Equazioni di secondo grado:

1. Equazioni di secondo grado: Presentazione di • Bruno Jannamorelli Liceo Scientifico “E.Fermi” Sulmona (AQ) dai Babilonesi … …ai banchi nostri.

2. Premessa: Primi giorni di scuola, III Liceo Scientifico … • X2 – 2x +1 = 9 • X2 – 2x - 8 = 0 … e poi applico la formula! x2 = 9 (x – 1)2 = 9 x2 + x + 1 > 0 D< 0, a > 0, discordi …

3. PROBLEMA Trovare due numeri conoscendone la somma(o la differenza) e il prodotto

4. Esempio 1. Trovare due numeri la cui somma è 18 e il cui prodotto è 72

5. Interpretazione della soluzione dei babilonesi con l’uso della moderna simbologia:

6. Indichiamo i due numeri la cui somma è 18 con i simboli 9 – x , 9 + x .Si ha : (9 + x)(9 – x) = 72 81 – x2 = 72 x2 = 9 vera se x = 3 o x = -3 I due numeri richiesti sono : 9 + 3 = 12 e 9 – 3 = 6

7. (a + b)(a - b) a2 – b2

8. Esempio 2. Trovare due numeri la cui differenza è 8 e il cui prodotto è 20

9. Interpretazione della soluzione dei babilonesi con l’uso della moderna simbologia:

10. Indichiamo i due numeri la cui differenza è 8 con i simboli k + 4 , k - 4 .Si ha : (k + 4) - (k – 4) = 8 (k + 4)(k – 4) = 20 k2 - 16 = 20 k2 = 36 vera se k = 6 o k = -6 I due numeri richiesti sono : 6 + 4 = 10 e 6 – 4 = 2 (o i loro opposti)

11. Ricaduta didattica: Radicali doppi

13. Problema: Esistono due numeri reali positivi x , y tali che ? Eleviamo al quadrato Vera se: (sistema somma-prodotto)

14. Con lo stesso procedimento, i babilonesi risolvevano anche equazioni algebriche di secondo grado

15. Esempio 3. Risolvere l’equazione : x2 + 8x = 20

16. L’equazione può essere scritta :x(x + 8) = 20 Se poniamo x + 8 = y si ha : y – x = 8 , allora si devono trovare due numeri x , y tali che : y – x = 8 , xy = 20 . (vedi Esempio 2) Metodo diofanteo(Diofanto di Alessandria III sec. d.C)

17. Esempio 4. Risolvere l’equazione : 18x - x2 = 72

18. L’equazione può essere scritta :x(18 - x) = 72 Se poniamo 18 - x = y si ha : x + y = 18 , allora si devono trovare due numeri x , y tali che : x + y = 18 , xy = 72 . (vedi Esempio 1)

19. Esempio 5. Risolvere l’equazione : 3x2 + 5x = 2

20. I babilonesi non dividevano per 3 per ottenere l’equazione

21. 3x2 + 5x = 2 Ma moltiplicavano per 3 ottenendo l’equazione : (3x)2 + 5(3x) = 6 ponendo 3x = z si ha : z2 + 5z = 6 vera se z = 1 (o z = - 6) , per cui x = 1/3 (o x = - 2)

22. Numerazione posizionale sessagesimaledei babilonesi

23. Ambiguità della numerazione babilonese

27. Testo inciso sulla tavoletta d’argilla AO 8862 • Base, altezza. • Ho moltiplicato la base per l’altezza ed ho trovato l’area. • Ho poi addizionato la differenza tra la base e l’altezza all’area trovando 183 [3;3]. • Inoltre la somma tra la base e l’altezza è 27. • Calcolare la base, l’altezza e l’area.

28. Soluzione babilonese: 1. 27 + 183 = 210 2 2 + 27 = 29 3 29 : 2 = 14,5 4 14,5 x 14,5 = 210,25 5 210,25 – 210 = 0,25

29. 6 7 14,5 + 0,5 = 15 (base) 8 14,5 – 0,5 = 14 9 14 – 2 = 12 (altezza) 10 15 x 12 = 180 (area)

30. Interpretazione della soluzione babilonese : Sia x la base , y l’altezza: Sostituisco la seconda equazione con la somma delle due equazioni: 1. 183+27=210

31. Aggiungo 2 a sinistra e a destra nella prima equazione : 2. 2+27 =29

32. Ottengo un nuovo sistema (somma-prodotto) Con X = x , Y = y+2

33. Indico i due numeri la cui somma è 29 con 14,5 + k , 14,5 - k (14,5 + k)(14,5 – k) = 210 210,25 – k2 = 210 K2 = 210,25 – 210 = 0,25 14,5 + 0,5 = 15 (base) 14,5 – 0,5 = 14

34. I due numeri sono: 14,5 + 0,5 = 15 14,5 – 0,5 = 14 X = x = 15 Y = y +2 = 14 x = 15 (base) y = 14 – 2 = 12 (altezza)

35. Hisab al-jabr w’al-muqabala Prima metà del IX secolo al-Khuwarizmi al-jabr(restaurazione): Addizionare o moltiplicare la stessa quantità al-muqabala(riduzione): Sottrazione di quantità uguali

36. 4a equazione di al-Khuwarizmi: Risolvete mal (quadrati) e 10 radici uguale a 39. x2 + 10x = 39 1.Dividete per due il numero (coeff.) delle radici: risultato 5. 2. Moltiplicate 5 per se stesso: risultato 25. 3. Addizionate 25 a 39: risultato 64.

37. 4. Prendete la radice quadrata di 64: risultato 8. 5. Sottraete da 8 il risultato dato al passo 1: soluzione 3. Veniva ignorata la radice negativa

38. Abbiamo detto abbastanza, per quanto riguarda i numeri, sui sei tipi di equazione. Ora è necessario dimostrare geometricamente la verità degli stessi problemi che sono stati spiegati con i numeri. Al-Khuwarizmi

40. X2 + 10x = 39 5 5x x x2 5x x 5 Per completare il quadrato si deve aggiungere un quadrato di lato 5.

41. X2 + 10x +25= 39 + 25 = 64 5 25 x x 5

42. Thabit ibn Qurra (836-901 d.C): ثابت بن قرة بن مروان ษาบิต อิบนู กูรอ(Thabit Ibn Qurra) 836-901(256-321 H) Kitab filtatli listikhrag amal al-masail handasiya (Sulla soluzione corretta di problemi algebrici con metodi geometrici)

43. A B G H . Problema di applicazione delle aree per eccesso (iperbolico) x2 bx x D x F C b Euclide, Elementi, (libro II, Prop.5, Prop. 6)

45. Ricadute didattiche: Risolvi la disequazione: Disegna la parabola d’equazione: Disegna la conica d’equazione: Calcola l’integrale:

46. Applicando il metodo del completamento del quadrato le risposte ai quesiti precedenti diventano più semplici, meno insidiose, più popolari…

47. Le nozioni che si potevano offrire con luminosa chiarezza venivano date oscure, contorte, imbrogliate, come per via di veri e propri indovinelli. Jan Amos Komensky ( Comenius) 1592-1670