Movimento Periódico

1. Universidade Federal Rural do Semiarido - UFERSA Movimento Periódico Jusciane da Costa e Silva Mossoró, Março de 2010

2. Sumário • Movimento • Movimento Harmônico Simples (MHS) • Velocidade e Aceleração MHS • Energia MHS • Movimento Circular

3. MOVIMENTO A idéia de movimento é bastante relativa, pois depende de um referencial.

4. MOVIMENTO Quando o movimento varia apenas nas proximidades de um ponto (referencial), dizemos que temos uma oscilação. • Oscilar é mover-se de um lado para o outro, movimentar-se alternadamente em sentidos opostos. • Periódico é movimenta-se em intervalos de tempos iguais, de forma idêntica.

5. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

6. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) • Consideremos o sistema massa mola:

7. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) A força restauradora é função apenas da deformação Assumindo que F(x) possui derivadas contínuas de todas as ordens, podemos expandi-las em uma Série de Taylor: Considerando os deslocamentos muito pequenos, temos

8. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Sendo que Portanto Lembrando que o sinal negativo é por ser uma força restauradora. A força restauradora é uma força linear e portanto obedecem a Lei de Hooke.

9. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) A equação do MHS, segundo as leis de Newton é: Chegando a ou esta equação é uma equação diferencial, ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, onde se define w como sendo a freqüência angular, que é uma função da massa e da constante elástica.

10. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Este tipo de equação possui as seguintes propriedades: • Combinando tais propriedades, podemos dizer que • onde C1 e C2 são constantes. • Vamos encontrar uma equação que tenha esse tipo. • Como x é função do tempo, devemos encontrar um função que, sua derivada segunda seja proporcional à própria função. Uma função exponencial é deste tipo.

11. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) logo derivando, encontramos que logo a solução geral da equação diferencial geral fica Lembrando que

12. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Depois de algumas manipulações matemáticas, temos. fazendo Portanto a solução para o sistema massa mola e conseqüentemente do MHS são:

13. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Onde A é a amplitude de oscilação e a e j são constantes de fase ou ângulos de fase que diferem o movimento.

14. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) • A AMPLITUDE (A) – módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio, isto é, o valor máximo de |x|. • CICLO – é uma oscilação completa. • PERÍODO (T) – é o tempo correspondente a um ciclo. Ele é sempre positivo, sua unidade no SI é o segundo (s). • FREQUÊNCIA ANGULAR (W) – é a taxa de variação temporal de algum ângulo. No SI a unidade é o rad/s. Função periódica de w0t de período 2p.

15. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) • FREQUENCIA – é o número de ciclos na unidade de tempo. Ela sempre positiva e no SI é o HERTZ. 1 Hertz. = 1 Hz = 1 Ciclo/s = 1s-1 f é chamada de freqüência natural de ressonância do sistema. Portanto podemos escrever a freqüência angular em função da freqüência

16. VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS • A VELOCIDADE do movimento harmônico simples é: a grandeza wA é chamada de AMPLITUDE DE VELOCIDADE (Vm). A velocidade da partícula oscila de wA até – wA. • A ACELERAÇÃO do movimento harmônico simples é: a grandeza w2A é chamada de AMPLITUDE DA ACELERAÇÃO (am). A velocidade da partícula oscila de w2A até – w2A.

17. VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS

18. VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS • Quando estendemos uma mola e soltamos o bloco, ele ganha velocidade à medida que se move para posição de equilíbrio, sua aceleração é positiva. • Substituindo a aceleração na 2 lei de Newton. • que é a lei de Hooke, para k = mw2.

19. ENERGIA NO MHS • Um sistema submetido a uma força F(x) = -kx tem energia cinética dada por • Que é a energia cinética do meu sistema.

20. ENERGIA NO MHS • A energia potencial é obtida calculando o trabalho necessário para movimentar a partícula a uma distância x. • integrando • substituindo x(t) • Que é a energia potencial do meu sistema.

21. ENERGIA NO MHS • A energia total do oscilador harmônico será • E independe do tempo, logo a energia total se conserva, portanto o oscilador harmônico simples é um sistema conservativo.

22. ENERGIA NO MHS • Energias num MHS

23. Exemplo OHS • Sistemas que possuem uma posição de equilíbrio executam um movimento harmônico simples, em torno desta posição (para deslocamentos pequenos). • Sistemas que tem grandes acelerações, são osciladores não-harmônicos, ou seja, as forças de retorno não são mais proporcionais ao deslocamento. Neste caso o período (T) depende da amplitude (A). • Veremos alguns exemplos de movimento harmônico simples: • Pêndulo Simples • Pêndulo Físico • Pêndulo de torção

24. PÊNDULO SIMPLES • Consideremos um pêndulo simples, como sendo um corpo de massa m suspensa por um fio ou haste de comprimento l e massa desprezível. • A força restauradora é a componente tangencial da força resultante: • para pequenos deslocamentos • logo A força restauradora é proporcional a coordenada para pequenos deslocamentos e k = mg/L.

25. PÊNDULO SIMPLES • A freqüência angular (w) de um pêndulo simples com amplitude pequena será • A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:

26. PÊNDULO FÍSICO • O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito. • O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito. • Para pequenas oscilações, o movimento é aproximadamente harmônico simples. • A equação do movimento

27. PÊNDULO FÍSICO • A freqüência angular (w) de um pêndulo físico com amplitude pequena será • A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:

28. PÊNDULO TORÇÃO

29. MHS ANGULAR • Um tipo de MHS é o MOVIMENTO CIRCULAR. • O movimento circular é caracterizado pelo raio A da circunferência, e possui uma velocidade angular w0. • Em t = 0, a fase inicial a = 0. Com o movimento no sentido anti-horário, o ângulo será:

30. MHS ANGULAR • O deslocamento no movimento circular é • conhecendo o deslocamento, podemos encontrar