Introdução Sinais discretos: Seqüências Sistemas discretos no tempo

1. Sinais e Sistemas Discretos no Tempo • Introdução • Sinais discretos: Seqüências • Sistemas discretos no tempo • Sistemas lineares discretos no tempo - LTI • Propriedades de sistemas LTI • Equações diferença lineares com coeficiente constante • Representação no domínio da freqüência • Representação de seqüências por transformada de Fourier • Propriedades de simetria transformada de Fourier • Teoremas da transformada de Fourier.

2. 2.0 Introdução • Sinal: algo que contém informações sobre o estado ou comportamento de um sistema físico, por exemplo sinal de voz. • Sinais contínuos no tempo: definidos ao longo de um intervalo de tempo contínuo e são representado por uma variável contínua independente. • Sinais discretos no tempo: definidos para tempo discreto, e são representados como uma seqüência de números. • Sistema de processamento de sinais • Sistemas contínuos no tempo • Sistemas discretos no tempo

3. Exemplo de sinais: a) Contínuo no tempo b) Sequências de amostras obtidas para T = 125 s Sinal discreto no tempo

4. 2.1 Sinais Discretos no Tempo: Sequências • Sinais Digitais: sequências indexadas de números (reais ou complexos). O índice n é usado como tempo discreto, tal como o clock instantâneo de um processador digital. • Função impulso unitário discreta: Sequência de uma única amostra. ou 1 1 0 1 2 3 k k+1 3 0 1 2

5. Impulso unitário ou sequência unitária • O impulso unitário segue as mesmas regras da função impulso unitário ou função delta de Dirac. • A propriedade da integração da função impulso envolvendo deslocamento pode ser visto como a propriedade do somatório de sequências unitárias deslocados. Propriedade do deslocamento • Uma seqüência discreta pode ser expressa como a soma de impulsos unitários discretos, deslocados e multiplicados por um peso: • Outra interpretação usando convolução.

6. Função degrau unitário ou 1 1 3 4 5 0 1 2 3 k k+1 k+2 k+3 1 2 0 • Outra interpretação: e

7. Exponencial Senoidal

8. Sistemas Discretos no Tempo • Um sistema discreto no tempo é definido matematicamente como uma transformação ou um operador que mapeia uma sequência de de entrada com valor x[n] em uma outra sequência com valor y[n], isto é: Classificação: • Sistemas sem Memória Exemplo: y[n] = (x[n])2 + 2x[n] ; y[n]=x[n]-x[n-1] , sistema com memória

9. Sistemas Discretos no Tempo Sistemas Lineares Um sistema é linear se ele obedece o teorema da superposição Exemplo:

10. Sistemas Discretos no tempo • Sistemas Invariante no Tempo • Exemplo:

11. Causalidade • Um sistema L é causal, se para qualquer no, os valores da sequência de saída para n = no dependem somente dos valores da sequência de entrada par n  no, ou seja y(n) é uma função de {…, x(n-2), x(n-1), x(n)} somente. • Só depende de valores passados • Exemplos: y[n]=x[n]-x[n+1] , não causal Obs. Um sistema pode ser processado em tempo real (produzindo uma saída imediata para cada instante de tempo n) se e somente se o sistema é causal.

12. Estabilidade • Um sistema L é estável no sentido BIBO (bounded-input, bounded-output stable) se somente se, para qualquer entrada limitada a saída resultante é também limitada. • Formalmente - O sistema L é estável se somente se para algum AR, A>0, é verdadeiro que: Então existe um BR, B>0, tal que: onde • Exemplo: Sistema instável. Se x[n]=u[n]; saída infinita

13. Sistemas discretos lineares e invariante no tempo (LTI) • Um sistema L é um processo de transformação de sinais. • Um sistema L é linear se, para qualquer x(n), v(n) tal que e qualquer constante , tem-se: • Um sistema é invariante no tempo (ou invariante ao deslocamento) se para todo x(n) tal que , tem-se, para todo k, que : e

14. L Resposta ao impulso unitário de um sistema linear • A resposta aoimpulso unitário de um sistema L é definida por: • Se o sistema L é LTI, então A resposta impulso unitário de um sistema LTI discreto no tempo caracteriza um sistema da mesma forma que caracteriza os sistemas LTI contínuos no tempo. • Resposta ao impulso unitário Resposta a qualquer entrada

