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Rappresentazione grafica delle equazioni di I e II grado

Rappresentazione grafica delle equazioni di I e II grado. Prof.ssa Oriana Pagliarone. ax=b 2 ax=bc x 2 =c x 2 +bx=c (area) x 2 +bx=c (segmento) x 2 +10x=39 x 2 +c=bx (segmento) x 2 +1400=90x x 2 +c=bx (area) x 2 +21=10x

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Rappresentazione grafica delle equazioni di I e II grado

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Presentation Transcript

  1. Rappresentazione grafica delle equazioni di I e II grado Prof.ssa Oriana Pagliarone

  2. ax=b2 • ax=bc • x2=c • x2+bx=c (area) • x2+bx=c (segmento) x2+10x=39 • x2+c=bx (segmento) x2+1400=90x • x2+c=bx (area) x2+21=10x • x2-bx=c (area) x2-3x=10 • x2-bx=c (segmento)

  3. ax=b2 b a 2 b2 2 t ax X t

  4. ax = bc DE=ML DO=MN I triangoli DEO e MNL sono uguali I parallelogrammi DELM e DONM sono equivalenti( DOLM in comune) Il rettangolo DEFG è equivalente al parallelogramma DELM (stessa base DE e stessa altezza DG) Il rettangolo MNHG è equivalente al parallelogramma DONM (stessa base MN e stessa altezza MG) I rettangoli DEFG e MNHG sono equivalenti bc = ab + MNHG = ab + DEFG = ax x = AE c a M A N b bc ax L X o H D G E F

  5. X2 = C AH=1 HD = C B BH2= AH ∙ HD X2 = 1 ∙ C X =±√C X C 1 A D H D

  6. x2+bx-c=0 x2+bx=c esempio x2+10x-39=0 aggiungo 52 x2+10x + 52 =39+25 (x+5)2= 64 X+5=8 x=8-5=3 8 5 52 X=3 5x 5 e ora ……… 8 X2 3 5x

  7. Ora possiamo anche costruire il rettangolo di area 39x2+10x = 39 Sapendo che x=3 e che x(x+10)=39 9 39 30 3 10 Abbiamo costruito il rettangolo di area 39

  8. x2+bx=c b>0,c>0 x2 + bx = c x2 + bx + b2/4 = b2/4 + c (x+b/2)2 = b2/4 + c x = -b/2 ± √(b2/4 + c) (trascurando la soluzione negativa -b/2 - √(b2/4 + c)) x = -b/2 + √(b2/4 + c) E ora la costruzione geometrica ….

  9. x2+bx = c ---------- √(b2/4+c) --------- Costruisci il quadrato di lato √(b2/4+c) x b/2 Costruisci il quadrato di lato b/2 L’area in giallo è = b2 /4 +c – b2 /4 = c x = √(b2/4+c) – b/2 Sposta il rettangolo r r L’area totale del quadrato e dei due rettangoli gialli è sempre c Per cui c = x(b/2) + x2 + x(b/2) = x(b/2 + x + b/2)= = x(b+x) = x2 + bx x 2 + bx = c x2 r

  10. x2+c=bx 90 x2+1400=90x 70 D E 20 M B A AB=90 Scompongo AB in AD=70 e DB=20 in modo che AD ∙ DB = 1400 e costruisco DF=√1400 Costruisco M punto medio di AB AM=MB=45 e in M costruisco MC=DF MD=MB-DB=45-20=25 EM=MD=25 AE=20 EC=√(1400+625)=√2025=45 EC=CD=45=AB/2 E e D sono le intersezioni di AB con la circonferenza di raggio AB/2 e centro C F C Quindi : Costruisco AB=90,il punto medio M, costruisco in M perpendicolarmente il segmento MC=√1400 Costruisco la circonferenza di raggio AB/2 e centro C Costruisco le intersezioni E e D della circonferenza con AB AD e DB sono le soluzioni

  11. x2+1400=90x 70 20 X2 1400 = 20 ∙ 70 x 20 90 X=20 1° soluzione

  12. x2+1400=90x 20 70 x2 70 1400 70 X=70 2° soluzione

  13. x2+c=bx Soluzione b>0, c>0 x2 – bx = -c x2 – bx +b2/4 = b2/4 –c (x-b/2)2= b2/4 –c x-b/2 = ±√(b2/4 –c) x = b/2 ±√(b2/4 –c) Costruiamo geometricamente le soluzione

  14. x2+c=bx P T b/2 H L K B A E --------- c ---------- D M 1 ---------- c+1 ----------- b Costruire AB=b e traslare PL =√c in MT con M punto medio di AB Tracciare la circonferenza di raggio b/2 e centro T che interseca in E e D il segmento AB Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HK A distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà √c EM = √(b2/4-c) x1 = b/2 - √(b2/4-c) = AM-EM = AE x2= b-x1= AB-AE = EB AE e EB sono le soluzioni

  15. x2+c=bxx2+21=10x Soluzione b>0, c>0 x2 – bx = -c x2 – bx +b2/4 = b2/4 –c (x-b/2)2= b2/4 –c x-b/2 = ±√(b2/4 –c) x = b/2 ±√(b2/4 –c) costruiamo geometricamente le soluzione per b=10 c=21 x2 +21 =10x x=5±2=3 x1=3 x2 =7

  16. Costruzione di x2 +21=10x Costruiamo il quadrato di lato 5 Costruiamo il quadrato di lato 2 Togliendo il quadrato di lato 2 al quadrato di lato 5 si ottiene una figura di area 25-4= 21 x Spostiamo il rettangolo x(5-x) 2 2 Aggiungiamo il quadrato di x 5-x 21 X2 X 5 --------10-------- X2+21=10X

  17. x2+21=10x 10x-x2=21 -10x+x2=-21 25 -10x+x2=25-21 (5-x)2=4 5-x=±2 Vediamo ora 5-x=2 x=3 Costruendo il quadrato di lato 5 e togliendo il quadrato di lato (5-x), si ottiene il rettangolo x(5-x) di lato x cercato 5-x 5-x X 5-x x2 x 5 5-x x 10 E ora la 2a soluzione x=7

  18. x2+21=10x x 2° soluzione 10x-x2=21 x(10-x)=21 -10x+x2=-21 25 -10x+x2=25-21 (x-5)2=4 x-5= 2 x=7 X-5 x 10-x 21 Semplificando …. X-5 X-5 X-5 5 10-x x 10

  19. semplificando Disegniamo il quadrato di area 4 che è il quadrato di x-5, aggiungendo il segmento di lunghezza 5 otteniamo x =2+5 =7 4 X-5 5 x

  20. x2+c=bx Soluzione b>0, c>0 x2 – bx = -c x2 – bx +b2/4 = b2/4 –c (x-b/2)2= b2/4 –c x-b/2 = ±√(b2/4 –c) x = b/2 ±√(b2/4 –c) Costruiamo geometricamente le soluzione

  21. In generale: costruiamo X=b/2-√((b2/4)-c) Costruiamo il quadrato di lato b/2 Costruiamo il quadrato di lato √((b2/4)-c) Togliendo il quadrato di lato √((b2/4)-c) al quadrato di lato b/2 si ottiene una figura di area b 2/4 –(b 2 /4 -c)= c X=b/2-√((b2/4)-c) x Spostiamo il rettangolo x(b/2-x) √((b2/4)-c) Aggiungiamo il quadrato di x b/2-x C X2 X b/2-x x b/2 ---------b--------- X2+c=bX

  22. Costruiamo x=b/2+√(b2/4 –c) Costruiamo il segmento √(b2/4 –c) Costruiamo il quadrato di lato b/2 L’area gialla è = b2 /4 –(b2 /4 –c)=c Costruiamo il quadrato di lato √(b2/4 –c) X= b/2 + √(b2/4 –c) -------------X------------- Costruiamo il quadrato di x Spostiamo c trasformandolo nel rettangolo r1 + r2 √(b2/4 –c) √(b2/4 –c) X- √(b2/4 –c) =b/2 X+b/2 - √(b2/4 –c) = b/2+b/2=b r1 r1 C x r2 x2 +c = bx r2 b/2 x b/2-√(b2/4 –c) -----------------b----------------

