Udskiftningsmodeller Grundmodeller Kjeld Tyllesen PEØ, CBS

1. Erhvervsøkonomi / ManagerialEconomics Udskiftningsmodeller Grundmodeller Kjeld Tyllesen PEØ, CBS Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

2. 3 modeller Problemstillingen er, at vi skal fastlægge den fremtidige udskiftningspolitik for et eksisterende anlæg i vores besiddelse I de traditionelle fremstillinger i lærebøger fokuseres der straks på følgende 3 alternativer • Ingen udskiftning, kun til udløb • Udskiftning med tilsvarende anlæg • Udskiftning med et nyt anlæg Men som redegjort for i filmen ”Udskiftningsmodeller – Overblik” er dette en alt for simpel betragtning, for hermed er udskiftningspolitikken jo valgt på forhånd! Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

3. Offerbetragtning Når vi for det enkelte projekt skal bestemme dets videre forløb, har vi altså følgende 3 muligheder, nemlig • Ingen udskiftning, kun til udløb • Udskiftning med tilsvarende anlæg • Udskiftning med et nyt anlæg Og hvornår skal dette, indenfor den enkelte kategori, finde sted? Hertil skal vi som sædvanligt bruge en offerbetragtning Sådan gør vi også, når det i optimeringsmodellerne er Q, der er den uafhængige variabel Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

4. Tidspunkt Her skal vi imidlertid finde det økonomisk set optimale tidspunkt for aktivets levetid og eventuelle udskiftning, så nu bliver det Tiden, der er vores uafhængige variable Som det også er tilfældet ved pris-/mængdeoptimering, kan der ved udregningerne her anlægges en Marginal- eller en Totalbetragtning Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

5. Marginalbetragtning Vi starter med at anlægge en Marginalbetragtning, baseret på en Offerbetragtning med tiden som variabel på både 1. Udbetalinger og på 2. Indbetalinger Vores analyse er således baseret på en periodevis betragtning - 1 periode af gangen, ”step-by-step” Først ser vi på 1. Udbetalingerne Her er den grundlæggende betragtning: Når vi befinder os primo en periode, hvad ofrer vi så af økonomiske værdier ved at fortsætte med det eksisterende anlæg 1 periode længere? Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

6. MC m.h.t. tid Ved at fortsætte i 1 periode mere, ofrer vi hermed 1. Ændring i scrapværdi Når aktivet bruges i 1 periode mere, ændrer det typisk værdi; p.gr.a. slid, forældelse m.v. – eller værdistigning 2. Renten af den likviditet (= scrapværdi), som vi ved periodens begyndelse - altså når beslutningen om at fortsætte 1 periode mere bliver truffet – har bundet i anlægget 3. Reparation, drift og vedligehold af anlægget i den kommende periode Og summen af disse 3 elementer er lig med MC m.h.t. tid! Det skal understreges, at de ovenfor anførte betragtninger om MC skal anvendes ved starten af hver eneste periode (tid), incl. den første! Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

7. Med tiden som variabel MC kender vi fra andre steder i ManagerialEconomics, nemlig når Q er den uafhængige variabel. Så er MC defineret som ”ændringen i de totale omkostninger, når Q forøges med 1 enhed” Når vi arbejder med Udskiftningsmodeller, er MC tilsvarende defineret som ”ændringen i de totale udbetalinger, når TIDEN forøges med 1 enhed (= 1 periode)” Så det er altså det gamle velkendte definition, som vi anvender, men her med tiden som uafhængig variabel Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

8. MC grafisk Så når vi har Q som den uafhængige variable, er vi vant til at se følgende MC-kurve: Men ved Udskiftningsmodeller ser MC således ud: MCN Kr. MCQ Tid (N) Q Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

9. I MC skal ikke medtages… Startende med N = 0 vil MCN typisk først falde p.gr.a. et aftagende fald i scrapværdi og dermed også i den ofrede renteindtægt Drift, reparation og vedligehold vil i begyndelsen være relativt lave, men vil efterhånden, som anlægget bliver ældre, stige og bevirke, at den samlede værdi af MCN stiger Det skal understreges, at i MC skal der IKKE inkluderes udbetalinger, der er afhængige af den producerede mængde så som materialer, lønninger m.v. Disse skal i stedet ”løsrives” fra aktivet og modregnes i de marginale (én periode mere) indbetalinger fra salget af produktionen Men scrapværdien kan i periodens forløb også stige – f.eks. fodboldspillere, Rembrandt, veteranbiler m.v. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

