1 / 35

Matematisk finans

Matematisk finans. Fred Espen Benth Matematisk institutt, UiO H øgskolen i Oslo , 10 september 2003. Plan for foredraget. Hva forstår vi med finansmatematikk? Noen typiske problemstillinger og noen ideer Beskrive finansmatematikk brukt i industrien Hva trenger de?

magnar
Download Presentation

Matematisk finans

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matematisk finans Fred Espen Benth Matematisk institutt, UiO Høgskolen i Oslo, 10 september 2003

  2. Plan for foredraget • Hva forstår vi med finansmatematikk? • Noen typiske problemstillinger og noen ideer • Beskrive finansmatematikk brukt i industrien • Hva trenger de? • Finansmatematikk som studium ved UiO og andre steder

  3. Finansmatematikk? • Investeringer i finansmarkeder er risikable • Hvordan kontrollere den risikoen man har tatt på seg? • Hvordan beskrive den risikoen man har tatt på seg?

  4. Finansmatematikk? • Finansmatematikk som fagfelt • Statistikk – beskrive risikoen • Matematikk/stokastisk analyse – analysere risikoen • Numerisk analyse – kvantifisererisikoen • Prise opsjoner (Black & Scholes formelen) • Optimalisere investeringer (porteføljeoptimering)

  5. Modellering av markedet - Statistikk • Systemprisen for gass i England • Store svingninger, reverterende mot middel

  6. Standard markedsmodell • Geometrisk brownsk bevegelse • Passer ikke så bra for energier • OK for aksjer • Black & Scholes sitt utgangspunkt • Daglige avkastninger er uavhengige og normalfordelte (identisk fordelte) • To parametere: Forventet avkastning og volatilitet

  7. Avkastningsdata for gass

  8. Alternative modeller • Levy prosesser • Stokastiske volatilitetsmodeller • Stor fleksibilitet i modelleringen av fordelingen • Ikke lenger normalfordelte, og ikke uavhengig • Matematisk avanserte – opsjonsprising er vanskelig

  9. Opsjonsprising – stokastisk analyse • Callopsjon: Retten til å kjøpe en aksje (underliggende) til en fastsatt pris K til et fastsatt tidspunkt T • Geometrisk brownsk bevegelse som modell • Opsjonen kan repliseres (hedges): Komplett marked • Ingen arbitrasje gir en entydig pris for opsjonen

  10. Opsjonsprising • Hva er prisen? • Lager en portefølje som har samme verdi som opsjonen • Portefølje i aksje og statssertifikat

  11. Black & Scholes’ formelen • N(d) er sannsynligheten for at en standard normalfordelt variabel er mindre enn d • Kompletthet, ingen arbitrasje • Stokastisk analyse, Ito integrasjon og Itos formel

  12. Opsjonsprising og Levy modeller • Den underliggende modelleres som en Levy prosess. Hva med opsjonspriser? • Markedet blir ikke-komplett • Ingen opsjoner kan hedges • Finnes uendelig mange arbitrasjefrie priser.

  13. Opsjonsprising – eksotiske opsjoner • Asiatiske opsjoner – gjennomsnitt av kursen • Knock-out opsjoner – ingen utbetaling hvis kursen bryter en barriere • Slike baneavhengige opsjoner har ingen eksplisitt formel for pris. • Avansert stokastisk analyse for å uttrykke prisen

  14. Opsjonsprising – Numerisk analyse • Mye brukt metode: Monte Carlo • Enkel, og virker for eksotiske opsjoner og høyeredimensjonale problemer • Simulerer den underliggende • Sofistikering av Monte Carlo pga lite effektiv • Quasi-MC

  15. Porteføljeoptimering Er teorien anvendbar i praksis?

  16. Porteføljeoptimeringsproblemet • Spørsmål: Hvordan allokere formuen optimalt mellom flere usikre investeringsalternativer? • De mest kjente optimeringsproblemene: • Markowitz: Optimere avkastning, gitt risiko • Merton: Optimere porteføljens nytte • Eksplisitte investeringsregler

  17. Kan dette brukes i praksis • Porteføljevekter er veldig sensitive til parametere i aksjemodellene (forventning og varians/volatilitet) • Paremeterne er estimert fra data, og derfor befengt med statistisk usikkerhet • Liten unøyaktighet i parameterne kan føre til store avvik i porteføljevektene

