Kim był Pitagoras?

2. Kim był Pitagoras? Pitagoras (ur. ok. 572 p.n.e. na Samos) to grecki matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem. (zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie)

3. Jak brzmi twierdzenie? W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta c a b

4. Dowody twierdzenia Pole trójkąta: ab/2 Pole kwadratu: (a-b)2 c b a c Pole figury: c2 lub 2ab + (a-b)2 a b c2 = 2ab + a2 +b2 – 2ab c2 = a2 +b2

5. Pole małego kwadratu:c2 c Pole dużego kwadratu: (a+b)2 lub 2ab+c2 b a (a+b)2 = 2ab+c2 a2+2ab+b2 = 2ab+c2 a2 + b2 = c2 c b a

6. a Pole dużego trójkąta: c2:2 b c Pole trapezu: (a+b)(a+b) :2 c b (a2+2ab+b2):2 c2:2+ab a (a2+2ab+b2):2 = c2:2+ab a2+2ab+b2 = c2+2ab a c a2+b2 = c2 b

7. Trójki pitagorejskie To takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają równanie Pitagorasa: a2 + b2 =c2

8. Trójki pitagorejskie Jeżeli trójka a, b, c jest pitagorejska to jest nią też da, db, dcdla dowolnej liczby całkowitej naturalnej d Trójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli a, b i c nie mają wspólnego dzielnika. Zatem z każdej trójki pitagorejskiej możemy uzyskać pierwotną przez podzielenie jej przez największy wspólny dzielnik; i dowolną trójkę pitagorejską możemy otrzymać z pierwotnej przez pomnożenie jej wszystkich trzech elementów przez odpowiednią tę samą liczbę całkowitą dodatnią.

9. Trójki pitagorejskie Jeśli m i n są liczbami naturalnymi oraz m > n , to a = m2 – n2 b = 2mn c = m2 + n2 a, b, c jest trójką pitagorejską. Jest ona pierwotna wtedy i tylko wtedy gdy m i n są względnie pierwsze i nie są jednocześnie nieparzyste.

10. Związki miarowe w trójkątach W trójkącie o kątach: • 90 • 45 • 45 a a a√2

11. Związki miarowe w trójkątach W trójkącie o kątach: • 90 • 60 • 30 2a a√3 a

12. Twierdzenie cosinusów W dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi. c a c2 = a2 + b2 – 2abcosα α b

13. Dowód twierdzenia b = b1 + b2 c2 = h2 + b12 h2 = a2 – b22 b12 = (b – b2)2 a c c2 = a2 – b22 + (b – b2)2 h α c2 = a2 – b22 + b2 – 2bb2 + b22 b1 b2 c2 = a2 + b2 – 2bb2 – 2bb2 = -2ab ∙ b2:a c2 = a2 + b2 – 2abcosα b2:a = cosα

14. Uogólnione twierdzenie pitagorasa α=90 c2 = a2 + b2 – 2abcosα cosα = 0 c a c2 = a2 + b2 – 2ab ∙ 0 c2 = a2 + b2 α b

15. Strony źródłowe • http://www.wykop.pl/ramka/341444/84-dowody-twierdzenia-pitagorasa/ • http://letsplaymath.net/2008/09/24/mathematician-for-president/ • http://pl.wikipedia.org Wykonał: Arkadiusz Ćwikła