EU-8-59 – DERIVACE FUNKCE XV (konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body)

1. EU-8-59 – DERIVACE FUNKCE XV (konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body)

2. INFLEXNÍ BOD – animace 1 znaménko 2. derivace + – FUNKCE V BODĚ T MĚNÍ PODSTATNĚ SVŮJ PRŮBĚH vlevo od bodu x0 • graf funkce leží „nad tečnou“ • funkce je ryze konvexní • f //(x) > 0 vpravo od bodu x0 • graf funkce leží „pod tečnou“ • funkce je ryze konkávní • f //(x) < 0

3. INFLEXNÍ BOD – animace 2 znaménko 2. derivace – + FUNKCE V BODĚ T MĚNÍ PODSTATNĚ SVŮJ PRŮBĚH vlevo od bodu x0 • graf funkce leží „pod tečnou“ • funkce je ryze konkávní • f //(x) < 0 vpravo od bodu x0 • graf funkce leží „nad tečnou“ • funkce je ryze konvexní • f //(x) > 0

4. Ve kterých bodech může mít funkce inflexní bod? INFLEXNÍ BOD INFLEXNÍ BOD Funkce může mít inflexní bod v bodě x0 v případě, že je druhá derivace funkce v bodě x0 rovna nule. Body, ve kterých je druhá derivace funkce rovna nule jsou body „podezřelé z inflexe“.

5. ÚLOHY K PROCVIČENÍ Určete body podezřelé z inflexe. f:y = x4 p1) p2) f:y = x3 f:y = – x3 + 12 x2 + 9 p3) p4) f:y = x3 – 3 x2 – 9 f:y = x4 – 6 x2 + 3 x – 4 f:y = x4 – 12 x2 – 5 x + 1 p5) p6) f:y = – x4+ 4 x3+ 5 x– 11 f:y = x5 – 10 x4+ 11 x + 12 p7) p8) f:y = 2 x5 – 5 x4– 7 x– 8 f:y = x6 – 10 x4+ 7 x– 2 p9) p10) f:y = x8 – 2 x4 f:y = x8 – 4 x6 p11) p12)

6. VĚTA (nutná, nikoliv však postačující podmínka existence inflexního bodu): Má-li funkce f v bodě x0 inflexní bod a existuje-li v tomto bodě druhá derivace f //(x0), potom platí f //(x0) = 0. • PROBLÉM K ŘEŠENÍ – formulujte větu obrácenou a rozhodněte, zda tato věta platí. Obrácená VĚTA: Je-li f // (x0) = 0, potom má funkce f v bodě x0 inflexní bod. Vzpomeňte si na mocninnou funkci se sudým přirozeným mocnitelem (např. f(x) = x6) a hned se můžete k platnosti či neplatnosti této věty kvalifikovaně vyjádřit. f(x) = x6 f/(x) = 6x5 f//(x) = 30x4funkce f má druhou derivaci rovnou nule v bodě x0 = 0 (to je bod „podezřelý z inflexe“), funkce f však v bodě x0 = 0 inflexní bod nemá, protože je funkce f vlevo i vpravo od tohoto bodu ryze konvexní (nemění se znaménko druhé derivace vlevo ani vpravo od bodu x0).

7. VĚTA: Má-li funkce f druhou derivaci v každém bodě d–okolí bodu x0 a má-li druhá derivace funkce f// (x) v intervalech (x0 – d; x0) a (x0; x0 + d) různá znaménka, potom je bod x0 inflexním bodem funkce. • ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1 Určete inflexní bod dané funkce f. Potom najděte rovnici tečny k funkci f v bodě inflexe a načrtněte tečnu, bod inflexe a graf funkce v okolí inflexního bodu. funkce f má v bodě x0 = - 0,5 inflexní bod, protože vlevo od bodu x0 je znaménko druhé derivace záporné a vpravo od bodu x0 je druhá derivace kladná

8. ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2 Určete inflexní body dané funkce f. Potom najděte rovnici tečen k funkci f v bodech inflexe a načrtněte tečny, body inflexe a graf funkce v okolí inflexních bodů.

9. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.