10. Fra MC til TC Og ud fra MC kan vi finde TC Når Q er den uafhængige variabel, er TC = ∑ MC Her produceres og sælges alle Q jo indenfor samme periode, så her er tid (og dermed diskontering af beløb) slet ikke relevant at bringe ind i beregningerne Men da Tiden nu er den uafhængige variabel, kan vi ikke bare addere alle MC sådan som ovenfor For 1 kr. i dag er jo (1 + r) kr. værd om 1 periode – og vice versa! Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

11. TCN = K0 = … Når Tiden altså er den uafhængige variable, skal alle MC-værdier (beløb) derimod tilbagediskonteres til d.d. (= periode 0) t=N Så TCN = K0 = ∑ MCt * (1 + r)-t t=0 Så med tiden som variabel er ”at lægge alle MC-beløb sammen” det samme som at tilbagediskontere MC-beløbene til periode 0 og dermed finde K0 Det kan også udtrykkes som at finde K0-værdien ved en kapitalværdiberegning, der udelukkende indregner de ofrede udbetalingsstrømme, der kan henføres til det anlæg, som analyseres Nu har vi fastlagt MC og TC med tiden som uafhængig variabel Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

12. ATC = f(tid) Nu skal vi fastlægge ATC- og stadig med Tiden som uafhængig variabel Med Q som den uafhængige variabel er ATC = TC/Q Sådan her er det altså, når det er Q, der er den uafhængige variabel, ATC = ∑ MC = Totale omkostninger Q Q Når det nu er Tiden (N), der er den uafhængige variabel, bliver • ATCN = K0 * r * (1 + r)N = K0 * r . • (1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N Altså med andre ord: Med tiden som den uafhængige variabel bliver ATCN = K0, der omskrives til en annuitet over N perioder Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

13. Indbyrdes beliggenhed af MC og ATC Og så får MC og ATC følgende indbyrdes beliggenhed: Og også her viser det sig, at med tiden som variabel vil MC skære ATC, hvor denne har minimum MC Sådan er det jo også med Q som variabel! Kr. ATC Tid Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

14. TCN = ∑MCt Alt dette kan også ses med fokus på ATC Når Q er den uafhængige variabel, så vi foran, at TCN = MCt og TCN = QN * ATCN t=N ∑ t=0 Så når man med Q som uafhængig variabel går fra MC eller ATC til TC, adderer man MC’erne eller multiplicerer ATC med Q • Og når Tiden er den uafhængige variabel, er • TCN = K0 = MCt * (1 + r)-t og TCN= K0 = ATCN* (1 + r)N - 1 . • (1 + r)N * r t=N ∑ t=0 Så når man med Tiden som uafhængig variabel går fra MC eller ATC til TC, udregner man nutidsværdien, K0 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

15. Annuitetsdiskonteringsfaktoren I sidst anførte tilfælde bruger man ”annuitetsdiskonteringsfaktoren” til at udregne K0 = TC. Husk at • K0 = ATCN * (1 + r)N - 1 = ATCN * 1 – (1 + r)-N. • r * (1 + r)Nr Relationen mellem MC og ATC kan på et givet vilkårligt tidspunkt, N, illustreres således: MC Kr. Så ATCN (= det røde areal) * 1 – (1 + r)-N r ATC t=N ∑ t=0 antager (selvfølgelig) den samme værdi som MC (= det blå areal) * (1 + r)-t Tid Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

16. MC m.h.t. tid Nu har vi forklaret MC- og ATC-kurvernes beliggenhed og vist, at den indbyrdes beliggenhed er den samme med Q og med Tid (N) som variabel Lad os lige repetere: Ved at fortsætte i 1 periode mere, ofrer vi hermed 1. Ændring i scrapværdi Når aktivet bruges i 1 periode mere, ændrer det typisk værdi; p.gr.a. slid, forældelse m.v. – eller værdistigning 2. Renten af den likviditet (= scrapværdi), som vi ved periodens begyndelse - altså når beslutningen om at fortsætte 1 periode mere bliver truffet – har bundet i anlægget 3. Reparation, drift og vedligehold af anlægget i den kommende periode Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

17. 1. Ændring i scrapværdi Og summen af disse 3 elementer er lig med MC m.h.t. tid! Det skal understreges, at de ovenfor anførte betragtninger om MC skal anvendes ved starten af hver eneste periode (tid), incl. den første! Til de enkelte elementer ovenfor i MC m.h.t. tiden skal der knyttes følgende kommentarer: Ad 1. Ændring i scrapværdi Dette element i MC repræsenterer den reelle økonomiske netto værdiændring, der sker i løbet af én tidsperiode, N Og ΔScrapværdiN = ScrapværdiN – ScrapværdiN-1 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

