Agentes que razonan de forma Lógica

1. Agentes que razonan de forma Lógica M.C. Juan Carlos Olivares Rojas jolivares@uvaq.edu.mx juancarlosolivares@hotmail.com @jcolivares http://antares.itmorelia.edu.mx/~jcolivar Abril, 2010

2. Outline Representación del Conocimiento Lógica de Proposiciones Lógica de Predicados Deducción Automática

3. Outline Sistemas de Deducción Sistemas de Reacción Encadenamiento Progresivo y Regresivo Modelamiento Cognitivo Modelos para la Resolución de Problemas

4. Representación del Conocimiento El conocimiento debe estar expresado en un lenguaje simbólico para que pueda ser reconocido por una computadora o ‘agente’. Los agentes pueden consultar a la base de conocimientos para resolver problema o bien agregar nuevos conocimientos. Los agentes pueden obtener esta nueva información a través de la inferencia lógica.

5. Representación del Conocimiento Inicialmente el agente cuenta con unos conocimientos básicos llamados antecedentes o hechos. Se cuenta con una serie de reglas que definen la forma de deducir conocimiento. El agente pregunta a estas reglas y hechos para poder razonar que opción le conviene más ejecutar.

6. El Juejo del Wumpus Percepciones: (4 sensores) {Hedor, Brisa, Resplandor, Nada} El agente no percibe su situación Acciones: Ir hacia adelante, girar izda/dcha 90º Agarrar (estando en la casillla) Disparar (sólo una flecha) Objetivo: salir con el oro lo antes posible 1000 ptos: salir con el oro 1 pto penaliza cada acción. Penaliz. Máxima: 10000 ptos

7. Lógica de Proposiciones La sintaxis nos indica cuáles son los enunciados que se pueden construir. Los enunciados atómicos se componen de una sola proposición. Una proposición tiene un solo valor de verdad: Verdadero o Falso.

8. Lógica de Proposiciones • Los enunciados complejos se forman a partir de enunciados más simples y el empleo de conectivos lógicos. • Los Conectivos Lógicos son cinco: • NO (~) también conocida como Negación. • Y (^) también conocida como Conjunción. • O (v) también conocida como Disyunción. • Implicación (⇒) también conocida como Condicional. • Sí y sólo si (⇔) también conocida como Bicondicional.

9. Lógica de Proposiciones Las expresiones que contienen conectivos lógicos se interpretan siguiendo el orden de precedencia que corresponde al mostrado en la tabla anterior. Por ejemplo: ~P ^Q v R ⇒ S equivale a: (~(P) ^(Q v R)) ⇒ S Además, se emplean los paréntesis para evitar ambigüedades.

10. Lógica de Proposiciones La semántica nos define las reglas que permiten determinar el valor de verdad de un enunciado respecto de algún modelo. Con dos símbolos proposicionales existen 4 modelos posibles para cada uno de los 5 conectivos lógicos, ¿Cómo quedarían las tablas de verdad?

11. Lógica en Wumpus • Regresemos al mundo del Wumpus para visualizar la construcción de la base de conocimiento. • Notación: • Bij indica que hay brisa en la celda (i,j). • Pij indica que hay un pozo en la celda (i,j). • A partir de un conocimiento inicial: • E1: ~P11

12. Lógica en Wumpus Cuando hay brisa en una casilla implica que en una casilla contigua hay un pozo: E2: B11 ⇔ P12 v P21 Ahora agregamos la primera percepción, no se percibe brisa en la celda (1,1): E3: ~B11 ¿Cómo relacionar los enunciados 2 y 3 para obtener nuevo conocimiento?

