Pitagoras

1. Pitagoras Twierdzenie Pitagorasa Pitagorejczycy

2. Kim był Pitagoras?? Pitagoras z Samos, żył w latach 570-496 p.n.e. Urodził się na wyspie Samos, a zmarł w Metaponcie. Znany jest głównie z słynnego twierdzenia  o trójkącie prostokątnym, powszechnie znanego jako twierdzenie Pitagorasa. Ów grecki matematyk, filozof, półlegendarny założyciel słynnej szkoły pitagorejskiej był także twórcą kierunku filozoficzno-religijnego zwanego pitagoreizmem. Elementami pitagoreizmu są: muzyka, harmonia i liczba, rozpatrywane przede wszystkim jako czynniki wychowawcze, służące zbliżeniu do Boga.

3. Nazwy boków w trójkącie prostokątnym: Boki trójkąta prostokątnego leżące przy kącie prostym nazywamy przyprostokątnymi. Trzeci bok tego trójkąta nazywa się przeciwprostokątną.

4. Twierdzenie Pitagorasa: "W trójkącie prostokątnym, suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej". a2 + b2 = c2

5. Tak można zilustrować Twierdzenie Pitagorasa:

6. Dowody na Twierdzenie Pitagorasa: Dowód Garfielda - Autorem sprytnego dowodu twierdznia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten pochodzi z roku 1876 i przebiega jak następuje: na przyprostokątnej BC = a danego trójkąta prostokątnego ABC odkładamy CD = AB = b, a następnie na prostej ED równoległej do AB odkładamy DE = a. Trójkąt ACE jest prostokątny i równoramienny, a jego pole wynosi AC2 / 2 = c2 / 2; pola trójkątów ABC i CDE są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie 2*ab / 2 .Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez ABDE o polu (b + a)(a + b) / 2. Stąd równości: • a2 + b2 = c2.

7. Dowód przez podobieństwo ( szkolny) - Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: "duży" – ABC, "niebieski" – ADC i "różowy" – DBC są podobne. Niech AB = c, BC = b i AC = a. Można napisać proporcje: • AD:a = a:c, • DB:b = b:c. Stąd: i po dodaniu stronami:

8. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa: „Jeżeli w trójkącie kwadratu długość jednego boku jest równy sumie kwadratów długości boków pozostałych, to ten trójkąt jest prostokątny.” Założenie: a, b, c - boki trójkąta Teza:c2 = a2+ b2 Trójkąt o bokach a, b, c jest prostokątny.

9. Maksymy Pitagorasa: Wydaje się, że Pitagoras przekazywał swe nauki w postaci maksym, z których część jest dziś dla nas zupełnie niezrozumiała, ze względu na nieznajomość kontekstu kulturowego, a część zachowuje swą aktualność do dziś. Oto kilka przykładów jego maksym:

10. Wagi nie przechylać. • Własnego serca nie zjadać. • Nie oddawać moczu zwracając się ku słońcu. • Pamięć ćwiczyć. • W gniewie nic nie mówić i nie czynić. • Zbyt chętnie nie podawać prawicy.

11. Pitagorejczycy… Pitagorejczycy poza zagadnieniami z  zakresu geometrii interesowali się także teorią liczb. Spośród wszystkich liczb naturalnych, wyróżniali pewne nieskończone ciągi liczb zwane ogólnie liczbami wielokątnymi, a więc trójkątne, czworokątne, pięciokątne. Zajmowali się także liczbami doskonałymi. Liczba doskonała, to taka liczba, której suma dzielników od niej mniejszych jest równa tej liczbie. Takimi liczbami są np. 6, 28, 496, 8128

12. Pitagorejczycy ułożyli następującą symbolikę liczb: • 1 - oznaczała punkt • 2 - linię • 3 - figurę geometryczną • 4 - ciało geometryczne (figura w przestrzeni) • 5 - własności ciał fizycznych, zwłaszcza barwę • 6 - życie • 7 - ducha • 8 - miłość • 9 - roztropność, sprawiedliwość • 10 - doskonałość wszechświata.

13. Pitagorejczycy utworzyli także tablicę przeciwieństw, w której zamieścili 10 najbardziej charakterystycznych przeciwieństw. Oto one: • 1- ograniczone i nieograniczone, • 2 - parzyste i  nieparzyste, • 3 -jedno i wiele, • 4 - prawe i lewe, • 5 - męskie i żeńskie, • 6 - będące w spoczynku i poruszające się, • 7 - proste i krzywe, • 8 - jasne i ciemne, • 9 - dobre i złe • 10 - kwadrat i prostokąt.

14. Prezentacje przygotowały: • Małgorzata Janik • Paulina Dziedzic • Faustyna Galon