1 / 46

L ABORATOIRE d’ I NGÉNIERIE des S YSTÈMES A UTOMATISÉS EA 4014 – Université d’Angers

L ABORATOIRE d’ I NGÉNIERIE des S YSTÈMES A UTOMATISÉS EA 4014 – Université d’Angers. I nstitut des S ciences et T echniques de l’ I ngénieur d’ A ngers. Master2 Recherche Spécialité : S ystèmes D ynamiques et S ignaux. Juin 2007. SUJET :. aLGORITHME DE fOURIER – mOTZKIN.

maxine-day
Download Presentation

L ABORATOIRE d’ I NGÉNIERIE des S YSTÈMES A UTOMATISÉS EA 4014 – Université d’Angers

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. LABORATOIRE d’INGÉNIERIE des SYSTÈMES AUTOMATISÉS EA 4014 – Université d’Angers Institut des Sciences et Techniques de l’Ingénieur d’Angers Master2 Recherche Spécialité : Systèmes Dynamiques et Signaux Juin 2007 SUJET : aLGORITHME DE fOURIER – mOTZKIN. Application aux graphes d’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS. Réalisé par : Suivi par : Codjo Hermann ZANNOU Mr Philippe DECLERCK Maître de Conférences à l’université d’Angers

  2. PLAN OBJECTIF GÉNÉRAL 1 - ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN 2 – QUELQUES RAPPELS SUR LES RÉSEAUX DE PETRI 3 – APPLICATION DE L’ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN AUX GRAPHES D’ ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS CONCLUSION ET PERSPECTIVES

  3. OBJECTIF GÉNÉRAL Analyser : un algorithme de résolution des systèmes d’inéquations Ax≤b une démarche de calcul de trajectoire des graphes d’événements temporisés

  4. Partie1 : Algorithme de Fourier-Motzkin

  5. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Objectif Applicable à des systèmes d’inégalités Ax ≤ b m contraintes n variables

  6. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Objectif • Elle permet de : • Tester l’existence de solution des systèmes Ax ≤ b. • Trouver une solution lorsqu'elle existe.

  7. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Principe La méthode comporte deux phases : • Une phase de descente • Une phase de remontée

  8. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Etape1: classement Principe m contraintes Descente n variables Après classement nous avons le système suivant :

  9. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN (1) Principe (2) (3) Descente Etape2 : calcul des bornes (1) et (2) → (4)

  10. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Principe (1) (2) (3) Descente I ≤ S Etape3 : élimination (1) et (2) → (5) (4) (4) et (3) Répéter la procédure sur la variable x2

  11. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Principe Remontée Connaissant la condition sur la variable xn et en lui attribuant une valeur, on peut remonter à la condition sur la variable xn-1 ainsi de suite on remonte à la variable x1.

  12. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Existence de solution Le test d’existence de solution est réalisé après élimination des (n-1) premières variables du système d’inéquations linéaires Ax ≤ b Il suffit de vérifier si la borne inférieure de la dernière variable est inférieure ou égale à sa borne supérieure.

  13. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Existence de solution Exemple (1) (2) (3) Descente (4) (5) (6) Pour b = 15 (7) (6)

  14. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Existence de solution Descente Exemple (6) (7) (6)

  15. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Existence de solution Exemple Descente Remontée En prenant x2= 3/2 on a : [1 1.5]Test donc une solution quelconque

  16. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Existence de solution Descente Exemple Pour b = 11

  17. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Existence de solution Descente Exemple

  18. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Existence de solution Descente Exemple Donc le système n’admet pas de solution pour b =11

  19. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Analyse des itérations (1) (2) (3)

  20. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Analyse des itérations (1) (2) (3)

  21. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Analyse des itérations (1) (2) (3)

  22. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Analyse des itérations (1) (2) (3)

  23. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Analyse des itérations (1) (2) (3)

  24. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Analyse des itérations (1) (2) (3)

  25. ALGORITHME DE FOURIER-MOTZKIN Guide utilisateur Le programme Scilab développé comprend quatres parties : un programme principal « Optim » un sous-programme « elimination » un sous programme « remontee » un sous programme « affichage »

  26. Partie2 : Rappels les Réseaux de Petri

  27. RAPPELS SUR LES RESEAUX DE PETRI Définition Un réseau de Pétri est un moyen de : • Modélisation du comportement des systèmes à événements discrets • Description des relations existantes entre des conditions et des événements

  28. Figure2 : Réseau de Petri RAPPELS SUR LES RESEAUX DE PETRI Description

  29. Figure2 : Réseau de Petri RAPPELS SUR LES RESEAUX DE PETRI Graphe d’événements

  30. Partie 3 APPLICATION AUX GRAPHES D’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS

  31. APPLICATION AUX GRAPHES D’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Objectifs Modéliser les graphes d’Événements Temporisés sous forme algébrique simplifiée Ax ≤ b Ensuite appliquer Fourier-Motzkin pour tracer les trajectoires temporelles .

  32. APPLICATION AUX GRAPHES D’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique La forme algébrique simplifiée Ax ≤ b s’obtient en dupliquant les places qui contiennent plus d’un jeton. Cela se fait au prix d’une extension du vecteur d’état x(k)

  33. APPLICATION AUX GRAPHES D’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique Démarche • Toute place située entre deux transitions internes doit contenir au maximum un jeton Illustration: Après transformation nous avons le graphe suivant :

  34. APPLICATION AUX GRAPHES D’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique Démarche • Toute place située entre une transitions source et une transition interne doit être sans jeton Illustration : Après transformation nous obtenons le graphe suivant :

  35. APPLICATION AUX GRAPHES D’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique exemple Description aux dateurs , algèbre (max,+)

  36. APPLICATION AUX GRAPHES D’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique exemple Description aux dateurs , algèbre (max,+) Description aux dateurs , algèbre ordinaire

  37. APPLICATION AUX GRAPHES D’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique (1) exemple (2) (3)

  38. APPLICATION AUX GRAPHES D’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Modèle algébrique Forme générale Forme générale (3) (4) (5)

  39. APPLICATION AUX GRAPHES D’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Systèmes monotones Définitions Un système d’inégalités linéaires de la forme Ax ≤ b est dit sup-monotone (respectivement inf-monotone) si chaque ligne de la matrice A a au maximum un élément strictement positif (respectivement strictement négatif) Nous avons montré qu’un graphe d’Événements Temporisés modélisé sous forme Ax ≤ b est un système inf- monotone

  40. APPLICATION AUX GRAPHES D’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Applications exemple (1) (2) (3)

  41. APPLICATION AUX GRAPHES D’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Applications On va représenter la sortie y(k), k = {1 , 10}. Pour cela, on prend l’entrée sur un l’horizon [1 10] exemple

  42. APPLICATION AUX GRAPHES D’ÉVÉNEMENTS TEMPORISÉS Applications exemple

  43. Conclusion et perspectives

  44. CONCLUSION ET PERSPECTIVES Conclusion Nous avons développé un programme Scilab basé sur l’algorithme de Fourier-Motzkin qui : • teste l’existence de solution pour les systèmes linéaires Ax ≤ b. • calcule une solution quelconque des systèmes linéaires Ax ≤ b. • Maximise ou minimise une fonction objective sous Ax ≤ b. • calcule les trajectoires temporelles des graphes d’événements.

  45. CONCLUSION ET PERSPECTIVES Perspectives Le programme développé peut être utiliser pour : • résoudre les inégalités aux compteurs • la commande des systèmes linéaires • le calcul du taux de production

  46. Merci de votre attention

More Related