1 / 35

Rješavanje jednadžbi 1

Rješavanje jednadžbi 1. Nakon prošle prezentacije kroz koju smo se upoznali s jednostavnim algebarskim izrazima, u ovoj prezentaciji krećemo na jednažbe. Možete uočiti da se redoslijed gradiva u ovim prezentacijama razlikuje od redoslijeda u većini udžbenika.

marlis
Download Presentation

Rješavanje jednadžbi 1

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Rješavanje jednadžbi1

  2. Nakon prošle prezentacije kroz koju smo se upoznali s jednostavnim algebarskim izrazima, u ovoj prezentaciji krećemo na jednažbe. Možete uočiti da se redoslijed gradiva u ovim prezentacijama razlikuje od redoslijeda u većini udžbenika. Naime, u udžbenicima se kreće od jednadžbi tipa a+x=b(npr.5+x=2), najvjerojatnije zbog toga što je zbrajanje osnovna računska operacija. Međutim, ovdje krećemo od jednadžbi oblika ax=b (npr. 5x=2 ). Razlog je taj što se gotovo sve jednadžbe (općenito) svode upravo na takve jednadžbe, pa u tom smislu možemo reći da su jednadžbe ax=b osnovne. Ako njih ne znamo riješiti, nećemo moći riješiti niti veliku većinu ostalih tipova jednadžbi. Dakle, prvo ćemo naučiti rješavati upravo njih, a onda krećemo na ostale tipove jednadžbi koji će se svoditi na ovaj. Iako mnogi postupci na prvi pogled izgledaju lagano, ne shvaćajte ih olako jer nakon prvih jednostavnijih primjera uvijek dolaze složeniji! A ako bilo koji tip jednadžbi ne svladate kako treba, imat ćete poteškoća sa jednadžbama koje slijede.

  3. Nekoliko uputa o kretanju kroz prezentaciju: Kroz prezentaciju prolazimo jednostavnim klikanjem mišem, pritiskanjem strelica na tipkovnici ili pritiskanjem razmaknice. Ako se želimo vratiti nekoliko koraka/efekata unazad (da bismo ponovo proučili nešto), trebamo koristiti strelicu prema gore ( ↑ ) ili prema lijevo ( ← ) na tipkovnici. (Probajte odmah!). Ako želite brzo proći kroz veći dio prezentacije (do određenog mjesta), dobar način je da stisnete razmaknicu na tipkovnici i držite je... Ako time odete predaleko, vratite se koristeći strelice prema gore ( ↑ ) ili prema lijevo ( ← ) na tipkovnici. (Probajte odmah!). Za izlazak iz prezentacije u bilo kojem trenutku, stisnite tipku Esc na tipkovnici. Ako se za vrijeme izvođenja prezentacije želite vratiti na početak prezentacije, stisnite tipku Home na tipkovnici. Nadam se da vam neće biti problem snaći se. Sretno! Pa krenimooooooooooo.................

  4. Općenito o jednadžbama

  5. Što su jednadžbe? Odgovor pronađimo promatrajući primjere jednadžbi: 3x = 27 5-y = 12 6a-4 = -a+23 2-6·(-3k+2) = 5-k 0.7 = 2x-5.3 ... Možeš li uočiti što je svim ovim primjerima zajedničko? Svaka jednadžba: - ima slovo (nepoznanicu) - ima znak jednakosti = - i lijevo i desno od znaka jednakosti ima izraz, algebarski ili brojevni .

  6. Što su jednadžbe? Odgovor pronađimo promatrajući primjere jednadžbi: 3x = 27 5-y = 12 6a-4 = -a+23 2-6·(-3k+2) = 5-k 0.7 = 2x-5.3 ... Jesu li ovo jednadžbe: a) 5 + 2 = 7 Ne, jer nema slova (nepoznanice). Ovo je jednakost! Ne, jer nedostaje izraz desno od znaka = . b) 8a + 3 - 7a = Da. c) x - 2x = -9x - 8 Ne jer nema znaka jednakosti, izraza desno od znaka jednakosti, a niti nepoznanice. d) 45 : 9 Da, ali ova jednadžba ima dvije nepoznanice. Takve ćemo jednadžbe razmatrati u sedmom razredu! e) x + y = 6 - 8x

  7. Što su jednadžbe? Odgovor pronađimo promatrajući primjere jednadžbi: 3x = 27 5-y = 12 6a-4 = -a+23 2-6·(-3k+2) = 5-k 0.7 = 2x-5.3 Lijevu stranu jednadžbe čini sve što se nalazi lijevo od znaka jednako =. Desnu stranu jednadžbe čini sve što se nalazi desno od znaka jednako =. Naučimo osnovne pojmove vezane uz jednadžbe... Što u sljedećim jednadžbama čini lijevu, a što desnu stranu: a) 5x = 7x - 4 - 2(-3+x) Zapamti! Lijeva i desna strana razdvojene su znakom jednakosti = i ne moraju biti jednako duge! lijeva strana desna strana b) 4 + x - 3x - 8 = 12 lijeva strana desna strana

