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Equazioni di 2° grado

Equazioni di 2° grado. Forma normale. Una equazione si 2° grado si dice scritta in forma normale o canonica se è nella forma ax 2 +bx+c=0 con a , b e c reali e a ≠0 3 x 2 +2x-5=0 è una equazione di 2° grado scritta in forma normale ( a=3, b=2 e c=-5 )

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Equazioni di 2° grado

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Presentation Transcript

  1. Equazioni di 2° grado

  2. Forma normale • Una equazione si 2° grado si dice scritta in forma normale o canonica se è nella forma ax2+bx+c=0 con a, b e c reali e a≠0 • 3x2+2x-5=0 è una equazione di 2° grado scritta in forma normale (a=3, b=2 e c=-5) • In una equazione scritta in forma normale il primo termine è di 2° grado ed a è detto coefficiente del termine di 2° grado, il secondo termine è di 1° grado e b è detto coefficiente del termine di 1° grado il terzo termine è detto termine noto

  3. Riduzione a forma normale • Se una equazione non è scritta in forma normale la prima cosa da fare è quella di riportarla in tale forma attraverso l’effettuazione di operazioni e passaggi dal 2° al 1° membro dell’uguaglianza • Esempio: 4x-2=3(x2–x)↔ 4x-2=3x2–3x↔ -3x2+7x-2=0

  4. Soluzioni • Le soluzioni di una equazione di 2° grado dette anche zeri o radici sono sempre 2 e sono quei valori che sostituiti alla incognita x rendono l’equazione una identità • x=1 e x=2 sono soluzioni per l’equazione x2–3x+2=0 infatti 12–3+2=0 e 22–6+2=0

  5. Equazioni incomplete • Se manca il termine di primo grado o il termine noto o entrambi l’equazione si dice incompleta • Le equazioni incomplete si suddividono in • Spurie • Pure • Monomie

  6. Spurie • Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine noto (cioè quella in cui è c=0) si dice pura Una equazione spuria ha 2 soluzioni di cui una è 0 e l’altra –b/a nell’esempio -2

  7. Pure • Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado (cioè quella in cui è b=0) si dice spuria Una equazione spuria ha 2 soluzioni opposte ±√(c/a) nell’esempio ±2

  8. Monomie • Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado e il termine noto (cioè quella in cui è a=b=0) si dice monomia Una equazione spuria ha 2 soluzioni entrambe uguali a zero

  9. Discriminante • Si chiama discriminante di una equazione di 2° grado, e si indica con Δ, il numero b2-4ac

  10. Formula risolutiva Le soluzioni si ricavano dalla formula Che si può anche esprimere La formula risolutiva è applicabile anche alle equazioni incomplete Nel caso b sia pari conviene applicare la formula ridotta

  11. Soluzioni: casistica • Se Δ>0 le soluzioni sono 2 e distinte • S={(-b+√Δ)/2a, (-b-√Δ)/2a} • Se Δ=0 le soluzioni sono 2 coincidenti • S={-b/2a} • Se Δ<0 le soluzioni non esistono • S={Ø} Se a e c sono discordi il discriminante è sicuramente positivo (non vale il viceversa)

  12. Esempio 1

  13. Esempio 2

  14. Esempio 3

  15. Esempio 4

  16. Casi particolari • In certi casi ci si può trovare di fronte al prodotto di più polinomi di grado minore o uguale a 2 uguagliato a zero: non conviene eseguire le operazioni, ma scomporre l’equazione in più equazioni alternative sfruttando la proprietà dell’annullamento del prodotto

  17. Esempio 5

  18. Equazioni frazionarie Nelle equazioni frazionarie, una volta ridotte a forma normale eliminando i denominatori, è necessario scartare le radici che annullano il m.c.m. dei denominatori, se entrambe le radici sono da scartare, l’equazione è impossibile.