13. Lógica de Proposiciones Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son todos verdaderos, a esa proposición compuesta se le llama Tautología. Como ejemplo tenemos a: (p v ~p) Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son todos falsos, a esa proposición compuesta se le llama Contradicción. Como ejemplo tenemos a: (p ^ ~p)

14. Lógica de Proposiciones Básicamente la inferencia es la implementación de una implicación. Los enunciados conocidos como verdaderos forman parte del antecedente. El consecuente es un nuevo enunciado cuya veracidad se desprende de los anteriores. Simbólicamente se representa así: antecedente :: consecuente

15. Lógica de Proposiciones La equivalencia lógica se presenta cuando dos enunciados α y β tienen los mismos valores de verdad para el mismo conjunto de modelos. A continuación mostramos una tabla con las equivalencias lógicas más comunes: Doble Negación: ~( ~p ) ≡ p

16. Lógica de Proposiciones Leyes Conmutativas ( p v q ) ≡ ( q v p ) ( p ^ q ) ≡ ( q ^ p ) Leyes Asociativas ( p v q ) v r ≡ p v ( q v r ) ( p ^ q ) ^ r ≡ p ^ ( q ^ r )

17. Lógica de Proposiciones Leyes Distributivas p v ( q ^ r ) ≡ ( p v q ) ^ ( p v r ) p ^ ( q v r ) ≡ ( p ^ q ) v ( p ^ r ) Leyes de Idempotencia ( p v p ) ≡ p ( p ^ p ) ≡ p

18. Lógica de Proposiciones Leyes de DeMorgan ~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q ~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q Leyes de Identidad ( p v ~p ) ≡ t ( p ^ ~p ) ≡ f ( p v f ) ≡ p ( p v t ) ≡ t

19. Lógica de Proposiciones Leyes de Identidad ( p v f ) ≡ f ( p v t ) ≡ p Leyes de la Implicación (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ^ (q ⇒ p) (p ⇒ q) ≡ (~q ⇒ ~p) (q ⇒ p) ≡ (~p ⇒ ~q) (p ⇒ q) ≡ (~p v q)

20. Lógica de Proposiciones Reglas de Inferencias La siguiente implicación lógica se llama Modus Ponens y corresponde a la siguiente inferencia: p ^ ( p ⇒ q ) :: q Ejemplo: p: Estudio p ⇒ q: Si estudio aprobaré Matemáticas q: Entonces, Aprobaré Matemáticas

21. Lógica de Proposiciones La siguiente implicación lógica se llama Modus Tollens y corresponde a la siguiente inferencia: ( p ⇒ q ) ^ ~q :: ~p Ejemplo: p ⇒ q: Si estudio apruebo Matemáticas ~q: No aprobé Matemáticas ~p: Entonces, no Estudié

22. Lógica de Proposiciones La siguiente implicación lógica se llama Silogismo Hipotético y corresponde a la siguiente inferencia: ( p ⇒ q ) ^ ( q ⇒ r ) :: ( p ⇒ r ) Ejemplo: p ⇒ q: Si estudio apruebo Matemáticas q ⇒ r: Si apruebo Matemáticas me regalan un auto p ⇒ r: Entonces, Si estudio me regalan un auto

23. Lógica de Proposiciones La siguiente implicación lógica se llama Silogismo Disyuntivo y corresponde a la siguiente inferencia: ( p v q ) ^ ~p :: q Ejemplo: p v q: Hay que estudiar Francés o Alemán ~p: No estudio Francés q: Entonces, Estudio Alemán

24. Lógica de Proposiciones La simplificación conjuntiva consiste en eliminar uno de los términos de una conjunción: ( p ^ q ) :: q o también: ( p ^ q ) :: p Por el otro lado, la amplificación disyuntiva permite agregar un nuevo término: p :: ( p v q )

25. Lógica en Wumpus Se tiene que: E2: B11 ⇔ P12 v P21 E3: ~ B11 Por lo que tenemos el siguiente razonamiento: E4: (B11 ⇒ (P12 v P21)) ^ ((P12 v P21) ⇒ B11) E5: ((P12 v P21) ⇒ B11) E6: ~B11 ⇒ ~(P12 v P21) E7: ~(P12 v P21) E8: ~P12 ^ ~P21