  23. x2-bx=c x2-bx=c con b>0 , c>0 x2-bx+b2/4=b2/4+c (x-b/2)2 = b2/4+c x – b/2 = ± √(b2/4+c) x =b/2 ± √(b2/4+c) x = b/2 + √(b2/4+c) essendo √(b2/4+c) > b/2 la soluzione x = b/2 - √(b2/4+c) è negativa e la scartiamo per la rappresentazione grafica

  24. x2-bx=c -------------- x ---------------- b/2 -------- √(b2/4+c) --------- x -b Costruisci il quadrato di lato √(b2/4+c) Costruisci il quadrato di lato b/2 C b/2 Prolunga il lato del primo quadrato di un segmento lungo b/2 x 1 x = b/2 + √(b2/4+c) La zona gialla ha area c: infatti b2/4+c –b2/4 = c b/2 x – b = b/2 + √(b2/4+c) –b/2 –b/2= = √(b2/4+c) –b/2 Il rettangolo giallo di area x(x-b) = c è quello cercato

  25. X2-3x=10 x ----------7/2 ---------- Ripeti la dimostrazione precedente nel caso particolare b=3 c=10 3/2 3/2 10 2 Costruisci il quadrato di lato √(b2/4+c)= √(32/4+10) = √49/4= 7/2 Costruisci il quadrato di lato b/2=3/2 La differenza delle aree dei due quadrati è 49/4 -9/4=40/4 =10 ( l’area della zona gialla) r x Aggiungi il segmento b/2=3/2 X = b/2 + √(b2/4+c) = = 3/2 + √(3/4+10) = = 3/2 + 7/2 = 10/2 = 5 x – b = 5-3 = 2 x2 -3x =10 x(x-3)=105∙2=10

  26. x2-3x=10 Una soluzione ingenua……. x(x-3) = 10 x (x-3) = 5∙2 x=5 x x =5 10 x-3 2 3

  27. x2-3x=10 x2-3x + 9/4=10+9/4 (x-3/2)2=49/4 (x-3/2)2=(7/2)2 costruiamo il quadrato di area 49/4 , aggiungiamo al lato 3/2 ,otteniamo x 49/4 7/2 3/2 x-3/2 x

  28. x2-bx=cx2-bx +b2/4= b2/4 +c(x-b/2)2 = b2/4 +cx-b/2 =± √(b2/4 +c)x=b/2 + √(b2/4 +c) e allora… √(b2/4 +c) è negativa La soluzione x= b/2-

  29. x2-bx=c P T √(b2/4+c) √c b/2 H L B b/2 D K E A M --------- c ---------- 1 b ---------- c+1 ----------- Costruire AB=b e traslare PL =√c in AT M punto medio di AB Tracciare la circonferenza di raggio TM= √(b2/4+c) e centro M che interseca in E e D il prolungamento del segmento AB Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HK A distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà √c TM = √(b2/4+c) = MD AM= b/2 AD = b/2 + √(b2/4+c) x1 = b/2 + √(b2/4+c)=AD AD è la soluzione positiva

  30. x2+bx=c b>0,c>0 x2 + bx = c x2 + bx + b2/4 = b2/4 + c (x+b/2)2 = b2/4 + c x = -b/2 ± √(b2/4 + c) (trascurando la soluzione negativa -b/2 - √(b2/4 + c)) x = -b/2 + √(b2/4 + c) E ora la costruzione geometrica ….

  31. x2+bx=c P T √(b2/4+c) √c b/2 H L B b/2 D K E A M --------- c ---------- 1 b ---------- c+1 ----------- Costruire AB=b e traslare PL =√c in AT M punto medio di AB Tracciare la circonferenza di raggio TM= √(b2/4+c) e centro M che interseca in E e D il prolungamento del segmento AB Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HK A distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà √c TM = √(b2/4+c) = MD BM= b/2 BD = √(b2/4+c) - b/2 x1 = √(b2/4+c)- b/2 = BD BD è la soluzione positiva

  32. Animazione flash ax=b2 • Animazione flash ax=bc • Animazione flash x2=c • Animazione flash x2+bx=c • Animazione flash x2+c=bx • Animazione flash x2+21=10x • Animazione flash x2 -3x=10

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