Het abc van meetkunde D

1. Het abc van meetkunde D 13 juni 2007 - Dé Start Aad Goddijn (FIsme; JCU)

2. Programma • Vooraf: Van Twee Kwadraten: El Lissitzky • Vlakke Meetkunde VWO. Waarom nog steeds? • Meetkunde, hoe? Met Synthese en Analyse • Analytische Meetkunde met coördinaten Réné Descartes (passim) • Analytische Meetkunde, waar-wanneer-wat • Algebra 2007; met hand, hoofd en hart • De diepte van de Ellips: maken, raken, snijden, Pringle-stelling

3. Vlakke Meetkunde VWO Waarom nog?

4. Twee vierkanten, SE vwo 5; 15 mei jl.

5. Kristel (2007): elk stap heeft een precies argument

6. Jeroen’s reactie op interview-vraag in Se3: tegenstelling tot meten met de computer..

7. Meetkunde, Waarom?Dijksterhuis, 1924 . (Euclides I, 1; aanval op T. Ehrenfest) ….. een feit is echter, dat de opgroeiende jeugd bij kennismaking met de wiskunde, welker grondslagen voor haar volkomen evident zijn, zich plotseling verplaatst vindt in een spheer, waar vage beweringen, slordige uitdrukkingen en onbegrepen woorden niet langer worden geduld, waar iedere zonde tegen de eerlijkheid van het denken zich zelf onmiddellijk verraadt …..

8. Dijksterhuis wil opvoeden, en hoe. De kennismaking met deze wereld nu is voor de ontwikkeling van het intellect een gebeurtenis van het hoogste belang (het wordt, meen ik, al sinds Plato zoo beschouwd) en men mag niets toelaten, dat de zuiverheid van de atmospheer, waarin daar wordt geademd, de hechtheid van den opbouw, die daar wordt voltrokken, zou kunnen schaden. En die schade zou worden toegebracht, wanneer de bekorende lokstem van Mevrouw Ehrenfest met haar verleidelijk beroep op de intuïtie gehoor mocht vinden.

10. Noor V. (VWO5) reageert op de interviewvraag in Se3: Dijksterhuis, en méér

11. Anne-Lotte, Jesse (Begin van PO mtk 2006)Gaat het echt om toepassingen? Je staat bij een kerktoren en je wilt weten hoe laat het is. Als je naar boven kijkt is dit echter moeilijk te zien: de kijkhoek is veel te klein. Maar als je heel ver van de kerktoren zou staan zou je de tijd ook niet af kunnen lezen: ook dan is de kijkhoek te klein (en de afstand natuurlijk te groot). Maar waar kun je nou het beste gaan staan om de tijd goed af te kunnen lezen? Tegen dit soort problemen lopen wij in het dagelijks leven vaak aan.

12. Vlijt, Visie, Verificatie. (Frans Oort, 1968) Janneke (1999): de zalige flits van het inzicht

13. Waarom (vlakke) meetkunde in VWO? • Leren denken? (Dijksterhuis, Tatjana Ehrenfest, Noor : Ja) • Een humanistisch vomingsideaal. • Transfer of training echter nooit aangetoond! • Maar geloof en handel graag zo. • Praktisch nut? (Anne-Lotte: Nee, Noor +veel ll. : Ja) • Nauwelijks, bij bewijzen met hoeken en bogen • Intuitieve opbouw daarvoor zeker nodig • Dat eist andere methoden (GPS) • Diepe kennismaken met deductieve opbouw van wiskunde? (Jeroen, Kristel, A. G.) • Meetkunde als voorbeeld daarvan; eigen activiteit daarin. • Nuttig frictie tussen intuitie en logisch inzicht • Kick van ‘Het klopt!’ (Janneke)

14. Toets?Scherven inpassen! • Leerling vult slechts details in al aanwezig bewijs • CE Wis B12: ‘n Goed examen. Ik doe t niet beter in dat Se3.