  8. Što su jednadžbe? Odgovor pronađimo promatrajući primjere jednadžbi: 3x = 27 5-y = 12 6a-4 = -a+23 2-6·(-3k+2) = 5-k 0.7 = 2x-5.3 Riješiti jednadžbu znači pronaći broj kojeg možemo staviti (uvrstiti) u jednadžbu umjesto nepoznanice, pa da time lijeva strana zaista postane jednaka desnoj. Kako se broj uvrštava umjesto nepoznanice i kako rješavamo jednadžbe, naučit ćemo kroz sljedeće primjere. Krenimo na rješavanje jednadžbi! Krećemo od najjednostavnijih primjera, od jednadžbi oblika ax=b, npr. 3x=27 , 5x=40 , 10x=3 , -7x=28 , -4x=-30 ...

  9. Rješavanje jednadžbioblika ax=b

  10. Primjer 1.: 4 x = 20 Riješiti jednadžbu znači pronaći broj kojeg možemo uvrstiti ("staviti") u jednadžbu umjesto nepoznanice x, pa da nakon toga lijeva strana dobivene jednakosti zaista bude jednaka desnoj. Prije nego što razmislimo koji bi broj ovdje bio rješenje, razjasnimo koja se računska operacija podrazumijeva između 4 i x ! Time je ova jednadžba riješena! x = 5 Koju računsku operaciju ovdje podrazumijevamo? Množenje! Kad god između broja i slova nema simbola nijedne računske operacije, uvijek se podrazumijeva množenje. 4·x = 20 Dakle, pitamo se: 4·__ = 20 Koji broj možemo upisati na praznu crtu? 5 Naravno, broj 5! (jer je 4 · 5 = 20) Stoga je broj 5 rješenje naše jednadžbe! To kratko zapisujemo ovako...

  11. Primjer 1.: 4 x = 20 x = 5 Primjer 2.: 7 x = 56 x = 8 Pitamo se: 7·__ = 56 Koji broj možemo upisati na praznu crtu? 8 Kratko pišemo...

  12. Primjer 1.: 4 x = 20 x = 5 Primjer 2.: Ove su jednadžbe bile jednostavne - rješenja smo lako našli napamet! Krenimo sad na složenije... 7 x = 56 x = 8 Primjer 3.: 9 x = 63 Možeš li odmah reći rješenje? x = 7

  13. Primjer 4.: 8 x = 7 Pitamo se: 8·__ = 7 Koji broj možemo upisati na praznu crtu? Da bismo riješili jednadžbu, moramo naći koliki je x ! Dakle, cilj nam je na lijevoj strani jednadžbe dobiti sami x (bez onog broja 8) . Naravno, ovdje ne možemo napamet lako naći rješenje jer to rješenje očito nije prirodan broj (bit će razlomak). Stoga naučimo postupak koji će nam pomoći u ovakvim slučajevima... Što moramo napraviti sa8xda bismo dobilix? Trebamo podijeliti sa 8 ! A ako lijevu stranu jednadžbe dijelimo sa 8, onda i desnu stranu moramo podijeliti sa 8 (ako želimo da i dalje vrijedi jednakost)! Dakle, obje strane jednadžbe podijelimo sa 8! To zapisujemo pomoću kose crte, ovako...

  14. / :8 Primjer 4.: 8 x = 7 x = podijelimo sa 8, računamo 8x:8 , a to je ___ . x Kad lijevu stranu jednadžbe Kosa crta označava da ono što piše iza nje treba napraviti s obje strane jednadžbe!!! Dakle, obje strane jednadžbe ovdje trebamo podijeliti sa 8.

  15. / :8 __ __ __ __ __ __ 7 7 7 7 7 7 8 1 8 8 8 8 Provjerimo je li razlomak zaista rješenje! Uvrstimo ga u lijevu stranu jednadžbe umjesto x : Jedino još trebamo uočiti da se dobiveno rješenje dalje ne može srediti, tj. ne može se niti skratiti niti pretvoriti u mješoviti broj. 8· = (A ako bi se to moglo, onda bismo još i to trebali napraviti.) Primjer 4.: 8 x = 7 x = Time je ova jednadžba riješena! podijelimo sa 8. Računamo 7:8 , a to je . Sad desnu stranu jednadžbe 1 = 7 1 Dobili smo broj sa desne strane jednadžbe! Dakle, naše rješenje zadovoljava zadanu jednadžbu!

