1 / 41

BAB IV

BAB IV. Graf. Graf adalah suatu diagram yg memuat informasi. Tujuan merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan hubungan obyek2 tsb Secara visual obyek dinyatakan dg bulatan kecil dan hubungan obyek dinyatakan dg garis, garis bisa berarah ataupun tdk berarah Contoh

melanie-burks
Download Presentation

BAB IV

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB IV Graf

  2. Graf adalah suatu diagram yg memuat informasi Tujuan merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan hubungan obyek2 tsb Secara visual obyek dinyatakan dg bulatan kecil dan hubungan obyek dinyatakan dg garis, garis bisa berarah ataupun tdk berarah Contoh Strktur organisasi, peta rangkaian listrik dll 1. Dasar-Dasar GRAF Definisi Graf Suatu Graf G terdiri dari 2 himpunan yg berhingga yaitu himpunan titik tidak kosong dan himpunan garis • Suatu grs berhubungan dg satu titik atau dua titik (titik –titik tsb dsbut titik ujung), grs yg berhub. dg satu titik ujung disebut LOOP, dua grs yg beda menghubungkan ttk yg sama disebut Garis Paralel. • Dua titik dikatakan berhubungan jika ada garis yg menghubungkan keduanya • Titik yg tdk memiliki garis yg berhubungan dgnya dsbut Titik Terasing • Graf yg tidak memiliki titik (shingga tdk memiliki garis) dsbut Graf Kosong • Panjang garis , kelengkungan garis srta letak ttk tdk berpengaruh dlm suatu graf • Graf berarah jika semua garisnya berarah, dan sebaliknya

  3. contoh • Ada 7 kota yaitu A,B,C,D,E,F, dan G yang beberapa diantaranya dpt berhubungan langsung dg jalan darat , hubungan2 langsung yg dapat dilakukan sbb; A dg B dan D; B dg D; C dg B; E dg F . Buatlah graf nya Jawab... 2. Diketahui graf (a) V(G)={ ..............} E(G)={............} v6 Tentukan • Himpunan titik, himpunan garis, titik-titik ujung masing-masing garis, dan garis paralel • Loop dan titik terasing Jawab..... 3 buatlah graf G bila diketahui Titik V(G)={ v1 v5 v4 e3 e1 e6 e5 e2 v3 e7 e4 v2

  4. lanjutan 3. Gambarlah graf G dg titik V(G)= { v1, v2, v3, v4} dan garis E(G)= {e1, e2, e3, e4, e5} dg titik-titik ujung berikut garis titik ujung e1 { v1, v3} e2 {v2, v4} e3 {v1} e4 {v2, v4} e5 {v3 } Jawab Salah satu graf yg dapat dibentuk bila diketahui himpunan titik V(G)= { v1, v2, v3, v4} dan garis E(G)= {e1, e2, e3, e4, e5} adalah sbb ( A) v2 (B) v1 v3 v4 Catatan: jika diketahui graf pasti himpunan titik, garis serta titik ujungnya adalah tunggal

  5. Lanjutan contoh kecerdasan buatan 4. Ada sebuah pulau yg penghuninya hanya terdiri dari dua macam yaitu pemakan orang dan pemakan sayuran dimana ada 2 orang pemakan orang dan 2 orang pemakan sayuran di sisi barat sungai. Di sisi barat sungai itu terdapat perahu kecil yg dapat menampung paling banyak 2 orang. Pertanyaan bagaimana cara mengangkut 4 orang tsb kesisi timur sungan dg syarat jumlah pemakan manusia pada suatu sisi sungai tdk boleh lebih banyak dari pemakan sayuran ( sama boleh) Jawab Menggambarkan semua kemungkinan keadaan, dan kemudian menghilangkan keadaan yg tidak boleh terjadi Misal s= pemakan sayuran o=pemakan orang posisi berubah p=perahu jml pemkan org timur(kanan) /= sungi posisi tdk berubah 0 1 2 arah perjalanan tidak boleh pada pada satu 2 sisi (warna sama) Jadi didapat cara pengangkutan 1 Oossp/ ke ss/poo ke ossp/o ke 0/poss ke oop/ss ke /pssoo 0 jml pemakan sayur timur(kanan) /pssoo s/psoo ss/poo Sp/oos p/ooss ssp/oo o/poss sso/po Os/pos Osp/os ossp/o op/oss ooss/p Oo/pss oos/ps oosp/s oop/ss oossp/

