Estadística PLH 406 Medidas de tendencia central

1. EstadísticaPLH 406Medidas de tendencia central Francisco Henríquez Henriquez.fco@gmail.com www.freewebs.com/fcohenriquez/estadistica.htm

2. Notación de Sumatoria • El símbolo del lado indica la suma de todos los Xi desde i=1 hasta i=N.

3. Notación de Sumatoria • Es decir: • Propiedades:

4. Notación de Sumatoria • Propiedades:

5. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Media • La Media Aritmética: la media de un conjunto N de números X1, X2,X3,…,XN se denota X (o “X barra”) y se define por:

6. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Media • Ejemplo: • Tenemos los siguientes números: • 19, 80, 21, 74, 66 • La media se calcula:

7. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Media • Calcular la media para los siguientes números: • 70, 98, 54, 97, 26 • El resultado es

8. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Media • La Media Aritmética Ponderada: A veces se asocia a los números X1, X2,…, XN ciertos factores de peso (o pesos) w1, w2,…, wN, dependiendo de la influencia asignada a cada número. En tal caso,

9. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Media • Ejemplo: • Calcule el promedio de las siguientes notas: • 5,6 coef. 2; 3,5 coef. 1; 6,4 coef. 1 y 5,2 coef.2 • Otra manera de resolver este problema es calculando un ponderador, que se define:

10. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Media • En este caso, los ponderadores son: • 2/6=0.333 • 1/6=0.167 • entonces, se calcula

11. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: Proporciones • Cuando se trabaja con datos de carácter cualitativo, no se puede obtener media, sino que proporciones, lo cual indica la frecuencia relativa que posee un atributo en un conjunto de datos. Se obtiene así:

12. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: Proporciones • El valor p está entre 0 y 1. Para una interpretación más sencilla se suele multiplicar por 100 y se obtiene el porcentaje de ocurrencia del fenómeno.

13. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: Proporciones • Por ejemplo, se puede calcular la proporción de respuestas buenas que los alumnos tienen en un ítem. De hecho, esta es una medida de dificultad del ítem. Mientras más cercano a 1, más fácil es el item. • Se calcula: • Total de alumnos : 560 • Alumnos que respondieron bien el ítem: 375

14. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: Proporciones • Ejercicio: • Calcular el porcentaje que representa cada uno de estos grupos: • ¿Con cuál de las tendencias políticas Ud. se identifica o simpatiza más?... • (Encuesta CEP dic. 2006)

15. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: Proporciones

16. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana • La Mediana: la mediana de un conjunto de números ordenados en magnitud es el valor central o la media de los dos valores centrales. • Cuando hay un número impar de observaciones, es la observación (N+1)/2:

17. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana • Ejemplo: • Si tenemos el siguiente conjunto de datos: • 344, 190, 399, 473, 170, 363, 43, 671, 75, 421, 702, 846, 74, 652, 216, 304, 390, 457, 652, 700, 636, 934, 77, 444, 238, 78, 429,65, 927 • para obtener la mediana, primero debemos ordenarlos: • 43, 65, 74, 75, 77, 78, 170, 190, 216, 238, 304, 344, 363, 390, 399, 421, 429, 444, 457, 473, 636, 652, 652, 671, 700, 702, 846, 927, 934.

18. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana • una vez ordenados, se deben contar: • 43, 65, 74, 75, 77, 78, 170, 190, 216, 238, 304, 344, 363, 390, 399, 421, 429, 444, 457, 473, 636, 652, 652, 671, 700, 702, 846, 927, 934. • Son 29 observaciones. • Entonces, la observación del medio es la número 15 (ya que (29+1)/2=15). • Y esa observación es 399.

19. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana • Obtener la mediana para los siguientes datos: • 0, 7, 15, 18, 24, 44, 45, 49, 50, 68, 70, 75, 86, 88, 93, 97, 99. • el número de observaciones es 17, por lo que el valor mediano va a ser el noveno, es decir: • Me=50.

20. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana • Cuando N es impar se calcula el promedio entre los dos valores del medio:

21. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana • Ejemplo: • 2, 4, 9, 16, 29, 45, 60, 65, 67, 68 • Aquí hay 10 observaciones, luego, se debe obtener el promedio de las que están “en el medio”. • Es decir las obs. 5 y la 6.

22. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Mediana • Ejercicio: Obtener la mediana de: • 3, 19, 33, 38, 40, 40, 45, 50, 55, 58, 74, 98 • hay 12 obs., por lo que a mediana está entre los datos 6 y 7, es decir

23. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Moda • La Moda: la moda de un conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia; es decir, el valor más frecuente. La moda puede no existir e incluso no ser única. • La distribución con una sola moda se llama unimodal y con dos es bimodal.

24. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Moda • Ejemplo: determinar la moda de los siguientes datos: • 10, 19, 21, 21, 32, 47, 47, 47, 71, 71, 73, 84, 89, 98 • Dado que el valor que más se repite es el 47, • Moda = 47

25. Medidas de tendencia central para datos no agrupados: La Moda • Ejercicio, determinar la moda de los siguientes datos: • 15, 23, 25, 30, 30, 41, 67, 78, 78, 79, 81, 84, 87, 89, 99. • Moda = 30 y 78. • 11, 14, 21, 36, 38, 39, 41, 42, 43, 48, 51, 65, 72, 95 • En este caso, la moda no existe.

26. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media • Media aritmética para datos agrupados: Cuando se cuenta con datos agrupados en una distribución de frecuencia, todos los valores que caen dentro de un intervalo de clase dado se consideran igual a la marca de clase, o punto medio del intervalo.

27. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media • Con Xj como marca de la clase j y fj como frecuencia de la misma, se tiene que: • Nótese que se asume que hay M clases

28. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media • Ejemplo: • A partir de la siguiente tabla de distribución de frecuencia, encuentre la media.

29. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media • Se puede hacer de dos maneras. Ambas provienen de la definición de promedio ponderado. • La primera suma las frecuencias multiplicadas por su marca y se divide por N. • La segunda simplemente suma la multiplicación de las marcas por las frecuencias relativas.

30. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media

31. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media

32. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media

33. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana • La mediana se obtiene por interpolación y está dada por:

34. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana • Es una interpolación debido a que en esta fórmula está implícito el supuesto de que los datos se distribuyen de manera lineal en el intervalo.

35. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana • Ejemplo

36. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana • Lo primero que se debe hacer es determinar la clase donde está la mediana. • Lo anterior se realiza dividiendo N por 2, es decir: • 23976/2=11988 • A continuación se debe encontrar la clase mediana, la cual es la que tiene la frecuencia acumulada mayor a la observación mediana. • En este caso:

37. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana • Ejemplo

38. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana • Luego se debe aplicar la fórmula: Frecuencia acumulada anterior a la frec. mediana N Ancho del Intervalo Frecuencia Mediana Límite Inferior de la frecuencia mediana

39. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana

40. Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Moda • La moda, para datos agrupados es simplemente la marca de la clase con mayor frecuencia. En este caso, la moda es: Moda = 525