Das Palio von Siena

1. Auf der Piazza del Campo, einem der schönsten Plätze Italiens, findet zweimal im Jahr eines der ursprünglichsten und malerischsten Volksfeste statt: das Palio. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! Das Palio von Siena Es wird ausgetragen zwischen Reitern aus zehn der siebzehn Stadtbezirke (Contraden) Sienas. Wie kann man bestimmen, welcher Stadtteil am Rennen teilnehmen darf ? Möglichkeit: Zu jedem Rennen wird gelost. Die Wahrscheinlichkeit am Rennen teilzunehmen beträgt dann 10/17. Tatsächlich erfolgt die Auswahl daher nach folgendem Prinzip: Hat eine Contrade an einem Rennen nicht teilgenommen, darf sie beim Folgerennen auf jedem Fall teilnehmen. Die verbleibenden drei Plätze werden unter den verbleibenden zehn Contraden verlost. Problem: Wenn eine Contrade Pech hat, kann sie über Jahre hinaus nicht am Rennen teilnehmen. Die Wahrscheinlichkeit an Rennen teilzunehmen beträgt dann ???

2. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! Das Palio von Siena Auswahlprinzip: Hat eine Contrade an einem Rennen nicht teilgenommen, darf sie beim Folgerennen auf jedem Fall teilnehmen. Die verbleibenden drei Plätze werden unter den verbleibenden zehn Contraden verlost. Nicht so leicht zu beantworten, denn die Wahrscheinlichkeit für die Teilnahme hängt von den Voraussetzungen beim vorhergehenden Rennen ab. Dies ist ein zentrales Merkmal von Markoff – Ketten: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einer Stufe ist abhängig von den Voraussetzungen bei der vorhergehenden Stufe. Zurück zum Problem !!!

3. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! 0 1 1 0,3 0 0 1 0,7 Darstellungsmöglichkeit: Die Wahrscheinlichkeiten für die Teilnahme lassen sich als Vektor notieren: (T: Teilnahmewahrscheinlichkeit; Wahrscheinlichkeit der Nichtteilnahme) Das Palio von Siena Auswahlprinzip: Hat eine Contrade an einem Rennen nicht teilgenommen, darf sie beim Folgerennen auf jedem Fall teilnehmen. Die verbleibenden drei Plätze werden unter den verbleibenden zehn Contraden verlost. Die Wahrscheinlichkeit an Rennen teilzunehmen beträgt dann ??? Hat eine Contrade also beim aktuellen Rennen nicht teilgenommen, beträgt die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Rennen teilzunehmen 100 % Hat eine Contrade beim aktuellen Rennen teilgenommen, beträgt die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Rennen teilzunehmen 3/10 = 30 %

4. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! 1 0,3 0 1 0,7 0 0 1 Das Palio von Siena Auswahlprinzip: Hat eine Contrade an einem Rennen nicht teilgenommen, darf sie beim Folgerennen auf jedem Fall teilnehmen. Die verbleibenden drei Plätze werden unter den verbleibenden zehn Contraden verlost. Die Wahrscheinlichkeit an Rennen teilzunehmen beträgt dann ??? Hat eine Contrade also beim aktuellen Rennen nicht teilgenommen, beträgt die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Rennen teilzunehmen 100 % Hat eine Contrade beim aktuellen Rennen teilgenommen, beträgt die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Rennen teilzunehmen 3/10 = 30 % Fragestellungen: Wenn eine Contrade am aktuellen Rennen teilgenommen hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim überübernächsten (dritten) Rennen teilzunehmen ? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der Teilnahme bei diesem Verfahren ‚auf lange Sicht‘ (Beim Auslosen betrug sie ja 10/17!) ?

5. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise T T T Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! Hierzu zunächst eine formale Vorgehensweise zur Notierung der Übergänge zwischen Teilnahme und Nichtteilnahme: Auswahlprinzip: Hat eine Contrade an einem Rennen nicht teilgenommen, darf sie beim Folgerennen auf jedem Fall teilnehmen. Die Übergänge lassen sich jedoch auch als Matrix notieren: Die verbleibenden drei Plätze werden unter den verbleibenden zehn Contraden verlost. 1 T T 0,3 1 T 0 0,3 0,7 0 0,7 Eine derartige Darstellung nennt man: Gerichteter Graph Eine derartige Darstellung nennt man: Übergangsmatrix Damit zunächst zurück zur ersten Fragestellung:

6. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise T T T Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! 0,79 1 0,3 0,7 0 Wenn eine Contrade am aktuellen Rennen teilgenommen hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim überübernächsten (dritten) Rennen teilzunehmen ? Zur Erinnerung: Aktuelles Rennen 1. Folgerennen 2. Folgerennen 3. Folgerennen 0,3 0,7 Für das 2. Folgerennen ergibt sich: T Teilnahmewahrscheinlichkeit im 1. Rennen: 0,3 führt zur Teilnahmewahrscheinlichkeit im zweiten Rennen von 0,3·0,3 = 0,09 0,3 1 Wahrscheinlichkeit für die Nichtteilnahme im 1. Rennen: 0,7 führt zur Teilnahmewahrscheinlichkeit im zweiten Rennen von 1·0,7 = 0,7 T T Insgesamt erhält man: Teilnahmewahrscheinlichkeit im 2. Folgerennen: 0,3·0,3 + 1·0,7 = 0,79

7. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise T T T Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! 0,79 0,3 1 0 0,7 0,3 0,7 T 0,7 0 T T Wenn eine Contrade am aktuellen Rennen teilgenommen hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim überübernächsten (dritten) Rennen teilzunehmen ? Zur Erinnerung: Aktuelles Rennen 1. Folgerennen 2. Folgerennen 3. Folgerennen 0,21 Automatisch erhält man für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (Nichtteilnahme) den Wert 0,21 Man mache sich klar, dass man ihn auch durch folgende Rechnung erhält: 0,7·0,3 + 0·0,7 = 0,21

8. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise T T T Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze 0,79 0,21 Auf zu Derive!! 0,447 0,79 1 0,3 T 0 0,7 0,21 0,3 0,7 1 0 T T Wenn eine Contrade am aktuellen Rennen teilgenommen hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim überübernächsten (dritten) Rennen teilzunehmen ? Zur Erinnerung: Aktuelles Rennen 1. Folgerennen 2. Folgerennen 3. Folgerennen Nun zum dritten Folgerennen: Teilnahmewahrscheinlichkeit im 2. Rennen: 0,79 führt zur Teilnahmewahrscheinlichkeit im dritten Rennen von 0,3·0,79 = 0,237 Wahrscheinlichkeit für die Nichtteilnahme im 2. Rennen: 0,21 führt zur Teilnahmewahrscheinlichkeit im dritten Rennen von 1·0,21 = 0,21 Insgesamt erhält man als Teilnahmewahrscheinlichkeit im 2. Folgerennen: 0,3·0,79 + 1·0,21 = 0,447

9. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise T T T Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze 0,79 0,21 Auf zu Derive!! 1 0,3 0,79 T 0 0,7 0,21 0,3 0,7 1 0 T T Wenn eine Contrade am aktuellen Rennen teilgenommen hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim überübernächsten (dritten) Rennen teilzunehmen ? Zur Erinnerung: Aktuelles Rennen 1. Folgerennen 2. Folgerennen 3. Folgerennen 0,447 0,553 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der Nichtteilnahme ? Richtig !! 0,7·0,79 + 0·0,21 = 0,553

10. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise T T T Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) 0,447 Beispielaufgabe c) 0,553 Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze pn qn Auf zu Derive!! 1 pn 0,3 0,79 pn+1 T 0 0,21 0,7 qn+1 qn 0,3 0,7 1 0 T T Wenn eine Contrade am aktuellen Rennen teilgenommen hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim überübernächsten (dritten) Rennen teilzunehmen ? Zur Erinnerung: Aktuelles Rennen 1. Folgerennen 2. Folgerennen 3. Folgerennen Wie erhält man aus der Verteilung eines Rennens die Verteilung des Folgerennens ? ? pn+1 = 0,3·pn+1·qn qn+1 = 0,7·pn+0·qn

11. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise T T T Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) 0,447 Beispielaufgabe c) 0,553 Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze pn qn Auf zu Derive!! 1 0,3 pn+1 pn 0,79 T 0,21 0,7 0 qn+1 qn 0,3 0,7 1 0 T T pn+1 0,3·pn+1·qn = qn+1 0,7·pn+0·qn Wenn eine Contrade am aktuellen Rennen teilgenommen hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim überübernächsten (dritten) Rennen teilzunehmen ? Zur Erinnerung: Aktuelles Rennen 1. Folgerennen 2. Folgerennen 3. Folgerennen Wie erhält man aus der Verteilung eines Rennens die Verteilung des Folgerennens ? ?

12. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise T T Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) T Beispielaufgabe d) . . Begriffe/ Definitionen 0,3 pn + 1 qn T 0,3 1 Sätze Auf zu Derive!! . . 0,7 0 0,7 pn + 0 qn pn+1 0,3·pn+1·qn = qn+1 0,7·pn+0·qn Notiert man sich hierzu die eingangs erwähnten Matrix- und Vektorschreibweisen unseres Problems: Übergangs-matrix Vertei-lungs-vektor pn . = qn so lässt sich erkennen, dass man den Übergang vom einen zum nächsten Jahr durch die Multiplikation des ‚Verteilungsvektors‘ mit der Übergangsmatrix erhalten kann. Betrachten wir vor diesem Hintergrund Verteilungsvektoren für die verschiedenen Jahre...

13. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! 0,79 1 0,447 0,3 0,553 0,7 0 0,21 Aktuelles Rennen 1. Folgerennen 2. Folgerennen 3. Folgerennen ...und nutzen ‚Derive‘ als Hilfsmittel zur Bestimmung der Vektoren: Auf zu Derive !!

14. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! Durch das Herumexperimentieren mit Derive kann man verschiedene Dinge entdecken, die mathematisch interessant sind: Die Verteilung scheint sich mit fortschreitender Stufenzahl einer Grenzverteilung anzunähern. Die Grenzverteilung ist stationär, d.h. Multiplikation mit der Übergangsmatrix verändert sie nicht mehr Potenzierung der Matrix ändert die Koeffizienten so, dass in jeder Spalte das Gleiche, nämlich der Grenzvektor steht. Die Grenzverteilung stellt sich unabhängig vom Startvektor ein.

15. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Gesucht ist die Grenzverteilung !! Nach obigen Aussagen könnte sie mit der stationären Verteilung übereinstimmen. Sätze b Auf zu Derive!! a 0,3 1 = a a 0,7 0 b b Durch das Herumexperimentieren mit Derive kann man verschiedene Dinge entdecken, die mathematisch interessant sind: Die Verteilung scheint sich mit fortschreitender Stufenzahl einer Grenzverteilung anzunähern. Die Grenzverteilung ist stationär, d.h. Multiplikation mit der Übergangsmatrix verändert sie nicht mehr Nutzen wir die ersten beiden Erkenntnisse, um den zweiten Teil der Fragestellung anzugehen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der Teilnahme beim Rennen auf lange Sicht ? Es muss also gelten: mit a+b=1,also b = 1-a

16. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! 0,3 1 = 0,7 0 Durch das Herumexperimentieren mit Derive kann man verschiedene Dinge entdecken, die mathematisch interessant sind: Die Verteilung scheint sich mit fortschreitender Stufenzahl einer Grenzverteilung anzunähern. Die Grenzverteilung ist stationär, d.h. Multiplikation mit der Übergangsmatrix verändert sie nicht mehr Auf zu Derive!! Diese(s) Gleichung(ssystem) lösen wir mit Derive a a Es muss also gelten: 1-a 1-a

17. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) A B Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! A B A B In einer Fußgängerzone gibt es zwei Eisdielen, die sich um die Gunst der Kunden streiten. Durch die Auswahl neuer Rezepturen kommt es zu folgenden Kundenwanderungen: 80 % der Kunden, die heute bei A kaufen, kaufen auch am nächsten Tag bei A, während 70 % der Kunden von B am nächsten Tag bei A einkaufen. Wir vertiefen die bisherigen Erkenntnisse anhand einer ‚typischen‘ Aufgabe: a)Zeichne einen gerichteten Graphen und gibt die Übergangsmatrix für einen Wechsel an. 0,7 0,3 0,8 0,2 0,8 0,7 0,2 0,3

18. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! 0,8 0,7 0,6 0,2 0,3 0,4 In einer Fußgängerzone gibt es zwei Eisdielen, die sich um die Gunst der Kunden streiten. Durch die Auswahl neuer Rezepturen kommt es zu folgenden Kundenwanderungen: 80 % der Kunden, die heute bei A kaufen, kaufen auch am nächsten Tag bei A, während 70 % der Kunden von B am nächsten Tag bei A einkaufen. b)Bestimme den Anteil der Kunden für die beiden Verkaufsstellen A und B nach einem Tag bzw. nach drei Tagen, wenn man davon ausgehen kann, dass die Übergangswahrscheinlichkeiten konstant bleiben und am Anfang bei A 60 %, bei B 40 % ihr Eis kauften. Anteile nach einem Tag: Anteile nach drei Tagen: Übergangs- matrix Ausgangs-verteilung 3 = Auf zu Derive!!

19. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! 0,8 0,7 0,6 0,2 0,3 0,4 In einer Fußgängerzone gibt es zwei Eisdielen, die sich um die Gunst der Kunden streiten. Durch die Auswahl neuer Rezepturen kommt es zu folgenden Kundenwanderungen: 80 % der Kunden, die heute bei A kaufen, kaufen auch am nächsten Tag bei A, während 70 % der Kunden von B am nächsten Tag bei A einkaufen. c)Wie wird die durchschnittliche Verteilung der Kunden nach sehr vielen Tagen sein, wenn man von der Konstanz der Übergangswahrscheinlichkeiten ausgeht ? Gesucht ist also : n Idee: Test mit Derive für großes n !!

20. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Ansatz daher: Gesucht ist ein Vektor , für den gilt: Auf zu Derive!! 0,8 0,7 = a a 0,2 0,3 b b In einer Fußgängerzone gibt es zwei Eisdielen, die sich um die Gunst der Kunden streiten. Durch die Auswahl neuer Rezepturen kommt es zu folgenden Kundenwanderungen: 80 % der Kunden, die heute bei A kaufen, kaufen auch am nächsten Tag bei A, während 70 % der Kunden von B am nächsten Tag bei A einkaufen. c)Wie wird die durchschnittliche Verteilung der Kunden nach sehr vielen Tagen sein, wenn man von der Konstanz der Übergangswahrscheinlichkeiten ausgeht ? Aber: Geht es auch rechnerisch ?? Die Grenzverteilung stimmt einem Satz zufolge mit der stationären Verteilung überein !! Auf zu Derive!!

21. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) 0,4 Begriffe/ Definitionen Sätze 0,6 Auf zu Derive!! d)Wie groß müsste die Übergangswahrscheinlichkeit p' = P(B A) für die Wechsler von B nach A nach einem Tag sein, wenn auch auf lange Sicht 40 % der Kunden bei A einkaufen sollen und das Wechselverhalten der Kunden von A gleich bleibt. A B A 0,8 B 0,2 In einer Fußgängerzone gibt es zwei Eisdielen, die sich um die Gunst der Kunden streiten. Durch die Auswahl neuer Rezepturen kommt es zu folgenden Kundenwanderungen: 80 % der Kunden, die heute bei A kaufen, kaufen auch am nächsten Tag bei A, während 70 % der Kunden von B am nächsten Tag bei A einkaufen. Überlegung: Gesucht: Wechselwahrscheinlich- keit von B zu A Folgende Verteilung soll stationär sein. ? a 1-a

22. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) 0,4 0,4 Begriffe/ Definitionen Sätze 0,6 0,6 Auf zu Derive!! d)Wie groß müsste die Übergangswahrscheinlichkeit p' = P(B A) für die Wechsler von B nach A nach einem Tag sein, wenn auch auf lange Sicht 40 % der Kunden bei A einkaufen sollen und das Wechselverhalten der Kunden von A gleich bleibt. In einer Fußgängerzone gibt es zwei Eisdielen, die sich um die Gunst der Kunden streiten. Durch die Auswahl neuer Rezepturen kommt es zu folgenden Kundenwanderungen: 80 % der Kunden, die heute bei A kaufen, kaufen auch am nächsten Tag bei A, während 70 % der Kunden von B am nächsten Tag bei A einkaufen. Demnach muss gelten: 0,8 a = Auf zu Derive!! 0,2 1-a

23. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! 0,7776 0,76 0,2224 0,24 Lösungen: a) s.o. b) c) a= 7/9; b= 2/9 d) a= 2/15; b= 13/15

24. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! Grenzvektor: Den Vektor nennt man Grenzvektor Stationäre Verteilung: Eine Verteilung (ein Vektor) heißt stationär, wenn gilt Begriffe/ Definitionen: Definition: Markoff - Kette Gegeben sei ein stochastischer Prozess (bei uns z.B. die Teilnahmewahrscheinlichkeit für alle zukünftigen Rennen) X = Xn (n aus IN) wobei Xn jeweils eine Zufallsvariable über einem endlichen Zustandsraum Z = {x1,....xk} ist. Dieser stochastische Prozess heißt Markoff – Kette, wenn die Wahrscheinlichkeiten P(Xn+1=xj) für alle j = 1,...,k und alle n aus IN nur vom Zustand zum Zeitpunkt n abhängt. Anmerkung: Bernoullie – Versuch: Hier ist jede Stufe eines mehrstufigen Zufallsversuches unabhängig von einer anderen (z.B. bei fünfmaligem Münzwurf), während bei Markoffketten die Wahrscheinlichkeit vom unmittelbar vorhergegangenen Zustand abhängt (jedoch nicht von weiter zurückliegenden). Definition: Stochastischer Vektor/ Stochastische Matrix Eine Matrix/ ein Vektor heißt stochastisch, wenn die Spaltensumme jeweils 1 beträgt. Grenzmatrix: Existiert die Matrix G = einer Matrix A, so nennt man sie Grenzmatrix (Anm.: Die Grenzmatrix existiert, wenn die Elemente der Übergangsmatrix positiv sind).

25. Markoff Ketten Das Palio von Siena Darstellung Vektorschreibweise Darstellung der Übergänge Übergänge zwischen den Rennen Übergänge: Matrix – Vektor Schreibweise Beispielaufgabe a) Beispielaufgabe b) Beispielaufgabe c) Beispielaufgabe d) Begriffe/ Definitionen Sätze Auf zu Derive!! Sätze Existiert eine Grenzmatrix, so gibt es genau eine stationäre Verteilung (Fixvektor) und diese ist gleich der Grenzverteilung Wenn eine Grenzmatrix existiert, konvergiert die Folge der Zustandsvektoren zu einem eindeutig bestimmten Grenzvektor unabhängig von der Anfangsverteilung Die Grenzmatrix besteht aus identischen Spaltenvektoren, bzw. alle Zeilen bestehen aus den jeweils gleichen Zahlen.