15. Resposta de sistemas LTI a uma entrada qualquer • Para determinar a resposta para uma entrada arbitrária x(n), considere: y[n]=L(x[n]). Mas, x[n], pode ser escrito um somatório de impulsos, ou seja: Portanto: Convolução soma

16. Convolução Soma • Se L é um sistema LTI com resposta impulso unitário h(n), ou seja: e então É a convolução soma ou convolução discreta que pode ser avaliada diretamente para cada n, por computador ou na mão. • Exceto para certos sinais simples é difícil encontrar uma forma fechada para o resultado. • A operação de convolução é representada por:

17. 3 2 1 1 ... -2 -1 0 1 2 3 k Convolução Soma Como calcular: 1. Rebate-se um dos sinais, isto é, escrevendo x[-n] ou h[-n]. 2. Calcula-se y[n] para cada n deslocando-se x[n] sobre h[n], ou vice-versa. Exemplo: x[n] 1 1 h[n] 2 3 0 1 n 0 1 n y[n]=0, n<0

18. 3 2 1 1 ... -2 -1 0 1 2 3 n 3 2 x[n] 1 1 0 1 n 0 1 n y[n] = 0, n < 0; y[0] = x[0]h[0] = 1x3= 3

19. 3 2 1 1 ... -2 -1 0 1 2 3 n 3 2 x[n] 1 1 0 1 n 0 1 n y[n] = 0, n < 0; y[0] = x[0]h[0] = 1x3= 3 y[1]= x[0]h[1] + x[1]h[0] = 1x2+1x3 = 5

20. 3 2 1 1 ... -2 -1 0 1 2 3 n 3 2 x[n] 1 1 0 1 n 0 1 n y[n] = 0, n < 0; y[0] = x[0]h[0] = 1x3= 3 y[1]= x[0]h[1] + x[1]h[0] = 1x2+1x3 = 5 y[2] = x[1]h[1] = 1x2= 2

21. 3 2 1 1 ... -2 -1 0 1 2 3 n 3 2 x[n] 1 1 0 1 n 0 1 n y[n] = 0, n < 0; y[0] = x[0]h[0] = 1x3= 3 y[1]= x[0]h[1] + x[1]h[0] = 1x2+1x3 = 5 y[2] = x[1]h[1] = 1x2= 2 y[n] = 2, n > 0;

22. Causalidade e Estabilidade • Teorema - Um sistema LTI com resposta impulso unitária h(n) é causal e e somente se: • Teorema - Um sistema LTI é estável se somente se ele tem uma resposta impulso unitário h(n) absolutamente somável, ou seja:

23. Propriedades de Sistemas LTI • Todos os sistemas LTI são descritos são descritos pela convolução soma. • Comutativa: • Distributiva:

24. Exemplos de Sistemas LTI • Retardo ideal • Média móveis • Acumulador • Forward Difference • Backward Difference

25. Equação Diferença Linear com Coeficientes Constantes • Um sistema LTI discreto pode ser caracterizado por uma equação diferençalinear com coeficientes constantes • Ela pode ser visto como o análogo discreto de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes aplicada na teoria de sistemas contínuos. • Exemplo - Equação diferença genérica: que é uma soma ponderada de saídas deslocadas expressa como uma soma ponderada de entradas deslocadas para um dado instante de tempo.

26. Equação Diferença: Exemplo • Se M=0, a(0)=1; K=2, b(0)=1, b(1)=1/2, b(2)=1/8, então a ED torna-se Representação gráfica • Dado um sistema descrito por uma equação diferença, a saída do sistema pode ser encontrada pela solução da equação no domínio do tempo ou da transformada Z.

27. Exemplo • Considere a seguinte equação diferença: • Encontre para dada: • a condição inicial: • entrada: • Solução numérica: • Deve-se encontrar uma forma fechada para a expressão de y(n).

28. Transformada de Fourier de Sinais Contínuos Define-se a transformada de Fourier de um sinal contínuo x(t) e a sua inversa pelas integrais: A transformada de Fourier representa o conteúdo de frequência do sinal x(t). Em geral é complexo. Notação:

29. Transformada de Fourier Algumas propriedades importantes: 1. Linearidade: 2. Deslocamento no tempo: 3. Deslocamento na frequência: 4. Convolução no tempo 5. Produto no tempo:

30. Transformada de Fourier Transformada de Fourier da convolução de entre os dois sinais x1(t) e x2(t). integral de convolução

31. Exemplo de alguns pares de transformada

32. Amostragem Periódica Um método típico de obter um sinal discreto é através da amostragem de um sinal contínuo no tempo, isto é:

33. Teorema da Amostragem • Teorema da Amostragem descreve precisamente quanta informação é retida quando uma função é amostrada ou, se uma função de banda limitada pode ser exatamente reconstruída a partir de suas amostras. • Demonstração: Suponha que é um sinal de banda limitada no intervalo de frequência ou Então x(t) pode ser exatamente reconstruída das amostras eqüidistantes onde é a amostra periódica, é a frequência de amostragem (amostras/segundo), é para radianos/seg.

34. Conversão de trem de impulsos para seqüência discreta Representação Matemática da Amostragem Trem de impulsos

35. Espectro de xc(t) Trem de impulso no domínio da frequência Espectro do sinal amostrado, quando Espectro do sinal amostrado, quando

36. Reconstrução exata de um sinal contínuo a partir de suas amostras usando um filtro passa-baixa.

37. O efeito da aliasing na amostragem de uma função coseno Aliasing : sobreposição de espectros

38. Exemplo: Amostragem do sinal contínuo com período de amostragem T = 1/6000 e taxa de amostragem

39. Transformada de Fourier de Sequência • Definição: A transformada de Fourier (FT) de uma sequência x(n) é dada por: contanto que x(n) seja absolutamente somável: • A somabilidade absoluta (ou quadrática) é condição suficiente para a existência da FT. • Definição: A transformada de Fourier Inversa (IFT) da função é dada por: • Obs: A transformada de Fourier de uma sequência pode ser interpretada em termos da representação em série de Fourier.

40. 2.7.2 Interpretações da Transformada Fourier • Sinais: A transformada de Fourier de um sinal x(n) descreve o conteúdo de frequência do sinal. • Para cada frequência , o espectro de amplitude descreve a importância daquela frequência contida no sinal. • Para cada frequência , o Espectro de fase descreve a localização (deslocamento relativo) daquela componente de frequência do sinal. • Sistemas: A resposta em frequência de um sistema linear descreve como as frequências de entrada do sistema são modificadas • Uma componente de frequência da entrada é amplificada ou atenuada por um fator • Uma componente de frequência da entrada é defasada por uma quantidade

41. Espectro de Amplitude de um filtro passa-baixa ou sistema passa-baixa Exemplo: Filtro Passa-Baixa • O sinal discreto h(n) cujo espectro de amplitude é é composto principalmente por baixas frequências, isto é, frequências abaixo de uma dada frequência de corte . Frequências mais altas ocorrem com baixa amplitude. • Um sistema discreto com espectro de amplitude como mostrado acima deixa passar baixas frequência com um ganho maior que as altas. • As frequências mais altas se aproximam de

42. 2.7.4 Resposta de um sistema linear a uma entrada senoidal • Suponha que a entrada de um sistema linear real h(n), é uma função senoidal Mas E então: Como h(n) é real, , então

43. 2.7.5 Analise da resposta senoidal • A resposta a uma função senoidal com frequência não é afetada pelo processo de filtragem, exceto por um ganho (atenuação ou amplificação) e a fase por deslocamento • Definições: Espectro de amplitude da transformada de Fourier Espectro de Fase • A transformada de Fourier pode ser expressa na forma: onde,

44. 2.7.6 Exemplo: Função impulso • Função impulso: A n 3 -3 -2 -1 0 1 2 A 

45. A n -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A  2.7.6 Exemplo: Função “Comb” • Função “Comb”:

46. A n -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A  2.7.6 Exemplo: Função pulso triangular • Pulso triangular:

47. 1 n -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2  (a=2) 2.7.6 Exemplo: Exponecial unilateral • Exponencial unilateral:

48. 1 n -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3  (a=2) 2.7.6 Exemplo: Exponencial bilateral • Exponencial bilateral:

49. 2.8.1 Propriedades de Simetria da Transformada Fourier • Definições: • Qualquer x(n) pode ser expresso como a soma de um sequência conjugada simétrica (x(n) real e par) com uma sequência conjugada antisimétrica (x(n) real e ímpar): onde, • Similarmente, a transformada de Fourier pode ser expressa como a soma de funções conjugadas simétricas e antisimétricas. Onde,

50. 2.8.2 Propriedades de Simetria da Transformada de Fourier Sequência x(n) Transformada de Fourier 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.