  18. Eksempel: Parameterusikkerhet • Hvor stor andel skal settes i aksje kontra obligasjon? • Anta aksje følger geometrisk Brownsk bevegelse • Logaritmisk nyttefunksjon

  19. Eksempel, forts…. • Eksplisitt løsning: Hold fast andel i aksje • Forventet avkastning og volatilitet blir estimert fra data

  20. Estimering av forventet avkastning og volatilitet • Estimeringsfeilen for allokeringen blir av orden den inverse volatilitetenover kvadratroten til antall data • Daglig volatilitet er liten

  21. Numerisk eksempel • Anta sann volatilitet er 24% og sann forventet avkastning er 2.8%, årlig • 50% av formuen skal teoretisk plasseres i aksjer • Fra estimering trenger vi ca. 72 år med daglige data for at feilen skal være 50%. Ett år med daglige data gir 420% feil!

  22. Porteføljeoptimering • Problemet ligger i usikkerheten i estimert forventet avkastning • For opsjonsprising er ikke dette noe problem, prisen avhenger kun av volatiliteten som er “lett” å estimere • Forskes på markedsmodeller for forventet avkastning

  23. Kort oppsummering, så langt… • Statistikk modellerer data fra markedet • Nye modeller trengs • Stokastisk analyse priser opsjoner og finner optimale porteføljer • Nye modeller krever mere teori • Numeriske metoder for å kvantifisere prisene • Benytter nyeste metodikk innen simulering • Nye metoder trengs

  24. Finansmatematikk i industrien

  25. Finansmatematikk i industrien • Banker, kredittinstitusjoner og meglerhus • Aksjer, obligasjoner • Opsjoner • Valuta, utlån, eiendom .... • Forsikringsselskaper • Aksjeinvesteringer av premier • Garanterte produkter

  26. Finansmatematikk i industrien • Energi (olje, gass, elektrisitet) • Spot • Derivathandel (forward, swing) • Fysiske posisjoner • Nye ”finansielle” markeder • Opsjoner på temperatur – værderivater • Shipping/transport (imarex) • Handel i CO2 kontrakter (EU marked)

  27. Finansmatematikk i industrien • Eksempler på ikke-komplette markeder • Modellering vanskelig • Prising krever tung teori • Kompliserte produkter • Lage opsjonsprodukter (financial engineering) • Analysere produktene

  28. Finansmatematikk i industrien • Hva slags kandidater trenger industrien? • Kunnskap om markedene! • Produkter, aktører ... • Analytisk kunnskap • Gode på statistikk/dataanalyse • Beherske data (Excel, Visual Basic, C++...) • Kunne forstå matematikk • Trenger ikke å være ”kvanter”

  29. Finansmatematikk som studium

  30. Studier i Norge • UiO: Bachelor og master i finans, forsikring og risiko (FFR) • Finansspesialisering: stokastisk analyse • Forsikring: data og statistikk • Ca. 20 studenter pr kull

  31. Studier i Norge • NHH, master i finans • Mindre fokus på matematikk og statistikk • Siviløkonomutdannelse • BI Oslo/Sandvika, bachelor og master i finans • Mindre fokus på matematikk og statistikk • Siviløkonomutdannelse • Agder og Molde • Lite fokus på kvantitative metoder

  32. Studier i Norge • Hva mangler? • Satt på spissen: • Enten ”nerder” i finans, • Eller ”nerder” i matematikk • Alle utdannelsene fokuserer på det tradisjonelle børsmarkedet • Hva slags kandidater vil etterspørres i fremtiden?

  33. “...og slik blir fremtiden” • Kompetanse på markeder • Energi, elektrisitet • Shipping • Vær..... • Kvantitativ kompetanse • Statistikk • Matematikk • Data • Økonomi Financial engineering

  34. Oppsummering • Skissert hva finansmatematikk er • Problemstillinger • Metoder og teknikker • Indikert bruk av finansmatematikk i industrien • Markeder • Diskutert utdannelser i Norge innen finans • Hva som mangler

  35. Koordinater • E-post: fredb@math.uio.no • Web adresse: http://www.math.uio.no/~fredb

More Related