Przegląd i analiza najciekawszych prezentacji z matematyki

1. AS Przegląd i analiza najciekawszych prezentacji z matematyki

2. MIEJSCA W RANKINGACH PROJEKTÓW Z MATEMATYKI (pierwsze 20-ki rankingów w kompetencji mat.-fiz.) Projekty UGP Semestr 2 – 4 projekty (poz. 6, 18, 19, 20) Semestr 3 – 7 projektów (poz. 1, 2, 5, 10, 16, 18, 19) Semestr 4 – 7 projektów (poz. 3, 5, 6, 11, 13, 16, 17) Semestr 5 – 7 projektów (poz. 1, 3, 4, 6, 8, 9, 15) Projekty MGP Rok 1 – 8 projektów (poz. 8, 11, 13, 14, 15, 18, 19, 20) Rok 2 – 8 projektów (poz. 3, 4, 5, 9, 10, 14, 15, 18) Rok 3 – 9 projektów (poz. 1, 3, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18)

3. AS KOMPETENCJI Wybrane fragmenty prezentacji UGP i MGP

4. LICZBY FIBONACCIEGO

5. DANE INFORMACYJNE

6. SPIS TREŚCI

7. PROJEKT ZADANIA TEMATU PROJEKTOWEGO

8. ZADANIA TEMATU PROJEKTOWEGO

9. PROJEKT CELE PROJEKTU

10. CELE PROJEKTU

11. PROJEKT ZAKRES I PODZIAŁ ZADAŃ

12. ZAKRES I PODZIAŁ ZADAŃ

13. ZAKRES I PODZIAŁ ZADAŃ

14. ZAKRES I PODZIAŁ ZADAŃ

15. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Przyrodniczo- Politechnicznych w Marszewie • ID grupy: 97/88_MF_G1 • Opiekun: Dobromira Zdunek • Kompetencja: matematyczno- fizyczna • Temat projektowy: • „ Metody kombinatoryczne w rachunku prawdopodobieństwa” • Semestr/rok szkolny: • semestr V r. szk. 2011/2012

16. Cele projektu • Rozwój wiedzy • pogłębianie wiedzy z działu: Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka, • poznanie podstawowych pojęć kombinatorycznych, • wskazanie przykładówpraktycznego zastosowania wiedzy matematycznej, • Rozwój umiejętności • kształtowanie i rozwijanie intuicji kombinatorycznych, • stosowanie podstawowych pojęć kombinatorycznych w zadaniach • rozwijanie ciekawości poznawczej i umiejętności badawczych, • opracowanie zestawu przykładów i zadań ilustrujących poszczególne metody kombinatoryczne, • wykorzystania Internetu w procesie samokształcenia, • kształtowanie umiejętności przygotowania i publicznego prezentowania wyników swojej pracy, • poszukiwanie, selekcjonowanie i wykorzystanie zdobytych informacji, • Rozwój postaw • rozwijanie samodzielności uczniów oraz umiejętności organizacji pracy własnej, • kształtowanie i rozwijanie umiejętności współpracy w zespole, • kształtowanie postawy systematyczności i odpowiedzialności za przydzielone zadania, • rozwijanie twórczego podejścia do rozwiązywania problemów,

17. Podział i zakres zadań • Grupa 1 w składzie: • Paulina Wodniczak, Sebastian Siuda, Agnieszka Waleryszek, Błażej Stachowiak • Opracowanie definicji permutacji, wzorów do ich obliczania (z dowodami), przykładów ich stosowania. analiza i selekcja zebranych materiałów, tworzenie slajdów, zaprezentowanie projektu. • Grupa 2 w składzie: • Robert Jaźwiński, Eryka Józefiak, Mateusz Frąckowiak, Danuta Mikołajczyk, Magdalena Aleksandrowicz • Opracowanie definicji wariacji, wzorów do ich obliczania (z dowodami), przykładów ich stosowania. analiza i selekcja zebranych materiałów, tworzenie slajdów, przygotowanie prezentacji od strony technicznej.

