I sistemi di equazioni di I grado

1. Sistemi lineari I sistemi di equazioni di I grado

2. Un sistema di equazioni DEFINIZIONE Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni, tutte nelle stesse incognite,di cui cerchiamo soluzioni comuni L’insiemedelle soluzioni di un sistema è formato da quei valori delle incognite che soddisfano tutte le equazioni che compongono il sistema.

3. In questa unità didattica consideriamo sistemi in cui tutte le equazioni sono di primo grado, tali sistemi sono detti sistemi lineari

4. Interpretazione grafica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite Consideriamo il sistema: y = 2x - 5 y = -x + 1 commento

5. Tracciamo le due rette che rappresentano graficamente le equazioni: y = 2x – 5 e y = -x + 5 Il sistema ha una sola soluzione, poiché le rette si intersecano in un sol punto di coordinate (2 ; -1) Y Y=2x-5 X y=-x+1 commento

6. Quante soluzioni ha un sistema? Un sistema può avere: Una soluzione (x ; y); Nessuna soluzione; il sistema è impossibile; Infinite soluzioni; il sistema è indeterminato

7. Una soluzione quanto le rette che rappresentano le equazioni del sistema sono incidenti Il sistema ha Una sola soluzione (x ; y) 1 punto in comune commento

8. Nessuna soluzionese le rette che rappresentano le equazioni del sistema sono parallele e distinte Il sistema Non ha soluzione; Il sistema è IMPOSSIBILE Nessun punto in comune

9. Infinite soluzioni se le rette sono parallele e coincidenti Il sistema ha Infinite soluzioni; Il sistema è INDETERMINATO Infiniti punti in comune

10. r s x y x y 0 -15 0 -10 -9 0 -12 0 RISOLUZIONE GRAFICA

11. Metodi algebrici per risolvere un sistema lineare Metodo di sostituzione Metodo di Cramer Metodo del confronto Metodo di riduzione o di eliminazione

12. Metodo di sostituzione Illustriamolo tramite un esempio: • Si riduce il sistema a forma normale • Si risolve una delle due equazioni rispetto ad un incognita, nell’esempio la seconda delle equazioni è stata risolta rispetto la x • Si sostituisce nell’altra equazione il valore della x trovato, calcoliamo il valore della y; • Una volta calcolato il valore di y lo sostituiremo di nuovo nell’equazione esplicitata in x Troviamo così la soluzione del sistema

13. Il metodo di sostituzione :altro esempio • Ridurre in forma normale; • Risolvere rispetto ad una delle incognite, ad esempio x, una equazione • Sostituire nell’altra equazione la soluzione trovata (-2y+4); • risolvere rispetto all’incognita y • Infine, sostituire l’ultima soluzione nell’altra equazione. Soluzione: (-2, 3)

14. Soluzione (-2, 3) s x y 0 2 r 4 0 x y 0 6 -4 0 RISOLUZIONE GRAFICA y r 6 3 2 -4 -2 4 x s

15. SISTEMA IMPOSSIBILE Sistema Impossibile

16. r r x y x y 0 -5/6 0 4 5/8 0 -3 0 RISOLUZIONE GRAFICA(Sistema impossibile)

17. r =s x y 0 -5 10/3 0 SISTEMA INDETERMINATO Sistema Indeterminato

18. METODO DI RIDUZIONE O ELIMINAZIONE Consiste nell’addizionare o sottrarre membro a membro le equazioni del sistema. • Se i coefficienti dell’incognita da eliminare sono uguali si sottraggono membro a membro le due equazioni; • Se tali coefficienti sono opposti si sommano membro a membro le dueequazioni.

19. Metodo di riduzione o eliminazione Un altro esempio del metodo di riduzione. Analizziamo il seguente sistema: In questo sistema l’incognita x presenta coefficienti opposti nelle due equazioni, per cui sommandole membro a membro si riducono ad un’equazione in y. Moltiplicando per -5 l’equazione in y (per ottenere il monomio +5y, opposto a quello dell’altra equazione) applicheremo lo stesso metodo e avremo un’equazione in x. Risolvendo le due semplici equazioni ottenute avremo i valori delle incognite in questo sistema.

20. r s x y x y 0 3/2 0 -8 3/5 0 8/5 0 RISOLUZIONE GRAFICA

21. Secondo esempio del metodo di eliminazione Se i coefficienti dell’incognita non sono né uguali né opposti si moltiplica un’equazione per un numero in modo che i coefficienti da eliminare divengano uguali o opposti.

22. r s x y 0 -4 x y 0 3 2 0 9 0 RISOLUZIONE GRAFICA

23. METODO DI CRAMER • Per prima cosa si deve costruire una matrice: entità matematica costituita da un insieme di numeri, disposti ordinatamente secondo righe e colonne. • Poi si deve trovare il determinante: si moltiplicano i termini della diagonale principale e si sottrae il prodotto dei termini della diagonale secondaria. • Successivamente cerchiamo il determinante dell’incognita X e Y • Infine il valore di ciascuna incognita è uguale a una frazione avente al numeratore il determinante di quell’incognita e al denominatore il determinante del sistema.

24. Esempio del metodo di Cramer • Ridurre in forma tipica; • Creare una Matrice; • Trovare il determinante del sistema e i determinanti dell’incognite; • Il valore di ciascuna incognita è uguale a una frazione avente al numeratore il determinante di quell’incognita e al denominatore il determinante del sistema.

25. r s x y 0 2 x y 4/3 0 0 -1/4 1/3 0 RISOLUZIONE GRAFICA