26. Lógica en Wumpus Del razonamiento anterior concluimos que no hay un pozo en la casilla (1,2) ni en la (2,1). Ahora veamos el razonamiento cuando el agente llega a la celda (1,2). E9: ~B12 E10: B12 ⇔ P11 v P13 v P22 E12: ~P22

27. Lógica en Wumpus Concluimos que no hay pozo ni en la casilla (1,3) ni en la (2,2). E11: ~P13 E12: ~P22 Pero cuando el agente visitó la celda (2,1) percibió una brisa: E13: B21 E14: B21 ⇔ P11 v P31 v P22

28. Lógica en Wumpus Dado que ya verificamos que no hay pozo en las celdas (1,1) y (2,2), resulta evidente la conclusión que: E15: P31 Es conveniente que nuestra base de conocimiento esté basada solamente en conjunciones y disyunciones.

29. Lógica Proposicional Cualquier enunciado compuesto puede ser transformado a uno equivalente que esté en la FNC La Forma Normal Conjuntiva es la conjunción de n disyunciones de k elementos: ( p11 v … v p1k ) ^ … ^ ( pn1 v … v pnk )

30. Lógica Proposicional A continuación se describe un procedimiento para convertir a nuestra FNC: Eliminar ⇔ usando la equivalencia: (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ^ (q ⇒ p) Eliminar ⇒ usando la equivalencia: (p ⇒ q) ≡ (~p v q)

31. Lógica Proposicional Simplificar ~ usando las equivalencias: ~( ~p ) ≡ p ~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q ~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q Finalmente, aplicar la ley distributiva donde sea necesario. p v ( q ^ r ) ≡ ( p v q ) ^ ( p v r )

32. Lógica Proposicional E2: B11 ⇔ (P12 v P21) (B11 ⇒ (P12 v P21)) ^ ((P12 v P21) ⇒ B11 ) (~B11 v P12 v P21) ^ (~(P12 v P21) v B11 ) (~B11 v P12 v P21) ^ ((~P12 ^ ~P21) v B11 ) (~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (~P21 v B11)

33. Lógica Proposicional Para demostrar que una implicación BC :: α es válida, se utiliza el método de reducción al absurdo. Esto es, probar que su negación: BC ^ ~α es una contradicción. Para ello se lleva a la FNC y luego se prueba que es equivalente a una cláusula vacía.

34. Lógica Proposicional Probar que: E2 ^ E4 :: ~P12. (B11 ⇔ (P12 - P21)) ^ ~B11 :: ~P12 Se convierte a FNC: (~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (¿P21 v B11) ^ ~B11 :: ~P12

35. Lógica Proposicional Y para probar por reducción al absurdo, tenemos la negación: (~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (~P21 v B11) ^ ~B11 ^ P12 El proceso de simplificación funciona como sigue: Si tomamos los primeros dos paréntesis, observamos que contienen a: ~B11 y B11, respectivamente.

36. Lógica Proposicional Como no pueden ser ambos verdaderos simultáneamente, entonces, o (P12 v P21) o bien (~P12 ) son verdaderos, lo que se reduce a la siguiente expresión: (P12 v P21 v ~P12) Como (P12 v ~P12 ) es una tautología, la expresión anterior se reduce a: (P21)

37. Lógica Proposicional Similarmente, los dos paréntesis siguientes, también contienen a: ~B11 y B11, por lo que la expresión simplificada queda: (~P21) Como ambas no pueden ser verdaderas, la conjunción resulta en una expresión nula.

