątnej. Udowodnię, że a2+b2=c2 c a b
Popatrz na rysunek: c c b a Na przeciwprostokątnej c trójkąta prostokątnego położyłam kwadrat.
Teraz do każdegoz pozostałych 3 boków kwadratuo boku czbuduję 3 identyczne trójkąty prostokątne bokach a, b i c. b a a b c a b c a b
Kąt kwadratu o boku c i dwa kąty ostre trójkątów tworzą kąt półpełny.Zatem otrzymana figura to czworokąt,a dokładniej kwadrat o boku a+b. b a a b c a b c a b
Pole tego kwadratu można obliczyć w różny sposób. I sposób to: II sposób to: P=4*(a*b)1/2+c2 P=2ab+c2 II sposób obliczyłam wykorzystując , że otrzymany kwadratskłada się z czterech trójkątów i kwadratu. P= (a+b)2 = a2 +2ab+b2 Przy tym obliczaniu korzystałam ze wzoru na pole kwadratu.
W trójkącie prostokątnymsuma pól kwadratówzbudowanych na przyprostokątnychjest równa polu kwadratuzbudowanego na przeciwprostokątnej. P3 P1 Czyli P1+P2=P3 P2
P1+P2=P3Można tę równość zapisaćw następujący sposób:a2+b2=c2Gdyż: c2 a2 b2
Przy pomocy trójkąta prostokątnegozbuduję kwadrat, którego bokibędą równe sumie długościprzyprostokątnej a i b tego trójkąta. a b + c a b
Następnie dzielę kwadrat (pionowo)na dwa prostokąty.Jeden o bokach b+a i a.Drugiego boki wynoszą b+a i b. a b b a a
Teraz dzielę dwa prostokąty (poziomo)tworząc 2 kwadraty o bokach b i a. Widzimy,że powstały2 prostokątyi 2 kwadraty. b b a a
Prostokąty dzielęwzdłuż przekątnejna dwa trójkąty prostokątne. Powstały 4 przystające trójkąty prostokątne: b 1 b 2 3 a 4 a
Jeśli ułożę te trójkątyw odpowiedni sposób,otrzymamy pośrodku kwadrat o polu c2 a b a 1 1 b b a b 2 c2 3 4 3 a a b 4 2 a a b
b a 1 a b c2 3 4 a b 2 a b WNIOSEK: Pole kwadratu o boku długości a i b wynosi: (a+b)2=a2+2ab+b2 Pola 4 trójkątów o bokach a, b i c oraz pole kwadratu o boku cwynoszą: P=4*(a*b)1/2 +c2=2ab+c2