  6. Graf Takberarah • Graf Bipartite # Graf Sederhana adalah graf yg tdk memiliki loop ataupun garis paralel Contoh Gambarlah semua graf sederhana yg dibentuk dari 4 titik V(G)= {a,b,c,d} dan 2 garis Jawab Setiap garis selalu berhubungan dg 2 titik maka kemungkinan banyak garisnya adl = =6 Yg berbentuk E(G)= { {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, dan {c,d} } dari 6 garis ini diambil 2 garis maka garis yg mungkin adalah sebanyak ==15 macam graf a b c d dan seterusnya cari sendiri yg 14 lainnya !!!!!!!!! 4 2 62

  7. Graf Lengkap dg n titik dinotasikan dg Kn Adalah graf sederhana dg n titik dimana setiap 2 titik yg beda dihubungkan dg suatu garis Banyaknya garis pd graf lengkap dg n titik adalah buah garis # suatu graf disebut graf bipartite apabila V(G) merupakan gabungan 2 himpunan yg tdk kosong V1 dan V2 dan setiap garis dalam G menghubungkan suatu titik dalam V1 dg titik dlm V2. # Graf bipartite lengkap( Kmn )adalah graf bipartite setiap titik dalam V1berhubungan dg setiap titik dalam V2 Contoh Tentukan mana di antara graf2 berikut yg merupakan graf bipartite dan graf bipartite lengkap v1 v1 v1 v1 v2 v6 v2 v4 v5 v4 v2 v3 v4 v5 v3 v2 v3 v5 v4 v3 jawab (a) adalah graf bipartite lengkap ( K32) (b) adalah graf bipartite (c) adalah graf bipartite (d) grafnya sama dg point (a) Catatan semua graf soal diatas titik-titiknya dapat dibagi menjadi 2 bagian

  8. Komplemen Graf Komplemen suatu graf G dinotasikan dg Ĝ dengan n titik adalah suatu graf sederhana dengan • Titik –titik Ĝ sama dg titik G jadi V(G)=V(Ĝ) • Garis –garis Ĝ adalah komplemen garis-garis G terhadap graf lengkapnya (Kn) E(Ĝ)= Kn) – E(G) berarti titi-titik yg dihubungkan dg garis dalam G tidak terhubung dalam Ĝ dan sebaliknya titik-titik yg terhubung dalam G menjadi tdk terhubung dalam Ĝ(dg kata laingaris yg ada pada G tidak ada pada Ĝ) Contoh Gambarlah komplemen graf G yg didefinisikan dalam gambar berikut (a) (b) (c) Jawab (a) (b) (c)

  9. Sub Graf Misalkan G adalah suatu graf . Graf Hdikatakan subgraf G bila hanya bila • V(H)V(G) • E(H)E(G) • Setiap garis dalam H memiliki titik ujung yg sama dg garis tersebut dalam G Contoh diketahui graf –graf dibawah, tentukan apakah H merupakan sub graf G ? a) G H Jawab V(H) = { v2, v3} dan V(G)= = { v 1, v2, v3} sehingga V(H)V(G) E(H)= { e4} dan E(G)= { e 1, e2, e3, e4} sehingga V(H)V(G) Garis e4 di H merupakan loop pada titik v2 dan garis e4 juga di G merupakan loop pada ttk v2 jadi H merupakan subgraf G v2 v2 v3 v1 v3

  10. lanjutan e2 b) v1 v2 v1 v2 v3 v3 G H Jawab H bukan merupakan subgraf G krn meskipun V(H)=V(G)={ v 1, v2, v3} dan E(H)=E(G)= { e 1, e2, e3, e4} tetapi garis e4dalam H tdk menghubungkan ttk yg sama dg garis e4 dalam G yaitu dalam H garisnya merupakan loop di ttk v3 sedang dalam G garisnya merupakan loop di ttk v2 c) Jawab Karena graf H= graf G, maka H merupakan subgraf G v2 v1 v1 v2 v4 v4 v3 v3

  11. Derajat Misalkan v adalah titik dalam suatu graf G. Derajat titik v yang disimbulkan d(v)= jumlah garis yg berhubungan dg titik v dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat total G adl jumlah derajat semua titik dalam G Contoh Tentukan derajat tiap-tiap titik pada graf dibawah dan berapa derajat totalnyna Jawab d(v1)= 4 ,d(v2)= 2 ; d(v3)= 1; d(v4)= 1; d(v5)= 2; d(v6)= 0 Derajat total = 10 # dalam sembarang graf , jumlah titik yg derajat ganjil adalah genap Contoh Gambarlah graf dg ketentuan sbb • Graf dg 4 titik dg derajat masing-masing 1, 1, 2, dan 3 (tdk dapat dibuat graf krn derajat tot gajl) • Graf dg 4 titik dg derajat masing-masing 1, 1, 3, dan 3 (dapat dibuat antara lain coba sendiri) • Graf dg 4 titik dg derajat masing-masing 1, 1, 2,2,2,4,4,4 dan 6.(tdk mungkin krn 3ttk derajat ganjil) • Graf dg 4 titik dg derajat masing-masing 1, 1, 3, dan 3 (tdk mungkin krn krn grafnya bent sderhna) v4 e1 v1 e4 e3 e2 v6 v5 v3 e5 v2

  12. Path dan serkuit Walk dari v ke w adl barisan titik-titk yg berhubungan dan garis berselang selung diawali titik v dan diakhiri titik w a) walk dg panjang n dari v ke w ditulis sebagai ; v=v0e1v1e2v2e3v3,..........envn=w dg vi-1i adl ttk-ttk ujung grs ei b) path dg panjang n dari v ke w adl walk dari v ke w dg semua garisnya berbeda ditulis sebagai ; v=v0e1v1e2v2e3v3,..........envn=w dg eij c) Path sederhana dg panjang n dari v ke wadl path dari v ke w( semua garisnya berbeda), titik-titiknya berbeda ditulis sebagai ; v=v0e1v1e2v2e3v3,..........envn=w dg eijdan vkvm d)sirkut dg panjang n adl path( semua garisnya berbeda), dg titik awal dan titik akhir yang sama ditulis sebagai ; v0e1v1e2v2e3v3,..........envn=v0 e) sirkuit sederhana dg panjang n adl sirkuit yg semua titik-titiknya berbeda ditulis sebagai ; v0e1v1e2v2e3v3,..........envn=v0dg eij dan vkvm Contoh

  13. contoh e4 v3 e5 v4 Tentukan mana diantara baris titik dan garis pd gambar dibawah yg merupakan walk, path, path sederhana, sirkuit, dan sirkuit sederhana. a) v1e1v2e3v3e4v3e5v4 b) v1e1v2e3v3e5v4e5v3e6v5 c)v2e3v3e5v4e10v5e6v3e7v6e8v2 d)V2e3v3e5v4e10v5e9v6e8v2 e) v1 jawab terlihat sirkuit sederhana krn ....... Jawab a)Terlihat garisnya berbeda-beda yaitu e1,e3,e4,3e5 sedangkan titik ada yg sama maka dsbut PATH, dg panjang 4 dari v1 ke v4 b)Terlihat bahwa garisnya ada yg sama yaitu e5 berarti WALK dg panjang 5 dari V1 ke v5 c) Terlihat garisnya berbada yaitu e3e5e10e6e7e8sedangkan titiknya ada yg sama letaknya di tengah , titik awal dan akhir sama berarti serkuit saja dg panjang 6 d)Terlihat garisnya berbeda-beda, barisan, di awal dan akhir dg titik sama, semua titiknya berbeda berarti merupakan SIRKUIT SEDERHANA e2 e3 e7 e6 e10 v1 v2 e8 e9 e1 v5 v6

  14. Sirkuit Euler Adalah sirkuit dimana setiap titik dlm graf muncul paling sedikit sekali , dan setiap garis dlm graf muncul satu kali. Contoh Kota Konigsberg terletak pada pertemuan 2 cabang sungai Prigel. Kota tersebut terdiri dari sebuah pulau ditengah-tengah ditengah-tengah dan ada 7 jembatan yg mengelilinginya menghubungkan 4 daerah . Masalahnya mungkinkah seorang berjalan mengunjung 4 kota tsb yg diawali dan diakhiri pada tempat yg sama, dg melintasi 7 jembatan masing-masing tepat satu kali? Apakah termasuk sirkuit Euler? Jawab misal 4 daerah adalah 4 titik yaitu v1 ,v2 ,v3 ,v4 misal 7 jembatan adlah 7 garis yaitu e1e2e3e4e5e6e7 Dibuat graf sbb v1 v2 v3 jadi dpt disimpulkan bahwa berjalan mgunjngi 4 kota v4 tidak mungkin tepat satu kali melintasi jembatan.

  15. Graf terhubung dan tidak terhubung • Dua titik dalam graf dikatakan terhubung bila hanya bila ada walk antara dua titik tsb • Graf G dikatakan terhubung bila hanya bila setiap 2 titik dalam graf G terhubung. • Graf G dikatakan TDK terhubung bila hanya bila ADA 2 titik dlm graf G tdk terhubung. Contoh Diketahui graf G sbb a b c Jawab v2 v1 v2 v6 v4 v3 e1 e1 v2 e1 e1 e1 e1 e1 e1 v3 e1 v1 v4 v4 v3 v5 v1 e1 c) Graf tdk terhubung krn tdk ada walk dari v2ke v3 b) Graf tdk terhubung krn tdk ada walk dari v5ke v4 a) Graf terhubung

  16. Teorema Graf G terhubung dikatakan Sirkuit Euler bila hanya bila semua titik dalam G mempunyai derajat genap. Contoh a) b) # syarat graf G terhubung : tdk di penuhi krn ada 2 titik tdk terhubung c) jawab merupakan sirkuit euler krn terhubung tiap ttk derajat genap v3 d(v2)=d(v3)= d(v4)=d(v6) =d(v10)=2 d(v5)= 4 d(v7)=d(v8) =d(v9)=3 d(v1)= 5 Terlihat ada titik yg berderajat ganjil maka graf tsb bukan sirkuit Euler v2 v4 v1 v10 v5 v6 v8 v9 v7 e1 e1 e1 e1 e1 e1 e1

  17. Lanjutan p1 Contoh Diketahui sebuah rumah beserta pintu dan ruangan-ruangannya sbb A B C H G D F E Mungkinkah seseorang keluar rumah (pintu 10) dan mengunci semua pintu dimulai dari pintu 1?, dg ketentuan pintu yg sdah dikunci sebelumnya tdk boleh dilewati Jawab Misal ruangan dinyatakan titik dan pintu dinyatakan dg garis dan ruangan A dg E dihubungkan dg pintu semu sh g didapat graf sbb apakah graf tsb euler? jawab kecuali titik A dan E , semua titik mempunyai derajat genap dan grafnya terhubung jadi graf tsb adl graf Euler p4 p5 p3 p2 p6 p7 p8 p10 p9 p4 p3 p2 p5 p7 p6 p8 p9

  18. Sirkuit Hamilton Suatu graf terhubung disebut Sirkuit Hamilton bila ada sirkuit setiap titiknya dikunjungi sekali (kecuali titik awal yg sama dgtitik akhir) dan garisnya tdk semuanya harus dilalui. Catata 1)Sirkuit Euler setiap garisnya harus dilalui sekali , titiknya boleh dikunjungi lebih dari satu kali 2)Petunjuk untuk menentukan graf adl sirkuit hamilton adl memiliki sub graf H dg sifat i) H terhubung ii)H memuat semua titik G iii) H memiliki jumlah garis yg sama dg jumlah titiknya iv) setiap ttk dalam H mempunuai derajat 2 Contoh Gambar berikut menyatakan peta beberapa kota (A.....G) beserta jalan yg menghubungkan kota-kota tsb seseorang salesmen hendak mengunjungi setiap kota masing2 sekali dimulai dr kota A . Carilah Jalan yg dilalui jawab C B F E A D G terlihat graf H tsb sifat i) ii) iii) dan iv) dipenuhi jadi graf G tsb adlah sirkuit Hamilton dg coba-coba didapat jalur yg mungkin adl ABFECDGA atau ABCFEDGA(buat grafnya)

  19. Contoh Buktikan graf berikut bukan sirkuit Hamilton a b a c e d c b f g e d Jawab a) Syarat sirkuit hamilton bila graf G mempumyai sub graf H memiliki sifat • H memuat semua titik dalam dalam G terpenuhi karena bisa diambil semua ii) Jumlah garis dalam H sama dg jumlah titiknya tinggal menghilangkan tetapi ada kaitannya dg sarat iii) iii) Semua titik dalam H berderajat 2 tidak terpenuhi karena titik B dan G derajat 3 salah satu garisnya harus dihilangkan padahal jml garis 8, dg menghilangkan dua maka jml garis dalam H menjadi 6 jadi tidak mungkin sub graf H memuat 7 garis b) Ttk b derajat 4 maka 2 grs hrs dihilangkan, akan tetapi mengakibatkan titik lain derajatnya menjadi 1 jadi tidakmungkin terpenuhi terbukti bukan sirkuit hamilton

  20. Garaf Berarah Suatu graf berarah G terdiri dari Himpunan titik-titik V(G)= {v1, v2, .....} , himpunan E(G)={e1, e2,.....} dan suatu fungsi Ψ yg mengawankan setiap garis dalam E(G) ke suatu pasangan berurutan titik(vi,vj). # Jika ek=(vi,vj) adalah suatu garis dalam G, maka vidisebut titik awal, dan vj disebut titik akhir, arah garis dari vi ke vj. # jumlah garis yg keluar dari titik vi disebut derajat keluar titik vi.dinotasikan sedangkan garis yang masuk ke titik vi disebut derajat masuk titik vi.dinotasikan #titik terasing dalam G derajat masuk dan keluarnya adalah 0 # titik pendan dalam G jumlah derajat masuk dan keluar nya adalah 1 # dua garis berarah disebut paralel bila keduanya memiliki titik awal dan titik akhir yg sama. Contoh Jawab a) V(G)={v1, v2, v3, v4, v5, v6} E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9} fungsi mengawankan garis-garis dg titik-titik adalah e1 denga (v1, v2) dst .... v3 v1 e4 tentukan a) himp titik-titik, garis-garis, dan f. perkawanan b) derajat masuk dan keluar tiap titik-titik c) titik terasing dan titik pendan d) Garis paralel e5 e1 v2 e6 e2 e3 e7 e8 v6 v4 e9 v5

  21. Path berarah dan Sirkuit berarah Path berarah dan sirkuit berarah sama saja dg path dan sirkuit tdk berarah hanya bedanya dalam graf perjalanan yg dilakukan harus mengikuti arah garis. Suatu graf berarah tetapi tidak memuat sirkuit berarah disebut Asiklik Contoh Tentukan path terpendek dari titik E ke B pd graf berarah berikut A E C G B F D H jawab ada beberapa path berarah dari E ke B yg dapat dilakukan adalah EACDB dan EAB terlihat path terpendek adalah EAB dg panjang 2 Contoh diketahui graf AB apakah graf tsb sirkuit A B C terlihat graf berarah tsbt tdk ada sirkuit berarah jadi graf Asiklik

  22. Graf berarah terhubung Graf G berarah disebut terhubung kuat jika ada paht untuk sembarang 2 titik dalam G Graf G berarah disebut terhubung lemah jika tidak terhubung kuat, ttp graf tak berarah yg bersesuaian dg graf G terhubung Contoh Tentukan apakah graf G berikut terhubung kuat atau lemah a) b) jawab • Terlihat setiap 2 titik dapat dihubungkan dg path berarah jadi graf tsb adl graf terhubung kuat • Tidak ada path berarah yg menghubungkan titik v4 ke titik v3 , akan tetapi jika arah semua garis dihilangkan maka graf tsb merupakan graf terhubung, jadi graf tsb adl graf terhubung lemah v1 v1 e4 e3 e4 e1 e1 v3 e3 v3 e5 e6 e6 e5 v2 v4 v2 v4 e2 e2

  23. Reprentasi Graf dalam Matriks Matriks dapat digunakan untuk menyatakan graf, hal ini dapat membantu pembuatan program komputer yg berkaitan dg graf, sehingga memudah kan dalam perhitungan . Kesulian graf di buat dalam bentuk matrik adalah keterbatasan bentuk matriks dalam menyerap semua informasi akibatnya ada bermacam-macam matrik dalam nenyatakan graf tertentu • Representasi graf tak berarah dlm matriks 1. Matrik Terhubung adalah digunakan menyatakan graf dg cara menyatakan jumlah garis yg menghubungkan titik titiknya, jumlah baris/kolom dalam matrik sama dg jumlah titik dalam graf Definisi G adl matrik tak berarah dg titik-titik v1 v2......vn, matriks hubung yg bersesuaian dg graf G adalah A=(aij) dimana aij= jumlah garis yg menghubungkan titik vi ke titik vj ; i,j=1,2,.....n Graf tak berarah bentuk matriknya adalah matriks simetris Contoh Nyatakan graf berikut dalam matriks hubung a) b) v6 v2 v4 v2 v1 v5 v1 v7 v4 v3 v3

  24. jawab v1 v4 v2 v3 v5 v6 v7 v1 v1 v1 v1 v1 v1 0 0 1 1 0 0 2 0 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 A) b) v1 v2 v3 v1 v4 v1 v5 v6 v7

  25. Ada beberapa hal yg dapat digunakan dalam matriks hubung • Loop pada titik v1 yg bersesuaian dg a11 =1, graf tdk memiliki loop diagonalnya utamanya = 0 • Dapat dipakai mendeteksi graf tidak terhubung secara mudah. Suatu graf tdk terhubung terdiri dari k komponen bila hanya bila matrik hubungnya berbentuk . • Derajat titik v1 adalah jumlah komponen matriks kolom/baris ke i. Elemen diagonal dikaliakan 2 d(V1)= = Derajat graf G adalah jumlah semua komponen matriks 4) Dapat dipakai untuk mendeteksi graf bipartet (Kmn), bila matriks hubung berbentuk . dimana O=matrik yg semua elemennya nol Im=mtriks ukuran mxn yg semua elemennya=1 In=mtriks ukuran nxm yg semua elemennya=1 5)Dapat dipakai untuk mendeteksi graf lengkap ini terjadi bila dan hanya bila semua elemennya diagonal utamanya nol,sedangkan elemen diluar diagonal=1 Juga dapat menghitung banyaknya kemungkinan walk dg panjang n dari titik vi ketitik vj adalah elemen aij dari matriks hubung An A1 O.....O O A2.....O ................. O O ...Ak O Im In O

