Representação gráfica das raízes de uma Função Polinomial

Questão 1: O gráfico abaixo representa um polinômio P(x) de grau 4. Determine a soma dos coeficientes desse polinômio.

Representação gráfica das raízes de uma Função Polinomial  As raízessão as abscissas dos pontos de interseção da curva com o eixo x. Uma raiz com multiplicidade par é tangente ao eixo x. Uma raiz simples corta o eixo x sem sofrer nenhuma deformação. x x x Uma raiz com multiplicidade ímpar intersecta o eixo x com alguma deformação.

Raízes: 1, 2 e –1; observe que – 1 é dupla, pois o grau é 4.  Termo independente: P(0) = – 4 Forma Fatorada de um Polinômio P(x) = a.(x – r1 ).(x – r2 ). ... .(x – rn ) P(x) = a.(x + 1)2.(x – 1).(x – 2) P(x) = a.(x4 – x3 – 3x2 + x + 2) P(0) = a.2 = – 4 a = – 2 P(x) = – 2x4 + 2 x3 + 6x2 – 2 x – 4 Soma= – 2 + 2 + 6 – 2 – 4 = ZERO Lembrete:A soma dos coeficientes também pode ser calculada por P(1) = – 2 + 2 + 6 – 2 – 4 = 0. (Nesse caso, 1 é uma raiz simples.)

Questão 2: Determinar a equação da reta tangente à circunferência x2 + y2 + 2x – 2y – 23 = 0 no ponto P = (3; 4). Equação da Circunferência Reduzida (x – xC)2 + (y – yC)2 = R2 R Normal x2 + y2 + m.x + n.y + p = 0  Completando os quadrados... C = (xC , yC )

 Equação da reta ... ... que passa por 2 pontos. B = (xB , yB) A = (xA , yA)  Equação da reta ... ... a partir de um ponto e do coeficiente angular.

Retas Paralelas Retas Concorrentes r r s s P Sobre a equação reduzida y = m.x+ n, lembre-se! Retas Perpendiculares Interseção com o Eixo y y r n 900 P x 0 s

Propriedades importantes que envolvem circunferências e retas A P B t r

Na equação x2 + y2 + 2x – 2y – 23 = 0, temos: t P R C (x – (–1))2 + (y – 1)2 = 52 (x + 1)2 + (y – 1)2 = 25 Essa equação é tangente à reta (t) no ponto P = (3, 4).

Agora, como conhecemos as coordenadas do ponto P e o coe-ficiente angular da reta (t), podemos escrever sua equação. t P R C

Questão 3: Resolva a equação |x2 – 4x| = 2x.  Normalmente, esse tipo de questão aparece logo no início da prova.  Algumas vezes, há uma orientação explícita para a construção dos gráficos num mesmo sistema de referência cartesiano.  As soluções dessa equação correspondem às abscissas dos pontos de interseção entre os gráficos.

É uma função quadrática.  Como o módulo está aplicado apenas sobre f(x), basta refletir a porção negativa do gráfico em relação ao eixo horizontal.  A parábola tem a concavidade voltada para cima (a > 0).  Suas raízes são 0 e 4.  Seu vértice é o ponto (2, 4).  Poderíamos, inclusive, reescrever a função |f(x)|:

É uma função exponencial “clássica”.  Não intersecta o eixo das abscissas.  A exponencial é crescente (base > 1).  Sua imagem são os reais positivos.  Passa pelo ponto (0; 1).

A solução da equação |x2 – 4x| = 2x é representada pelas abscissas dos pontos de intersecção entre os dois gráficos. Assim, a equação admite 3 soluções.

Questão 4: Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado 8. Os segmentos AD, DE, EF, FB, BG, GH, HI, IC, CJ, JK, KL e LA são congruentes. Determine o valor da área sombreada.

TRIÂNGULO EQUILÁTERO 60o L L h a 60o 60o L ÁREA DE UM TRIÂNGULO ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER a h h h b b b b

2 6 2 2 4 4 A A B Assim, podemos afirmar que

Representação gráfica das raízes de uma Função Polinomial