  16. / / :8 :5 __ 7 8 Primjer 4.: 8 x = 7 x = Primjer 5.: 5 x = 17 Ovdje se opet trebamo riješiti broja koji je uz x (na lijevoj strani jednadžbe)! U ovom primjeru to je broj 5 , pa obje strane jednadžbe dijelimo sa 5. x = podijelimo sa 5, računamo 5x:5 , a to je ___ . x Kad lijevu stranu jednadžbe Dakle, uvijek dijelimo s onim brojem koji je uz x !

  17. / / :5 :8 __ 7 8 __ __ 17 17 5 5 Primjer 4.: 8 x = 7 x = Primjer 5.: 5 x = 17 x = podijelimo sa 5. Računamo 17:5 , a to je . Sad desnu stranu jednadžbe

  18. / / :8 :5 __ 7 8 __ 17 5 Primjer 4.: 8 x = 7 x = Primjer 5.: 5 x = 17 x = Ovdje se rješenje može i srediti! Uočavaš li što možemo učiniti s njim? x = Možemo ga pretvoriti u mješoviti broj! (jer je brojnik veći od nazivnika)

  19. / / :8 :5 __ 7 8 __ 17 5 __ 3 Primjer 4.: 8 x = 7 x = Primjer 5.: 5 x = 17 x = Računamo 17:5 ... Sad računamo ostatak kod dijeljenja 17:5 . Tj. računamo: 3·5 = 15 , od15do 17 je... 2 x = Nazivnik 5 prepišemo... Time je ova jednadžba riješena! 5

  20. / :35 __ __ 2 2 5 5 __ 14 35 Dakle, je rješenje jednadžbe. Primjer 6.: 35 x = 14 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! 2 x = Što dobijemo kad desnu stranu podijelimo sa 35 ? Što dobijemo kad lijevu stranu podijelimo sa 35 ? Možemo li dobiveno rješenje srediti? 5 Možemo ga skratiti! x = Sa kojim brojem? Možemo li novodobiveno rješenje još srediti? Sa 7 ! Ne možemo! Dakle, i brojnik i nazivnik podijelimo sa 7, te zapišemo rezultate koje tako dobijemo...

  21. / / :8 :35 __ 2 5 __ 14 35 __ 38 8 __ Sad još skratimo ... 4 __ __ 6 3 4 8 4 Primjer 6.: 35 x = 14 2 x = 5 x = Primjer 7.: 8 x = 38 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! Što dobijemo kad lijevu stranu podijelimo sa 8 ? Možemo li dobiveno rješenje srediti? Što dobijemo kad desnu stranu podijelimo sa 8 ? x = Možemo ga i skratiti i pretvoriti u mješoviti broj! 3 6 x = Svejedno je što ćemo od toga prvo napraviti. Krenimo sa pretvaranjem u mješoviti broj... 8 4 x =

  22. / :9 Primjer 8.: 9 x = 54 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! x = 6 Što dobijemo kad lijevu stranu podijelimo sa 9 ? Što dobijemo kad desnu stranu podijelimo sa 9 ? Time je ova jednadžba riješena! Ovu smo jednadžbu mogli riješiti i napamet, pitajući se: 9·__ = 54 Koji broj možemo upisati na praznu crtu? 6 Oba postupka vode do istog rješenja!

  23. Rješenja: • x = 5 • x = • x = • x = • x = 8 • x = • x = • x = __ __ 2 3 6 3 8 __ 1 10 2 __ 7 8 __ 1 8 2 __ 1 3 U vezi rješavanja ovog tipa jednadžbi preostali su nam još neki detalji za razjasniti, no prije toga provjerimo jesi li sve dosad dobro razumio. Dakle, sad uzmi papir, prepiši na njega sljedeće zadatke i samostalno ih riješi! Tek nakon toga kreni dalje sa prezentacijom. U njoj će ti se prvo prikazati rješenja tih zadataka (da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio), a nakon toga krećemo na razjašnjavanje još nekih detalja... 1.) Riješi sljedeće jednadžbe: • 9 x = 45 • 27 x = 18 • 8 x = 51 • 4 x = 42 • 6 x = 48 • 56 x = 49 • 6 x = 51 • 3 x = 1

  24. Sad ćemo riješiti još nekoliko primjera u kojima se pojavljuju i negativni brojevi. Postupak rješavanja je potpuno isti kao i dosad, samo treba paziti i na predznake! (Česta je greška da se na njih zaboravi...)