18. ”Afskrivning” P.gr.a. slid og ælde og den tekniske udvikling vil et aktiv ofte tabe i værdi fra begyndelsen til slutningen af perioden. Det vil være tilfældet med mange maskiner, biler, bygninger etc., og nogle gange betegnes dette værdifald også som ”afskrivning” Denne ”afskrivning” skal dog på ingen måde forveksles med skatte- og/eller regnskabsmæssige afskrivninger, som ganske vist er udtryk for det samme, men beregnes efter ret mekaniske regelsæt, der ikke nødvendigvis afspejler udviklingen i den reelle økonomiske scrapværdi Men husk, at udskiftningsmodeller skal anvendes på alle de aktiver, som virksomheden er i besiddelse af på et givet tidspunkt Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

19. 2. Ofret rente Og fodboldspillere, veteranbiler, maleri af Rembrandt, udlejningsejendomme, specialmaskiner etc. kan ofte blive mere værd, selv om de samtidig bliver brugt og slidt i løbet af perioden Tænk bare på parcelhuse i midten af ’00’erne. Ejerne boede i dem, sled på dem og brugte dem, og samtidig steg den økonomiske værdi af husene; væsentlige friværdier opstod! Ad 2. Ofret Rente af den likviditet (= Scrapværdi), som vi ved periodens begyndelse - altså hvor beslutningen om at fortsætte 1 periode mere bliver truffet – har bundet i anlægget Når vi står ved periodens start og skal beslutte os for, om vi skal fortsætte med det eksisterende anlæg, vil vi jo ha’ alternativet at sælge anlægget (til scrapværdien ved periodens start) og i stedet investere det hermed frigjorte likvide beløb til r% Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

20. 3. Rep., drift & vedl.hold Så når vi vælger at fortsætte én periode mere med det eksisterende anlæg, ofrer vi jo dermed netop denne alternative rente, så Ofret renteN = ScrapværdiN-1 * r Bemærk, at det ofrede rentebeløb i periode N beregnes af Scrapværdien ved periodens start, altså af ScrapværdiN-1 3. Reparation, drift og vedligehold af anlægget i den kommende periode Denne post vil typisk være lav i begyndelsen af aktivets levetid – altså for små værdier af N – men vil stige, efterhånden som aktivet bliver ældre og kræver flere økonomiske ressourcer for at forblive i drift Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

21. MR m.h.t. tid Bemærk, at denne post ikke omfatter de materialer, lønninger m.v., som anvendes til den pågældende produktion og varierer med Q. De skal som tidligere nævnt i stedet fratrækkes i MR (se også nedenfor) Nu er der redegjort for MC m.h.t. tid Men i ”næste periode” er der også 2. Indbetalinger Her er den grundlæggende betragtning – tilsvarende 1. Udbetalinger Når vi befinder os primo en periode, hvad indbringer det os så i økonomiske værdier at fortsætte med det eksisterende anlæg 1 periode længere? Dette er vores MR m.h.t. tid Så vores MR – Marginal Revenue – m.h.t. tid – er det beløb, som vi modtager ved at eje det pågældende aktiv 1 periode mere! Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

22. I MR skal modregnes… Dette vil som udgangspunkt være den indbetalte omsætning Til produktion af varer og/eller serviceydelser ved hjælp af det pågældende anlæg vil der medgå en række udbetalinger, hvis størrelse således er afhængige af den producerede mængde Q Disse skal altså IKKE inkluderes i aktivets ”Drift, reparation og Vedligehold” Disse udbetalinger skal i stedet fratrækkes i den indbetalte Omsætning, og dermed fremkommer Dækningsbidrag/Driftsresultat, som vi her vil benævne ”MCon (m.h.t. tid)”, der er det begreb, vi vil anvende frem over MCon kendes også fra den øvrige del af Erhvervsøkonomi/ManagerialEconomics og er også her defineret således: Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

23. MCon = MR - MC MCon = MR – MC med Q som den uafhængige variabel Dækningsbidrag/Driftsresultat vil udvikle sig over tid, afhængig af udvikling i afsætningen, priser, produktionen, det tekniske og økonomiske udviklingsstade m.m.m. Udviklingen i indbetalingerne/periode for en række af disse faktorer vil være afhængig af det konkret valgte projekt (maskine, bil, ejendom etc.) – altså af den enkelte ”pind” i det totale forløb Derfor skal indbetalingerne/periode analyseres, kortlægges og indregnes i de marginal-/grænsebetragtninger, der skal bruges til at fastlægge den optimale udskiftningspolitik for det enkelte projekt, altså en total-betragtning pr. projekt Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

24. Lad os repetere Lad os nu lige repetere: Vi skal altså fastlægge den totalt set optimale udskiftningspolitik indenfor den valgte interessehorisont Vi bruger en Marginalbetragtning • Det betyder, at for hele forløbet af ”pinde” - hvert eneste projekt - skal vi • fastlægge alle relevante indbetalinger og datere dem • fastlægge alle relevante udbetalinger og datere dem • anvende en offerbetragtning på såvel MC som MConm.h.t. tid • bestemme det tidspunkt, hvor anlægget marginalt set er mest fordelagtigt Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

