Liikemäärä ja impulssi

1. Liikemäärä ja impulssi Tarkastellaan kahden kappaleen törmäystä Newtonin 3. lain , voiman ja vastavoiman lain valossa u2 u1 v2 v1 m2 m1 m2 m1 m2 m1 F -F ennen törmäystä törmäystilanne törmäyksen jälkeen Newtonin mukaan kappaleet vaikuttavat toisiinsa törmäystilanteessa yhtäsuurilla, mutta vastakkaissuuntaisilla voimilla F ja –F. Toisaalta käyttämällä kaavaa F = ma molempiin kappaleisiin saadaan F = m2(u2 –v2) /t ja -F = m1(u1 –v1) /t , josta yhteen laskemalla m2(u2 –v2) = m1(u1 –v1) ja edelleen sulut poistaen ja ryhmittäen m1v1+m2v2 = m1u1+ m2u2

2. Liikemäärä Määritelmä : kappaleen liikemäärä p = mv ( massan ja nopeuden tulo) Edellä johdetun kaavan m1v1+m2v2 = m1u1+ m2u2 tulkinta on se, että törmäävien kappaleiden liikemäärien summa ennen ja törmäyksen on sama. Tätä kutsutaan liikemäärän säilymislaiksi ja se on yksi suurista fysiikan laeista. Laki seuraa Newtonin laeista Seuraavassa liikemäärän säilymislakia sovelletaan ns. rekyyliprobleeman ratkaisemiseen ja erilaisiin törmäyksiin.

3. Rekyyliprobleema Rekyyliprobleemalla tarkoitetaan sitä, että jokin levossa, tai tasaisessa liikkeessä oleva kappale hajoaa kahteen osaan, jotka sinkoutuvat eri suuntiin. Tilanne esiintyy esim. ammuttaessa aseella, atomin hajotessa, tai esim. rakettimoottorissa. Esim1. Kivääri painaa 3000 g ja luoti 15 g. Minkä rekyylinopeuden kivääri saa, kun luodin lähtönopeus on 450 m/s. Ratkaisu: Ennen laukausta kivääri ja luoti ovat levossa, joten liikemäärä = 0. Säilymislaista johtuen liikemäärä= 0 myös laukaisun jälkeen. Ts. m1v1 + m2v2 = 0 , josta v1 = - m2/m1 * v2 = -15/3000*450 m/s = - 2.25 m/s rekyylikaava: v2 v1 = - m2/m1 * v2 v1 m1 m2

4. Kimmoton törmäys Täysin kimmoinen törmäys Osittain kimmoinen törmäys kappaleet jatkavat törmäyksen jälkeen yhdessä - liikemäärän lisäksi liike-energia säilyy edellisten tapausten välimuodot Törmäyslajit

5. Kimmoton törmäys m2 m1 m2 m1 v1 v2 u ennen törmäystä jälkeen törmäyksen liikemäärä säilyy, josta seuraa kimmottoman törmäyksen kaava: m1 v1 + m2 v2 = (m1+ m2) u Esim. Pakettiauto (massa 2500 kg ja nopeus 80 km/h osuu levossa olevaan hirveen (massa 500 kg) kimmottomasti. Laske auton ja hirven yhteinen nopeus törmäyksen jälkeen. Ratkaisu: m1v1 = (m1+m2)u , josta u = m1 / (m1+m2) v1 = 2500 kg/ 3000 kg * 80 km/ h = 67 km/h

6. Täysin kimmoinen törmäys m2 m1 m2 m1 v1 u1 u2 v2 Sekä liikemäärä, että –energia säilyvät, josta kaavat m1v1+ m2v2 = m1u1 + m2u2 ½ m1v12+ ½ m2v22 = ½ m1u12 + ½ m2u22 Esim. Biljardissa lyöntipallo (120 g) osuu keskelle levossa olevaa mustaa palloa (100g) nopeudella 3,0 m/s täysin kimmoisasti. Laske pallojen nopeudet osuman jälkeen. Ratkaisu: Kirjoitetaan yo. yhtälöryhmä. Laadut voidaan jättää pois

7. 120*3 = 120*u1 + 100 * u2 / 100 ½ 120*32 = ½ 120*u12 + ½ 100*u22 /100 * 2 • 1.2 u1 + u2 = 3.6 1.2 u12 + u22 = 10.8 Ylemmästä saadaan sijoitus u2 = 3.6 – 1.2 u1 jolloin alempi yhtälö saa muodon 1.2 u12 + (3.6 - 1.2 u1)2 = 10.8 Tästä edelleen 2.64 u12 – 8.64 u1 + 2.16 = 0 ja 2. asteen ratkaisukaavalla u1 = 3.0 m/s tai u1= 0.27 m/s Näitä vastaavat u2-arvot saadaan kaavalla u2 = 3.6-1.2 u1 ja ovat: 0 m/s ja 3.27 m/s. Edellinen (u1,u2) pari vastaa ohilyöntiä, joten vastaus on u1 = 0.27 m/s ja u2 = 3.27 m/s.

8. Osittain kimmoisa törmäys Osittain kimmoisassa törmäyksessä voidaan määritellä sysäyskerroin e = (u2-u1) / (v1-v2) . Kuten kaavasta havaitaan, kerroin on kappaleiden nopeuserojen suhde törmäyksen jälkeen ja ennen törmäystä. Sysäyskerroin kuvaa, kuinka kimmoinen törmäys on: Kimmottomassa törmäyksessä nopeusero katoaa , joten e=0 Täysin kimmoisalle törmäykselle on ominaista ,että e =1, ts. nopeusero säilyy. Esim. Auto (1500 kg) törmää hirveen (500 kg) nopeudella 60 km/h. Laske auton ja hirven nopeudet törmäyksen jälkeen, kun sysäyskerroin on 0.6.

9. Ratkaisu: m1v1+ m2v2 = m1u1 + m2u2 • ja e = (u2-u1) / (v1 – v2) • josta 1500 *60 = 1500 u1 + 500 u2 ja0.6 = (u2-u1) /(60-0) • => u2 – u1=36 ja 15 u1 + 5 u2 = 900 • => 15 u1 + 5 (u1+36) = 900 => 20 u1 +180 = 900 • 20 u1 = 720 => u1 = 36 km/h ja u2 = u1 + 36 = 72 km/h Vastaus: auton nopeus törm. jälkeen on 36 km/h ja hirvi sinkoutuu nopeudella 72 km/h eteenpäin.

10. Sysäyskertoimen e käyttö Kaikki törmäysprobleemat voidaan hallita sysäyskerrointa käyttäen. Tarvitaan vain yksi yhtälö (liikemääräyhtälö): m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2 ja sen toteaminen, että u2 = u1 + u , missä u = e v (nopeusero törm. jälkeen on sysäyskerroin * ero ennen törm.) täysin kimmoisassa törmäyksessä e = 1 kimmottomassa törmäyksessä e = 0 osittain kimmoisassa e on annettu arvo väliltä 0-1