  26. contoh e1 e2 Diketahui graf G sbb v1 v2 hitumglah jumlah walk dg panjang 2 dari titik v1 ke v1 Jawab v3 matrik hubung A yg bersesuaian dg graf Gadalah A= , untuk menghitung walk dg panjang 2, hitung dulu A2 A2= AXA= = Jadi walk dari v1ke v1 dg panjang 2 adalah elemen a11 pada A2 yaitu 6 buah cara. Walk tersebut didapat dengan coba-coba yaitu ,,.......teruskan e3 e4 e5 1 2 1 0 1 2 1 0 6 3 3 3 2 2 325 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0

  27. 2. Matriks Biner Matriks biner yg bersesuaian dg graf G tanpa loop dg n titik dan k garis adalah matriks A ukuran nxk yg elemennya adalah aij= 1 jika titik vi berhubungan dg garis ej . 0 jika titik vitidak berhubungan dg garis ej . Contoh Diketahui graf G sbb tentukan matriks binernya dan derajat totalnya Jawab Ada 6 titik dan 8 garis dalam graf G, maka matriks A yg bersesuaian dg graf G tersebut berukuran 6x8 ( 6 baris dan 8 kolom)yaitu d(v1)=1+0+0+0+0+1+0+0= 2 A= d(v2)= 4, d(v3)=1, d(v4)=4 d(v5)=3, d(v6)=2 Jadi derajat totalnya adalah 16 v6 v3 e7 e8 e2 e3 v2 v4 e5 e4 e1 v5 e6 v1 e1 e7 e6 e2 e5 e4 e3 e8 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 v1 v2 v3 v4 v5 v6

  28. Ada beberapa yg didapat pada matriks biner sbb • Ada korespodensi satu satu antara graf G dan matriks biner A • Setiap garis berhubungan dg dua titik (krn tdk memiliki loop), shingga setiap kolom ada 2 buah elemen 1 lainnya 0. • Jumlah elemen baris ke i adalah derajat titik vi , sedangkan derajat total graf G adalah jumlah semua elemen pd matriknya • Jika semua elemen pada baris ke-i adalah 0, maka titik vi, adalah titik terasing • Dua kolom elemennya sama menyatakan garis yg paralel. 3. Matrik Sirkuit Matriks sirkuit A= (aij) yg bersesuaian dg graf G yg memuat q sirkuit sederhana dan e buah garis adalah matrik yg terdidri dari q baris dan e kolom dg elemen sbb aij = 1 jika sirkuit ke i memuat garis ke j 0 jika sirkuit ke i tidak memuat garis ke j Contoh Tentukan matriks sirkuit yg sesuai dg graf diatas.

  29. jawab Graf tsb ada 8 garis (e1e1 e1 e1 e1 e1 e1 e1 ) dan 4 sirkuit ( s1s1 s1 s1 s1 s1 ) sederhana masing masing s1=e7 s8 , s2 = e3 e4 e5 ; s3 =e1 e4 e6 ; s4 = e1 e3 e5 e6 Selanjutnya didapat matriks sirkuit sbb e1 e1 e1 e1 e1 e1 e1 e1 A = s1 s1 s1 s1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0

  30. Representasi graf berarah dalam Matriks Hampis seperti graf tdk berarah , bedanya hanya terletak pada informasi tentang arah garisnya 1 Matriks hubung Matriks hubung yg sesuai dg graf berarah G yg terdiri dari n titik tanpa garis paralel adl matriks bujur sangkar n x n , yaitu A = (aij )dengan aij = 1 jika ada garis dari titik vi ke titik vj 0 jika tidak ada garis dari titik vi ke titik vj Contoh Nyatakan graf dibawah ke dalam matriks hubung v1 v2 v3 v4 v5 Jawab graf terdiri dari 5 titik sehingga matrik hubungnya v1 v2 v3 v4 v5 adalah matriks bujur sangkar 5 x 5 A = v1 v2 v3 v4 v5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