15. Bezwaren met interruptie van de voorstanders • Het begrijpen van een meetkundige redenering lukt wel, maar het vinden is vaak lastig. (Vandaar die kick) • Het mist een algemene methode van aanpak. (Niet helemaal waar, maar zo is het wel vaak voor de ll.) • Vlakke meetkunde is een eiland. (Het is een bron) • De inhoud van het vak is niet relevant voor doorstroming naar WO. (Erg pragmatisch. Maar Vwo is AVO. En heeft ook algemene doelen.) WAT NU ??

16. Meetkunde HOE? Met Synthese en Analyse

17. Probleem en Methode • (E-mail van collega): Mijn dochter Karin vroeg mij: "Neem een gelijkzijdige driehoek met daarin drie even grote cirkels (die elkaar en de driehoek raken, dus maximale grootte). Hoe groot is dan de straal van het kleine cirkeltje dat in het midden past?"

18. Oplossen in Vier stappen Stap 0: Doe alsof het opgelost is! Maak er een schets van. Stap 1: Geef lijnstukken namen.zijde van de driehoek: astraal van de blauwe cirkels: xstraal van de rode cirkel: y Stap 2: Gebruik meetkundige verbanden om vergelijkingen op te stellen:Groene driehoek: x : (a/2 - x) = 1 : (3)Oranje driehoek: (x + y) : y= 2 : (3) Stap 3: Los op met algebra..............y : a = 1 :(18 + 10 (3)) (  35.32)

19. Pappos: hoe een (meetkundig) probleem op te lossen • Synthese: bouw de oplossing (constructie, bewijs) op vanuit gegevens • Analyse: neem aan dat de oplossing er is. Onderzoek welke eigenschappen die moet hebben; ga zo terug naar de gegevens • Omkering van de analyse geeft de synthese

20. Descartes1596-1650 Cogito, ergo sum. Alleen van het denken zijn we zeker.

21. 0. Neem aan dat t opgelost is 1. namen bekenden en onbekenden 2. Ver-gelijkingen opstellen Descartes: de algebraïsche vierslag La Géométrie 4. algebra

22. Stap 2: vergelijkingen opstellen • Descartes zegt: Voor het opstellen van de vergelijkingen zijn alleen nodig: • Gebruik van Verhoudingen • De stelling van Pythagoras • Dat valt mee!

23. Loopt het uit in algebra?? • Descartes: Alle onbekenden worden in één laatste uitgedrukt. • Slotfase: • Descartes’ echte doel: hogere graads figuren onderzoeken om constructie-problemen op te lossen (waaronder de 6e graads-vergelijking). • (H. Bos: Redefining Geometrical Exactness)

24. Descartes’ filosofie achter LaGéométrie uit 1637 • elk vraagstuk dat over grootheden gaat, kan worden teruggebracht tot een meetkundig probleem; • elk meetkundig probleem kan worden teruggebracht tot een algebraïsch probleem; • elk algebraïsch probleem kan worden teruggebracht tot het oplossen van een of meer vergelijkingen met één of meer onbekenden. LaGéométrieis slechts appendix III bij ‘Discours de le Méthode’

25. Analytische meetkunde met coördinaten

26. verder met vierkanten!

28. Schateiland • Startprobleem of toepassing coordinaten • Loodrechte lijnen, middens, • Gebruik van coordinaten. • Hoe deed Descartes het?

29. Twee uitverkoren lijnen

30. Descartes’ coordinaten • Curve beschreven door mechaniek • x en y zijn afstandentot twee vaste lijnen • Het abc van Descartes: • x, y, z: onbekenden • a, b, c: bekenden

31. La Géométrie • Dover, tweetalig, $2.89 (2nd hand, amazon)) • Terzijde: uitkomst vermenig-vuldiging is lijnstuk • Voorplaat: 6e-graads vergelijking. 1

32. De hoofdzaken • Algebraïseren van meetkundige figuur • Positionering punten door afstanden (gericht) tot twee vaste lijnen • Verbanden in de figuur in vergelijkingen uitdrukken • Equivalentie van vergelijking en figuur • Meetkundige plaatsen, ‘algebraïsch’. • Als verzameling? (….. vergelijking(en)) • Als baan? (….. Parametervoorstelling) • ALGEBRA gebruiken.