  25. / :(-8) Primjer 9.: -8 x = 40 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! x = podijelimo sa -8, računamo -8x:(-8) , a to je ___ . x Kad lijevu stranu jednadžbe

  26. / :(-8) Primjer 9.: -8 x = 40 x = -5 Time je ova jednadžba riješena! podijelimo sa -8. Računamo 40:(-8) , a to je ___ . -5 Sad desnu stranu jednadžbe

  27. / / / :(-4) :(-8) :(-7) ___ -27 __ 4 -6 Primjer 9.: -8 x = 40 x = -5 Primjer 10.: -7 x = -28 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! x = 4 Time je ova jednadžba riješena! Što dobijemo kad lijevu stranu podijelimo sa -7 ? Što dobijemo kad desnu stranu podijelimo sa -7 ? Primjer 11.: -4 x = 27 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! x = (Minus se nikada ne piše u nazivniku, već uvijek u brojniku!) Možemo li dobiveno rješenje srediti? Što dobijemo kad lijevu stranu podijelimo sa -4 ? Što dobijemo kad desnu stranu podijelimo sa -4 ? Možemo ga pretvoriti u mješoviti broj! 3 x = 4

  28. Primjer 12.: -x = 3 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! No, ovdje je ispred x samo minus! Što to znači? Koji broj možemo zamisliti da piše ispred x ? Kad god ispred x ne piše nijedan broj, uvijek zamišljamo broj 1 , odnosno u ovom slučaju -1 (jer je ispred x minus)! Zapamtimo: x = 1 x -x = -1 x

  29. / :(-1) Primjer 12.: -x = 3 x = podijelimo sa -1, računamo -x:(-1) , a to je ___ . x Kad lijevu stranu jednadžbe Ovdje zapravo računamo: - x : (-1) = = -1 x : (-1) = = x

  30. / / :(-1) :(-1) Primjer 12.: -x = 3 x = -3 podijelimo sa -1. Računamo 3:(-1) , a to je ___ . -3 Sad desnu stranu jednadžbe Primjer 13.: -x = -8 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! x = 8 Što dobijemo kad lijevu stranu podijelimo sa -1 ? Time je ova jednadžba riješena! Što dobijemo kad desnu stranu podijelimo sa -1 ?

  31. / / :7 :21 __ 7 21 __ 1 3 Uočimo razliku u rješavanju sljedeći jednadžbi: 7 x = 21 21 x = 7 1 x = x = 3 3 U oba slučaja dijelimo sa brojem koji je uz x ! Uoči o kojem se broju radi u kojem slučaju! Pažljivo razmisli što nam nakon tog dijeljenja u prvom slučaju ostaje na lijevoj a što na desnoj strani! x = A u drugom zadatku? Uoči koja je razlika u rješenjima !!! Također pazi da prilikom dijeljenja ne zamijeniš koji se broj sa kojim dijeli (u tome se često griješi)!

  32. Time smo razjasnili sve detalje u vezi rješavanja jednadžbi oblika a x = b (pri čemu su a i b cijeli brojevi). Sad ponovo uzmi papir i riješi sljedeće zadatke. Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka, vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće! Na kraju prezentacije naći ćeš i rješenja (da možeš provjeriti svoja rješenja). Sretno!  2.) Riješi sljedeće jednadžbe: • -4 x = -36 • -15 x = 8 • 18 b = -2 • - y = - 32 • - k = 7 • 4 x = -37 • -6 n = 66 • -63 d = 56 • 10 r = -85 • - m = 14 • -11 k = -78 • -8 x = 48 • -8 x = 72 • -2 x = -3 • 8 x = -2 • -60 a = 8 • 9 b = 33 • - x = -13

  33. Rješenja: • y = 32 • k = -7 • x = -9 • n = -11 • d = • r = -8 • m = -14 • k = 7 • x = -6 • x = -9 • x = 1 • x = • a = • b = 3 • x = 13 • x = 9 • x = • b = __ 1 2 __ 1 __ -1 4 4 __ -2 __ -8 15 __ 2 9 __ 1 3 2 __ 1 __ -8 11 15 __ -1 9 2.) Riješi sljedeće jednadžbe: • -8 x = 72 • -2 x = -3 • 8 x = -2 • -60 a = 8 • 9 b = 33 • - x = -13 • -4 x = -36 • -15 x = 8 • 18 b = -2 • - y = - 32 • - k = 7 • 4 x = -37 • -6 n = 66 • -63 d = 56 • 10 r = -85 • - m = 14 • -11 k = -78 • -8 x = 48

  34. Autorica prezentacije: Antonija Horvatek prosinac 2007.

  35. Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima, radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare... Antonija Horvatek ahorvatek@yahoo.com http://public.carnet.hr/~ahorvate

More Related