18. Podział i zakres zadań • Grupa 3 w składzie: • Katarzyna Głód, Roman Abramowicz Dariusz Rogacki, Anna Szymczak, • Opracowanie definicji kombinacji, wzorów do ich obliczania (z dowodami), przykładów ich stosowania. tworzenie slajdów, zdjęcia z zajęć i umieszczanie ich w galerii zdjęć, przygotowanie prezentacji -składanie poszczególnych części w całość. • Grupa 4 w składzie: • Monika Nowacka, Paulina Szalczyk, Mateusz Straszewski, Piotr Zięciak, Tomasz Woźniak • Opracowanie zestawu własnych przykładów i zadań ilustrujących poszczególne metody kombinatoryczne, analiza i selekcja zebranych materiałów, tworzenie slajdów, prowadzenie e-kroniki.

19. „Metody kombinatoryczne • w rachunku prawdopodobieństwa” • Reguła mnożenia • Reguła dodawania • Indukcja • Permutacje Permutacje bez powtórzeń Permutacje z powtórzeniami • Wariacje z powtórzeniami • Wariacje bez powtórzeń • Kombinacje Symbol Newtona Kombinacje bez powtórzeń Kombinacje z powtórzeniami • Trzy podstawowe zasady o wielkim znaczeniu w Kombinatoryce • Prawdopodobieństwo klasyczne • Zastosowanie kombinatoryki do obliczania prawdopodobieństwa • Gry losowe

20. PODSUMOWANIE • Omawiając kombinatorykę wprowadziliśmy odpowiednie wzory, uzasadniliśmy ich poprawność oraz pokazaliśmy użyteczność indukcji matematycznej. Staraliśmy się przedstawiać w ciekawy sposób możliwości uporządkowania przedmiotów, wybierania elementów z danego zbioru, ustawiania przedmiotów w ciągi. Pokazaliśmy fragment tzw. matematyki dyskretnej używając najprostszych metod np. metody szufladkowej. • Omawiając rachunek prawdopodobieństwa wprowadziliśmy wzór na prawdopodobieństwo klasyczne funkcjonujący dla zbiorów skończonych, a następnie pokazaliśmy zastosowanie kombinatoryki do obliczania prawdopodobieństwa,staraliśmy się przedstawiać w prosty sposób obliczanie szans wygranej oraz analizę najprostszych zmiennych losowych.

21. Zapamiętaj !!! Algorytm postępowania przy rozwiązywaniu zadań

22. WNIOSKI Praca nad projektem pozwoliła nam na poznanie metod kombinatorycznych stosowanych w klasycznym rachunku prawdopodobieństwa, Duża liczba rozwiązanych zadań pozwoliła nam na zdobycie umiejętności stosowania pojęć kombinatorycznych w praktyce życiowej, Doskonaliliśmy różne strategie rozwiązywania zadań, Zrozumienie pojęć kombinatorycznych pozwoliło nam na samodzielne opracowanie przykładów i zadań ilustrujących poszczególne metody kombinatoryczne, Dzięki udziałowi w projekcie wzrosło nasze zainteresowanie matematyką, Dobrą motywacją do nauki jest praca metodą projektu, która rozwija twórcze i samodzielne myślenie, umiejętności współpracy w zespole i podejmowania decyzji grupowych.

23. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Nr 1 im. Powstańców Wielkopolskich w Swarzędzu • ID grupy: 97/33_MF_G1 • Kompetencja: matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: • METODY KOMBINATORYCZNE W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA • Semestr: II / zimowy / rok szkolny: 2010/2011