  19. Esempio 6

  20. Equazioni a coefficienti letterali • Nel caso nell’equazione compaiano lettere occorre verificare che Il loro valore • Non renda il discriminante negativo (condizione di realtà) • Non azzeri alcun denominatore (condizione di possibilità) • Nel caso si annulli il coefficiente del termine di 2° grado si avrà una sola soluzione • Questo procedimento si chiama discussione dell’equazione

  21. Esempio 7

  22. Esempio 8

  23. Relazioni tra coefficienti e soluzioni di equazioni di 2° grado Tra i coefficienti e le soluzioni di una equazione di 2° grado con Δ≥0 esistono le relazioni

  24. Relazioni tra coefficienti e soluzioni di equazioni di 2° grado • Per definizione x1 e x2 sono soluzioni dell’equazione (x-x1)(x-x2)=0 e quindi di x2-(x1+x2)x+x1x2 • Viceversa 2 numeri ci cui si conosca somma e prodotto sono soluzioni di x2-sx+p dove s e p sono somma e prodotto dei numeri dati • Il trinomio ax2+bx+c, se ha soluzioni, si può scomporre come a(x-x1)(x-x2) se Δ>0 oppure come a(x-x1)2=a[x+b/(2a)]2 se Δ=0

  25. Teorema di Cartesio • Se tutti i coefficienti hanno lo stesso segno le soluzioni sono negative • Se solo il coefficiente del termine di 1° grado è negativo le soluzioni sono positive • Se solo il coefficiente del termine di 2° grado è positivo le soluzioni sono discordi e quella maggiore in valore assoluto è positiva • Se solo il termine noto è negativo le soluzioni sono discordi e quella maggiore in valore assoluto è negativa

  26. Esempio 9 • Data l’equazione 2x2-3x+1 determinare somma e prodotto delle radici senza risolvere l’equazione s=-b/a=3/2 p=c/a=1/2

  27. Esempio 10 • Trovare l’equazione di 2° grado avente per soluzioni -1/2 e 2/3 x2-sx+p quindi x2-x/6-1/3 ed eliminando i denominatori 6x2-x-2

  28. Esempio 11 • Determinare 2 numeri sapendo che la loro somma è 2m e il loro prodotto m2-4 Deve essere x2-2mx+m2-4=0 cioè

  29. Equazioni parametriche • Si dice parametrica una equazione avente almeno un coefficiente dipendente da una o più lettere dette parametri • Esempio: x2+3mx+m-1=0 al variare di m si hanno diverse equazioni e quindi diverse soluzioni • Se m=0 x2-1=0 S={-1,+1} • Se m=1 x2+3x=0 S={-3,0} • Se m=2 x2+6x+1=0 S={-3±√2}….

  30. ? • Questione fondamentale è determinare i valori dei parametri che soddisfano determinate condizioni

  31. Esempio 12 a 2x2–(k-1)x+2=0 • Determinare per quali valori di k L’equazione abbia radici coincidenti Deve essere Δ=0 quindi

  32. Esempio 12 b 2x2–(k-1)x+2=0 • Determinare per quali valori di k L’equazione abbia una radice nulla L’equazione ha radice nulla se spuria (c=0) Quindi ma c=2 quindi per nessun valore di k il termine noto è nullo

  33. Esempio 12 c 2x2–(k-1)x+2=0 • Determinare per quali valori di k L’equazione abbia radici opposte Ciò avviene quando l’equazione è pura cioè b=0

  34. Esempio 12 d 2x2–(k-1)x+2=0 • Determinare per quali valori di k L’equazione abbia radici reciproche Deve essere

  35. Esempio 12 e 2x2–(k-1)x+2=0 • Determinare per quali valori di k La somma delle radici dell’equazione sia 3 Deve essere

  36. Esempio 12 f 2x2–(k-1)x+2=0 • Determinare per quali valori di k Il prodotto delle radici dell’equazione sia 4 Deve essere

  37. Esempio 12 g 2x2–(k-1)x+2=0 • Determinare per quali valori di k La somma dei quadrati delle radici dell’equazione sia 7 Deve essere

  38. Esempio 12 h 2x2–(k-1)x+2=0 • Determinare per quali valori di k La somma dei reciproci delle radici dell’equazione sia 4

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