33. Wanneer Anal. Mtk.? In klas 2!

34. Wanneer? CE, B12:2007

35. Analytische meetkunde in PW; kusgetallen in 4D

36. Wanneer? 80 sbu! (1) • Wat is de essentie van de analytische methode ? • Coördinaten, equivalentie vergelijking en figuur • Lijnen in het vlak (diverse methoden) • Vergelijkingen bouwen: cirkels en kegelsneden vanuit afstandskenmerken. • Een vergelijking zegt ja-of-nee • Parametrisering • Produceert de punten van een figuur

37. Wanneer? 80 sbu (2) • Ruimte • Enkele elementaire objecten • Omwentelingsoppervlakken • Gebruik van verkennende software • Raaklijnen • Algebraïsch en via diff. rekening • Experimenteren en onderzoeken met ICT • Toepassingen: • Klassiek en modern

38. Analytische Meetkunde Register bij de O o.a.: • Ontwondenen en ontwindenden • Osculerende kegelsnedenbundel • Orthogonale cirkelbundel • Orthoptische cirkel • -congruente groep (1918)

39. Inside this book • Enorme diepgang bij 2e-graads vergelijkingen • Voortdurend interactie synthetisch/analytisch • Veel andere dwarsverbanden: hyperbolische meetkunde, complexe getallen • Algebra: doe dat zelf, maar..

40. Alleen het plan van uitvoer wordt verteld. Barrau: Twee delen Nu voor 22 Euro! Via Boekenvondst.nl

42. Algebra Anno 2007

43. Het vierstappenplan in de klas van nu .. Stap 0: Doe alsof het opgelost is! Maak er een schets van. Stap 1: Geef lijnstukken namen.zijde van de driehoek: astraal van de blauwe cirkels: xstraal van de rode cirkel: y Stap 2: Gebruik meetkundige verbanden om vergelijkingen op te stellen:Groene driehoek: x : (a/2 - x) = 1 : (3)Oranje driehoek: (x + y) : y= 2 : (3) Stap 3: Los op met algebra..............y : a = 1 :(18 + 10 (3)) (  35.32)

44. En dit dan …. a =9 b= 2 c =1

45. Basisvaardigheden algebra?? • Zijn vaak wel aanwezig, maar ‘traag en kwetsbaar’. • Goede basisvaardigheden, dat is onvoldoende basis voor AM. Méér is nodig. • Vaak ontbreekt: • een globaal plan voor de algebraïsche uitvoering • betekenisgeving en reflectie tijdens het uitvoerend werk

46. Voorbeeld 1: Loodrechte stand en Thales gebruiken om vergelijking te bouwen • Remco heeft al: “Wat moet ik nu??”

47. Voorbeeld 2: meetkundige rij • Observaties: (5 VWO) • Correct rekenwerk: steeds 1 keer () en dan –x keer () • Patroon in uitkomst wordt wel herkend • Voorgaande resultaten worden niet gebruikt.

48. Voorbeeld 3: cirkelvergelijking opstellen Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt (4,1) die door (6,2) gaat. A: Waarom doe je dat? [dwz. stap 3 en verder] • S: “Ik dacht dat ‘t moest” A: Welke regel vertelt het best dat het een cirkel is? Commentaar: Sturing van de algebra vanuit betekenis is hier beperkt. Met de haakjes mee wordt de wiskunde verdreven.

49. Vergelijking • Cirkelvergelijking ???? “Waar denk jij aan?” • Oplossen! En jij? “Een vergelijking zegt Ja of Nee.” • Een mailvraag (tijdelijk afwezige leerling) n.a.v. de cirkelvergelijking Overigens: ik heb nog nooit vierkantsvergelijkingen gehad, misschien is dat ook een deel van het probleem.

50. Voorbeeld 3: toetsvraag cirkel van Apollonius • Er zijn punten in het vlak die drie keer zo ver van A(-4,0) liggen dan van B(4,0). • Bijvoorbeeld: P(2,0) en Q(8,0) en R(5,3) • .. • .. • Bepaal een vergelijking voor de verzameling punten. • [13/6/07: het is een cirkel]