24. Podsumowanie projektu, wnioski • Realizując ten projekt po raz pierwszy zetknęliśmy się z kombinatoryką. Kiedy wypełnialiśmy test na wejściu, dotyczący tych zagadnień, nie potrafiliśmy podać poprawnych odpowiedzi, ale temat prezentacji pobudził naszą ciekawość i z przyjemnością przystąpiliśmy do jego realizacji. • Założyliśmy, że w tej prezentacji umieścimy „cząstkę” każdego z nas, na zdjęciach to my, nasza szkoła i nasze otoczenie. Mamy pewność, że w ten sposób ta praca będzie nam bliska przez długie lata, że zaciekawi również naszą rodzinę i naszych przyjaciół. Przy okazji zapewne znajdzie się wśród nich taka osoba, która będzie kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa uczyła się właśnie z tej pracy. • Rozwiązaliśmy bardzo dużo zadań, dużo więcej niż zawiera ta prezentacja. Poznaliśmy również inne metody rozwiązywania powyższych zadań. • Poprzez samodzielne wyszukiwanie wiadomości na tematy nam wcześniej nie znane, praca nad prezentacją przyczyniła się do lepszego ich zrozumienia i zapamiętania. • Dyskusja w trakcie tworzenia prezentacji, jeszcze bardziej przyczyniła się do pogłębienia wiedzy. • Praca w grupie uczyła nas dokonywania wyborów i często weryfikacji naszych poglądów. • Zdobytą wiedzę wykorzystaliśmy w doskonaleniu swoich umiejętności – rozwiązywaniu zadań. • Wiedza jest bardzo ważna, ale wiedza i umiejętności dużo ważniejsze, • a „potęga matematyki polega na pomijaniu • wszystkich myśli zbędnych i cudownej • oszczędności operacji myślowych” (Ernest Mach).

25. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Przyrodniczo-Politechnicznych w Marszewie • ID grupy: 97/88_MF_G1 • Opiekun: Dobromira Zdunek • Kompetencja: matematyczno- fizyczne • Temat projektowy: • Wzór Eulera dla wielościanów • Semestr/rok szkolny: • semestr III r. szk. 2010/2011

26. Cele projektu • Rozwój wiedzy • pogłębianie i utrwalanie wiadomości z działu: stereometria i planimetria, • pojęcia: wielościan, bryła platońska, wzór Eulera, dowody wzoru Eulera, • przykłady praktycznego zastosowania wiedzy matematycznej • Rozwój umiejętności • rozwijanie intuicji i wyobraźni geometrycznej, • poszukiwanie, selekcjonowanie i wykorzystanie zdobytych informacji, • zastosowanie wzoru Eulera, • interpretacja dowodów Wzoru Eulera (również nie w pełni formalnych z matematycznego punktu widzenia), • wykazanie, że istnieje dokładnie 5 brył platońskich (korzystając z twierdzenia Eulera). • zbadanie dla jakich trójek liczb naturalnych (W, K, S) istnieją wielościany wypukłe mające W wierzchołków, K krawędzi oraz S ścian ? • wyciąganie wniosków, stosowanie swojej wiedzy w praktyce, • Rozwój postaw • organizacja pracy własnej, współpraca w zespole i podejmowanie decyzji grupowych, odpowiedzialności za przydzielone zadania, przestrzeganie praw autorskich, planowanie działań, szacunek do pracy innych osób, poszukiwanie kompromisów.

27. Podział i zakres zadań • Grupa 1 w składzie: • Paulina Wodniczak, Sebastian Siuda, Agnieszka Waleryszek, Błażej Stachowiak • charakterystyka wielościanów i ich klasyfikacja, ogólna charakterystyka wielościanów wklęsłych, dowody wzoru Eulera, ogólne informacje o wielościanach półforemny, sprawdzić jak działa wzór Eulera dla dowolnego wielościanu półforemnego, poszukać przykładów wielościanów w naszym otoczeniu, wyszukać informacji o bryłach niemożliwych, analiza i selekcja zebranych materiałów, tworzenie slajdów, zaprezentowanie projektu. • Grupa 2 w składzie: • Robert Jaźwiński, Eryka Józefiak, Mateusz Frąckowiak, Danuta Mikiłajczyk, Magdalena Aleksandrowicz • opis i ogólna charakterystyka graniastosłupów, wyszukać i opracować informacje o L. Eulerze oraz twierdzeniu Eulera, udowodnić, że istnieje dokładnie pięć wielościanów foremnych, sprawdzić czy istnieją wielościany o podanych cechach, poszukać przykładów wielościanów w malarstwie, sztuce, wyszukać informacje n/t wielościanów niewypukłych, które są odpowiednikami brył platońskich, analiza i selekcja zebranych materiałów, tworzenie slajdów, przygotowanie prezentacji od strony technicznej

28. Podział i zakres zadań • Grupa 3 w składzie: • Katarzyna Głód, Roman Abramowicz Dariusz Rogacki, Anna Szymczak, • wyszukać , zinterpretować podstawowe pojęcia z działu stereometrii (dot. wielościanów), scharakteryzować ostrosłupy, przedstawić historie brył platońskich,sprawdzić czy wzór Eulera jest słuszny dla każdego wielościanu niewypukłego, rozwiązać zadania typu „wykaż, że..” z wykorzystaniem wzór Eulera, poszukać różnych ciekawostek dotyczących wielościanów i funkcjonowania wzoru Eulera, analiza i selekcja zebranych materiałów, tworzenie slajdów, zdjęcia z zajęć i umieszczanie ich w galerii zdjęć, przygotowanie prezentacji -składanie poszczególnych części w całość. • Grupa 4 w składzie: • Monika Nowacka, Paulina Szalczyk, Mateusz Straszewski, Piotr Zięciak, Tomasz Woźniak • opis i ogólna charakterystyka wielościanów foremnych, interpretacja zależności: twierdzenie Eulera a bryły platońskie, sprawdzić jak funkcjonuje wzór Eulera dla dowolnego wielościanu wypukłego, obliczyć liczby wierzchołków, ścian i krawędzi wielościanu stosując wzór Eulera, poszukać przykładów wielościanów w architekturze, analiza i selekcja zebranych materiałów, tworzenie slajdów, prowadzenie e-kroniki.

29. DOWODY WZORU EULERA O WIELOŚCIANACH WZÓR EULERA A BRYŁY PLATOŃSKIE WIELOŚCIANY ARCHIMEDESOWE WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW WIELOŚCIANY ZADANIA Wzór Eulera dla wielościanów CIEKAWOSTKI WIELOŚCIANY WOKÓŁ NAS NASZ PRACA NAD PROJEKTEM W OBIEKTYWIE

30. WZÓR EULERA Leonhard Euler szwajcarski matematyk i fizyk dokonał wielu istotnych odkryć. 3/5 jego prac dotyczyło zagadnień matematycznych, pozostałe poświęcone były zastosowaniu matematyki w fizyce, muzyce, balistyce • W 1752 roku, dokonał zadziwiającego odkrycia odnośnie związku jaki jest pomiędzy liczbami S, K, W, które oznaczają odpowiednio: ściany, krawędzie i wierzchołki w dowolnym wielościanie wypukłym. Związek ten nazywamy wzorem Eulera dla wielościanów i zapisuje się go w postaci • S + W = K+2 • lub • S + W - K= 2 • Wzór Eulera prawdziwy jest także dla niektórych wielościanów niewypukłych. WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW

31. Jak funkcjonujewzór Eulera dla dowolnego wielościanu wypukłego

32. Czy wzór Eulera • jest spełniony dla każdego graniastosłupa i ostrosłupa

33. oznaczmy: n liczba krawędzi podstawy w ostrosłupiemamy: S=n+1 W=n+1 K=2n wtedy: S+W- K=(n+1)+(n+1)- 2n =2 np. w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym mamy: S=6+1=7 W=6 +1= 7 K=2•6=12 wtedy: S+W-K=7+7-12 = 2 • w graniastosłupie mamy: S=n+2 W=2n K=3n wtedy: S + W- K=(n+2)+2n-3n=2 np. w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym mamy: S=6+2=8 W=2•6=12 K=3•6=18 wtedy: S+W-K=9+12-18 = 2

34. Wykazaliśmy, że Twierdzenie Eulera: • „ W każdym wielościanie suma liczb ścian (S) i liczba wierzchołków (W) równa się liczbie krawędzi (K) powiększonej o 2” • jest spełnione dla każdego graniastosłupa i ostrosłupa.

