Download
1 / 8
80 likes | 151 Views
Některá diskrétní a spojitá rozdělení náhodné veličiny. Diskrétní rozdělení. Binomické rozdělení . Četnost jevu v n pokusech, výskyt tohoto jevu s pravděpodobností p. X ( w ) = k = 0, 1, 2, …, n. , m = np , s 2 = npq , kde q = 1- p. Příklad.
E N D
Některá diskrétní a spojitá rozdělení náhodné veličiny. Diskrétní rozdělení. Binomické rozdělení. Četnost jevu v n pokusech, výskyt tohoto jevu s pravděpodobností p. X (w) = k = 0, 1, 2, …, n , m = np, s2 = npq, kde q = 1-p Příklad. Pravděpodobnost, že náhodně vybrané jablko je červivé je p = 0.2. Nakreslete Pravděpodobnostní a distribuční funkci pro n = 100 jablek.
Jevy „právě k pokusů z n je úspěšných, k = 0, 1, …, n se navzájem vylučují, jeden z nich však vždy nastane. Proto součet pravděpodobností těchto jevů je pravděpodobnost jevu jistého, neboli 1. Předpokládáme-li n nezávislých pokusů, z nichž každý skončí úspěchem s pravděpodobností p a neúspěchem s pravděpodobností 1 – p = q, pak
Poissonovo rozdělení. Četnost jevu v mnoha pokusech, výskyt tohoto jevu s malou pravděpodobností p. X (w) = k = 0, 1, 2, … , m = l, s2 =l Příklad. Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 40 hovorů. Nakreslete pravděpodobnostní křivku pro náhodnou veličinu X: “v k-té minutě spojí ústředna právě 1 hovor“, k = 0, 1, …, 60. m = l = 15,
Negativně binomické rozdělení. Četnost k neúspěšných pokusů, než docílíme m-tého úspěšného, jestliže jsou pokusy na sobě nezávislé a pravděpodobnost úspěchu v každém z nich je p. , m = m(1-p)/p, s2 = m(1-p)/p2 Je-li m = 1, rozdělení se nazývá geometrické. Příklad. Nakreslete rozdělení pravděpodobnosti pro náhodnou veličinu “počet hodů kostkou, Než poprvé padne 6“. m = 1, počet hodů k, p = 1/6,
Hypergeometrické rozdělení. V souboru N výrobků je A zmetků. Ze souboru náhodně (nezávisle) vybereme n výrobků. Náhodná veličina “ve výběru je právě a zmetků“ má hypergeometrické Rozdělení. (n < N, a < A, A < N). , m = nA/N, Příklad. V souboru 100 výrobků je 10 zmetků. Ze souboru náhodně (nezávisle) vybereme 20 výrobků. Nakreslete rozdělení pravděpodobností náhodná veličiny “ve výběru je právě a zmetků“
Spojitá rozdělení. Rovnoměrné rozdělení na intervalu (a, b). , m = (a + b)/2, s2 = (b – a)2/12, a< b. f ( x ) = 1/(b-a), x(a, b), f ( x ) = 0 jinak Rovnoměrné rozdělení a = 0 se používá např. při modelování doby čekání na událost, která nastává v pravidelných intervalech délky b (čekání na událost zahajujeme v okamžiku, který je nezávislý na minulém ani budoucím výskytu události). Normální rozdělení se střední hodnotou m a variancí s2, N(m, s). 3. centrální moment (šikmost) = 0, 4. centrální moment (špičatost) = 3. Pokud m = 0, a s2 = 1, mluvíme o normovaném normálním rozdělení N (0,1).
Gama funkce: , a> 0. • 2 rozdělení o n stupních volnosti. , x> 0, , m = n, s 2 =2n Studentovo t rozdělení o n stupních volnosti. , m = 0, s 2 = n/(n – 2) Studentovo t rozdělení a c2 rozdělení se používají ve statistice. Normální rozdělení hraje v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice Důležitou roli – viz další přednášky.
Cvičení. Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 40 hovorů. Nakreslete pravděpodobnostní křivku pro náhodnou veličinu X: “v k-té minutě spojí ústředna alespoň 2 hovory“, k = 0, 1, …, 60. K lékaři přijde za týden průměrně 28 pacientů. Jaká je pravděpodobnost, že příští den přijdou tři? Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že pravděpodobnost toho, že žárovka při přepnutí vypínače praskne, je 0.05; jaká je pravděpodobnost toho, že když během roku rozsvítíme a zhasneme jednou každý den, prasknou tři žárovky? Každá dodávka výrobků má 100 kusů. Při přejímce výrobků se z každé dodávky náhodně bez vracení vybere 15 výrobků. Dodávka bude přijata, jestliže mezi kontrolovanými výrobky bude nejvýše 1 zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že dodávka bude přijata, jestliže obsahuje 20 zmetků ?