38. Ejercicios ( p ⇒ q ) ^ ( q ⇒ r ) p ^ ( p ⇒ q ) ((p ^ q) ⇔ (p v ~q)) ((~(p ⇒ q) ^ r ) v ~(p ⇔ ~q))

39. Lógica de Predicados Hay que aprovechar la característica declarativa y la composicionalidad de la lógica proposicional. Para ello definimos dos tipos de elementos: Los objetos (Agente, Flecha, Wumpus, Pozo) Las relaciones entre ellos, generalmente vinculadas por un verbo. El Agente lanzó una Flecha

40. Lógica de Predicados Las relaciones unitarias también se conocen como Propiedades y se vincula un objeto con una característica por el verbo SER: La Pelota es roja. Las Funciones son un tipo especial de relación que involucra un solo objeto y devuelven un valor: El padre de Uno más que

41. Lógica de Predicados • Uno sumado a Dos es igual a Tres • Objetos: Uno, Dos y Tres. • Relación: es igual a. • Función: sumado a; el resultado es un objeto, llamado: Uno sumado a Dos. • Las Casillas que rodean al Wumpus apestan. • Objetos: Casillas y Wumpus. • Relación: que rodean al. • Propiedad: apestan.

42. Lógica de Primer Orden La lógica de primer orden se construye sobre: Hechos, Objetos y Relaciones. La lógica de primer orden es universal porque puede expresar cualquier cosa que pueda ser programada. El dominio de un modelo es el conjunto de objetos que contiene.

43. Lógica de Primer Orden Una relación binaria es un conjunto de pares ordenados. Por ejemplo, si Hugo, Paco y Luis son hermanos se denota así: H = { (Hugo, Paco), (Hugo, Luis), (Paco, Luis), Por ejemplo, si Pepe es el padre de Hugo, Paco y Luis, tenemos entonces:

44. Lógica de Primer Orden Padre_de(Hugo) → Pepe Padre_de(Paco) → Pepe Padre_de(Luis) → Pepe Padre_de(Pepe)  ? A continuación se muestra la gramática de la LPO en BNF.

45. Lógica de Primer Orden Los símbolos se agrupan en tres clases: Símbolos de constante, que representan a los Objetos. Cada símbolo constante nombra a exactamente un objeto en el mundo, no todos los objetos necesitan tener nombres y algunos pueden tener más de un nombre. Ejemplo: Juan, Casa, Wumpus.

46. Lógica de Primer Orden Símbolos de predicado, que representan a las Relaciones. Ejemplos: Vecino, Hermano, … Símbolos de función. Ejemplos: Coseno, Padre_de, Oficina_de Los símbolos de predicado y de función tienen una Aridad que establece el número de argumentos.

47. Lógica de Primer Orden 〈Enunciado〉 → 〈Sentencia Atómica〉 | (〈Enunciado〉〈Conector〉〈Enunciado〉) | 〈Cuantificador〉〈Variable〉…〈Enunciado〉 | ~〈Sentencia〉 〈Sentencia Atómica〉 → 〈Predicado〉(〈Término〉…) | 〈Término〉 = 〈Término〉 〈Término〉 → 〈Función〉(〈Término〉…) | 〈Constante〉| 〈Variable〉

48. Lógica de Primer Orden 〈Conector〉 → . | - | ⇔ | ⇒ 〈Cuantificador〉 → ∀ | ∃ 〈Constante〉 → Martin | 59302 | Gato | X | … 〈Variable〉 → a | x | s | … 〈Predicado〉 → Previo | Gusta | Llueve | Falla | … 〈Función〉 → Padre_de | Cabello_de | Oficina_de | …

49. Lógica de Primer Orden • Un término es una expresión lógica que se refiere a un objeto. • Los símbolos constantes son términos • Los símbolos de función son términos. • Las variables también son términos. • Una sentencia atómica está formada por un símbolo predicado seguido por una lista entre paréntesis de términos.

50. Lógica de Primer Orden Por ejemplo: Hermano(Roberto,Juan) indica que Roberto es el hermano de Juan. Las sentencias atómicas pueden tener argumentos que son términos complejos: Casado(Padrede(Roberto),Madrede(Juan)) Se pueden usar conectores lógicos para construir sentencias más complejas.