35. Czy rzeczywiście wzór Eulera jest słuszny dla każdego wielościanu • Mamy tutaj 16 ścian (8 prostokątów i 8 trapezów), 16 wierzchołków i 32 krawędzie. • A zatem W- K+ S =16 − 32 + 16 = 0 • Wielościan ma dziurę , ale innego typu niż w przypadku pierwszym. • A zatem W- K+ S =16-24+12=4 • Wielościany są wypukłe, podana w twierdzeniu Eulera równość nie zachodzi. Rozważmy wielościan który ma „dziurę na wylot”. a) W = 16, K = 32, S = 16 b) W = 16, K = 32, S = 16

36. Czy wzór Eulera jest słuszny dla każdego wielościanu c) • Jedna ze ścian jest pierścieniem (czyli nie jest homeomorficzna z kołem). Mamy tutaj 11 ścian, 16 wierzchołków i 24 krawędzie. • A zatem W- K+ S =16 − 24 + 11 =3 W = 16, K = 24, S = 11 • Wnioski • Twierdzenie Eulera prawdziwe jest również dla wielu wielościanów innych niż wypukłe. Wystarczy założyć, żeby wielościan był homeomorficzny z kulą, a każda z jego ścian homeomorficzna z kołem. • Dla wielościanów których wszystkie ściany są wielokątami liczba W- K+ S nazywa się charakterystyką Eulera. • W 1813 roku Simon Antoine Jean Lhuilier udowodnił, ze dla wielościanów dziurami” wzór Eulera przyjmuje postać W − K + S = 2 − 2g gdzie g jest liczba “dziur”. powrót

37. podsumowanie • Wzór Eulera jest spełnione dla każdego wielościanu wypukłego. • Twierdzenie Eulera prawdziwe jest również dla wielu wielościanów innych niż wypukłe. Wystarczy założyć, żeby wielościan był homeomorficzny z kulą, a każda z jego ścian homeomorficzna z kołem. • Wszystkie wielościany z „ dziurą na wylot” spełniają zależność S+ W= K. • Dla wielościanów których wszystkie ściany są wielokątami liczba W- K+ S nazywa się charakterystyką Eulera. • Lista wielościanów foremnych zawiera 9 pozycji – 5 wypukłych i 4 niewypukłe. • Istnieje 13 wielościanów półforemnych. • Wielościany wypełniają nasz świat. • Wielościany Keplera-Poinsota są odpowiednikami brył platońskich w świecie wielościanów niewypukłych. • Sześcian i ośmiościan oraz dwunastościan i dwudziestościan nazywamy bryłami dualnymi.

38. Efekty realizacji projektu • Wzrost kompetencji matematyczno-fizycznych. • Praktyczne wykorzystanie wiedzy matematycznej. • Zainteresowanie matematyką. • Twórcze podejście do rozwiązywania problemów. • Wzrost umiejętności zastosowania wzoru Eulera do geometrii wielościanów. • Umiejętna współpraca w grupie i skuteczna komunikacja. • Efektywne spędzanie wolnego czasu.

39. Bibliografia • http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum • http://www.math.edu.pl/bryly-platonski • http://matematyka.pisz.pl/ • http://www.szkolnictwo.pl • http://www.edukator.pl/portal-edukacyjny/matematyka/311.html • http://www.jakubas.pl/konspekty/Tw-Eulera/Tw-Eulera.htm • http://www.wiw.pl/delta/jeszcze_raz.asp • http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/b_stereometria.php • http://www.maximus.pl/bw-wielosciany_foremne-520.html • http://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Skarbnica • http://pl.wikipedia.org/wiki/Stereometria • K. Starnawski, Wybrane zagadnienia z geometrii WPR • M. Dobrowolska, Matematyka III Podręcznik GWO • R. Kalina, Matematyka III Sens • K. Sieńkowski Przygoda z niemożliwymi kształtami • Encyklopedia szkolna Matematyka