25. Risici ved MC-betragtningen Nu er det en oplagt risiko ved marginalbetragtningen, at man ved mere komplicerede forløb af ind- og udbetalinger godt kan miste det totale overblik Hvis f.eks. udbetalingerne i én eller flere perioder er større end de samme perioders værdier for MCon, skal man så stoppe projektet? Grænsebetragtningen siger jo, at man skal ophøre med projektet, når MCon < MC Men hvis dette sker, vil det tabte – og måske mere til – alligevel så kunne blive indvundet i senere perioder? Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

26. Supplere med en total K0-beregning Derfor skal man, hvor forløbet af ind- og udbetalinger ikke fører til en entydig beslutning, i første omgang supplere med en total K0-beregning til at finde den optimale værdi af t = N, altså det optimale tidspunkt for udskiftning (= levetid) Endvidere har man, hvis det aktuelle projekt indgår i en tidsmæssig sekvens af udskiftninger, altid brug for at finde K0 af det aktuelle projekt med det beregnede udskiftningstidspunkt t = N For jf. vores totalmodel til beregning af den optimale udskiftningspolitik skal denne singulære K0-værdi indgå i de totale beregninger af K0 for alternative sekventielle udskiftningsforløb Derfor skal man altså i alle tilfælde supplere marginalbetragtningen med anvendelsen af en Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

27. Totalbetragtning Totalbetragtning Her finder man • Ult. år N: • K0 = - Anskaffelsespris • + ∑ (MCont – (Drift & Vedligehold)t) * (1 + r)-t • + ScrapværdiN * (1 + r)-N K0 af Initialinvestering t = N K0 af Netto Resultat1-N t = 1 K0 af Scrapværdi ult. år N K0 omregnes til Nettoindbet.N (annuitet) • => ATCN= K0, N* (1 + r)N * r • (1 + r)N – 1 Ud fra K0, t kan man finde NettoindbetN jvf. ovenfor og også – hvis det er ønskeligt – finde Marginal Nettoindbett ved anvendelse af (1 + r)t som omregningsfaktor, således: Marginal Nettoindbett = (K0, t – K0, t-1) * (1 + r)t Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

28. Oversigt Udløb Som et nødvendigt led heri skal vi fastlægge den optimale levetid for det enkelte projekt (”pind”) Nyt Udløb Samme Udløb Nyt Nyt Udløb Udløb Samme Samme Eksisterende anlæg Udløb Nyt Nyt Nyt Udløb Samme Samme I praksis vil det som oftest se således ud: Nyt Udløb Nyt Samme Men for fuldstæn-dighedens skyld: Samme Udløb Udløb Udløb Nyt Nyt Samme Samme Nyt Samme Udløb Nyt Samme Samme Tid Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

29. 3 muligheder Så for det enkelte projekt i det totale forløb har vi som tidligere nævnt følgende 3 muligheder A. Ingen udskiftning, kun til udløb B. Udskiftning med tilsvarende anlæg C. Udskiftning med et nyt anlæg Og det fastlagte forløb og K0 for det enkelte projekt indgår derpå i beregningerne af Kapitalværdien - K0 - for det totale projektforløb – hvoraf der jf. figuren på foregående slide så kan være adskilligt mulige - som så alle må sammenholdes ved brug af Kapitalværdimetoden for at finde det økonomisk set bedste alternativ Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

30. Endnu mere komplekst Og vores konklusion fra denne analyse fastlægger dermed den optimale udskiftningspolitik Nu er vi så ved at være ved vejs ende Det har til tider været ret kompliceret, så for lige at tilføje lidt, der kan komplicere analysen yderligere, skal det nævnes, at - Der er en dynamisk sammenhæng mellem valg af anlæg og så MCon = MR – MC, idet såvel MR som MC vil være afhængig af det valgte aktiv - Udskiftningspolitikken også er afhængig af den forventede kommercielle succes for det producerede produkt/service - Der også er en dynamisk sammenhæng mellem udbetalingerne til Reparation, drift og vedligehold, og så udviklingen i Scrapværdi ved projektets udløb Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

31. Afslutning - Og i beregningerne skal der også tages højde for eventuelle forskelle i output. Nye maskiner vil jo ofte producere større og/eller bedre kvantiteter pr. tidsenhed! Så der er meget at regne på, og vores modeller kan og vil så blive endnu mere komplicerede. Vi må i så fald finde andre og mere avancerede værktøjer til at assistere os med løsningen Men lige nu mangler jeg blot at sige ”Tak for nu!” Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS