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Tema : DETERMINANTES

UPC. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas TÓPICOS DE MÁTEMATICA MA49 (EPE). Tema : DETERMINANTES. COMPETENCIAS: 1. Describir el concepto de determinante a partir de su definición. 2. Describir las propiedades más importantes de la función determinante.

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Presentation Transcript

  1. UPC Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas TÓPICOS DE MÁTEMATICA MA49 (EPE) Tema : DETERMINANTES

  2. COMPETENCIAS: 1.Describir el concepto de determinante a partir de su definición. 2.Describir las propiedades más importantes de la función determinante. 3.Explicar la relación entre el valor del determinan- te de una matriz cuadrada y su singularidad.

  3. INTRODUCCIÓN: Hace aproximadamente 2000 años que los matemáticos chinos conocian bien el concepto de determinante. Habían encontrado una relación entre los coeficientes de sistemas de ecuaciones lineales y la solución de dichos sistemas.En el mundo occidental, los determinantes fueron empleados primeramente por Gottfried Wilhen Leibniz en 1693.

  4. MENOR DE UNA MATRIZ Si A es una matriz de orden nxn, se llama ij- ésimo menor de A a la matriz: Mij de orden (n-1)x(n-1) que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de A.

  5. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DEFINICIÓN: Sea A una matriz de orden nxn 1) 2) Si n>1: det A = a det M - a det M + ... ... + (-1) a det M Si n=1 : A=[a], det A= a 21 11 11 21 n+1 n1 n1

  6. Ahora: n (-1)i+1ai1detMi1 det A = i=1

  7. DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 2X2 DEFINICIÓN: Al número: se le llama determinante de la matriz de orden 2 y escribimos

  8. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE 3X3 = =

  9. DESARROLLO DE LAPLACE Según el desarrollo de los elementos de una fila (fila i) DET(A) = (-1)i+1 ai1det Mi1 + (-1)i+2 ai2detMi2 + ... + +(-1)i+n aindetMin similarmente para las columnas

  10. Si A es cualquier matriz cuadrada, entonces: det( A )= det A t PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1.DETERMINANTE DE LA TRANSPUESTA

  11. a a ... a 0 0 ... 0 a a ... a = 0 det ... ... ... 2. SI HAY UNA FILA NULA 11 12 1n n1 n1 n1 3. FILAS PROPORCIONALES: Si una matriz tiene dos filas proporcionales, su determinante esCERO.

  12. 4. Si B se obtiene INTERCAMBIANDO dos filas de A, entonces el determinante cambia de signo: det B = - det A (TRANSFORMACION ELEMENTAL 1) 5. Si B se obtiene MULTIPLICANDO una fila de A por el escalar c, entonces: el determinante queda multiplicado por c det B = c (det A) (TRANSFORMACION ELEMENTAL 2)

  13. 6. Si B se obtiene sumando a una fila de A un múltiplo de otra fila de A, entonces el determinante no se altera det B = det A (TRANSFORMACIÓN ELEMENTAL 3) 7.DETERMINANTE DE UN PRODUCTO Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces : det (AB) = (det A)(det B)

  14. 8.DETERMINATE DE UNAMATRIZ TRIANGULAR El determinante de una matriz triangular está dado por el producto de los elementos de su diagonal.

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