40. Dane informacyjne • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Nr 1 im. Komisji Edukacji Narodowej w Szczecinku • ID grupy: • 97/8 _MF_ G1 • Kompetencja: • Matematyczno- Fizyczna • Temat projektowy: • Semestr V / rok szkolny 2011/2012 Problemy ekstremalne w geometrii trójkąta

41. Spis treści Spis treści • Wprowadzenie. • Trójkąt i jego własności. • Tajemnica pierwsza - trójkąt spodkowy . • Różne elementarne zagadnienia ekstremalne. • Punkt Torricellego. • Mariaż kąta z trójkątem. • Trójkąt i koło. • Bibliografia.

42. Wprowadzenie Wprowadzenie • Czy trójkąt, prawie najprostsza figura geometryczna, może kryć w sobie tajemnice? • Jakie problemy ekstremalne związane są z geometrią trójkąta? • Mamy nadzieję, że nasze odkrycia będą dla osób oglądających tę prezentację ciekawe i może staną się zachętą do osobistych poszukiwań. Zdajemy sobie sprawę, że tematu nie wyczerpaliśmy. Im głębiej zajmowaliśmy się tą problematyką, tym coraz więcej pytań się rodziło. Naszą prezentację zaczynamy od przedstawienia najważniejszych własności trójkąta, które wykorzystywaliśmyw dowodach.

43. Wprowadzenie Wprowadzenie • Na niektóre zagadnienia spojrzeliśmy szerzej, wychodząc poza sam trójkąt. Poszukiwaliśmy też zastosowań problemów związanych z trójkątem w życiu codziennym (bilard, poszukiwania miejsca dla stacji benzynowej). W prezentacji korzystaliśmy z programów komputerowych do nauczania geometrii - Geogebra oraz Cabri II plus. • Cóż...prezentację czas zacząć. • Zapraszamy do świata trójkątów . Ojej, ja tu chyba nie pasuję, nie mam trójkątnej głowy, niedobrze.

44. Elementarne… Różne elementarne zagadnienia ekstremalne. CZĘŚĆ TRZECIA

45. Elementarne… Problem 3.2. Czerwony Kapturek codziennie rano idzie do rzeki po wodę i zanosi wiaderko z wodą do babci. Wyznacz punkt, w którym powinna zaczerpnąć wodę, aby jej droga była najkrótsza.

46. Elementarne… Ta bajkowa historia sprowadza się do poszukiwania najkrótszej drogi z punktu A poprzez punkt C, znajdujący się na prostej i do punktu B. Jak widać droga z punktu A poprzez C do punktu B tworzy łamaną. Czy można tę łamaną „wyprostować”? Tak, znajdźmy obraz punktu B w symetrii względem prostej (rzeki). Długości odcinków CB oraz CB’ są takie same. Jak widać punkty AB’C są wierzchołkami trójkąta. Z nierówności trójkąta Wiadomo, że najkrótsza droga pomiędzy punktami jest równa długości odcinka AB’. WNIOSEK: punkt poboru wody powinien znajdować się w punkcie przecięcia odcinka o końcach w punkcie A i B’ z prostą (rzeką).

47. Elementarne… Problem 3. 2 a.A co by było gdyby rzeki były dwie?

48. Elementarne… Należy postąpić podobnie. Znajdujemy punkt symetryczny do Q względem prostej l a następnie jego obraz w symetrii względem prostej k. Podobnie łączymy punkt P z Q” otrzymując punkt przecięcia D. Z punktu D prowadzimy odcinek do punktu Q’ i znajdujemy punkt przecięcia z prostą l, otrzymując punkt E. Szukana droga, to suma odcinków RD + DE + EQ.

49. Punkt Torricellego. Punkt Torricellego. CZĘŚĆ CZWARTA

50. Punkt Torricellego. Problem 4.1. Wewnątrz trójkąta znaleźć taki punkt, aby suma odległości od wierzchołków trójkąta była najmniejsza.