  31. Ada beberapa hal yg dapat digunakan pada matriks hubung untuk graf gerarah • Banyaknya garis yg keluar dari vi (derajat keluar) sama dg banyaknya elemen 1 pd baris ke i dan banyaknya garis yg mesuk dari vi (derajat masuk) sama dg banyaknya elemen 1 pd kolom ke i .banyak totalgaris pada G adl banyaknya elemen 1 pada matriks hubungnya. • Graf tdk memiliki loop semua elemen diagonalnya nol, jika ada loop pada ttk vi elemen aii =1. • Graf tdk terhubung yg terdiri dari k komponen matriks hubungnya berbentuk dimana O=matrik semua elemennya 0 A= matriks hubung komponen ke i bent bjr sangkar A1 O ........ O O A2 ...... O .. .. ...... .. O O ...... Ak

  32. Matrik Sirkuit adalah

  33. Pohon (Tree) Pohon merupakan salah satu kasus husus graf, dan ini banyak dipakai dalam struktur data Definisi Pohon adalah graf sederhana G bila G terhubung dan tdk memuat sirkuit Pohon semu adalah pohon yg terdiri dari satu titik Hutan adalah graf sederhana G bila tdk terhubung dan tidak memuat sirkuit Contoh Tentukan apakah graf G berikut poho atau hutan a) c) jawab merupakan hutan krn graft dk trhubung Jawab merupakan pohon krn grafnya terhubung dan tdk ada sirkuit b) Jawab bukan merupakan pohon karena ada sirkuit v1 v1 v1 v1 v1 v1 v2 v3 v1 v1 v1 v1 v4 v5 v6 v7 v8 v1 v1 v1 v3 v4 v1 v5 v1

  34. definisi Daun (terminal vertex)adalah pohon T yg mempunyai derajat 1 Cabang (interval vertek) adalah pohon T yg mempunyai derajat lebih besar 1 Contoh Tentukan daun dan cabang pada pohon T berikut jawab mencari derajat masing masing titik dalam pohon T d(v1)=2; d(v3)=2 ; d(v3)=3 d(v4)=1; d(v5)=1; d(v6)=1; d(v7)=1 ; d(v8)=1 d(v1)=2 berarti daunnya adalah v4, v5, v6 v7 v8 titik cabangnya adalah v1 ,v2 ,v3 Teorema : Pohon T dg n titik akan memiliki (n-1) garis Misal T’ adalah pohon sprti T tetapi titik dan garisnya masing2 dikurangi 1 P(k) adalah pohon dg k titik berarti ada k-1 garis Jumlah garis dalam T = jumlah garis dalam T’ + 1 = (k-1) + 1 = k Jadi terbukti pohon Tadl pohon dg (k+1) titik memiliki k garis v1 v2 v3 v6 v8 v7 v4 v5

  35. lanjut Pohon Berakar dan Pohon Biner Definisi Pohon Berakar adalah suatu pohon dimana ada suatu titik dihususkan dari yg lain, titik husus itu disebut akar. Tingkat suatu titik adalah banyaknya grs antara titik tersebut dg akar Tinggi pohon adalah tingkat maksimum yg dimiliki titik-titik pada pohon Anak dari titik v adalah semua titik yg berhubungan langsung dg titik v ttp yg memiliki tingkat yg lebih tinggi dari v, sedangkan v disebut orang tua Dua titik memiliki orang tua yg sama disebut saudara(sibling). Contoh Perhatikan graf G berikut jawab Dg v2 sbg akar a) tingkat v4adl jml grs antara v4dg akar =1 Tentukan tingkat v1=tingkat v6=tingkat v5=1 tingkat v3= 2, tingkat v7=tingkat v8=3 • Tingkat tiap-tiap titik b)tinggi pohon(ttk terjauh dari akar) adl 3 • Tinggi pohon • Anak, orang tua, saudara v1. c)anak v1 adalah v3, orang tua v1 adl v2 • Pertanyaan a,b, c untuk akarnya v1 saudara v1adl v4, v5,dan v6 v2 v1 v5 v4 v6 v7 v8

  36. Definisi Pohon Biner Pohon biner adl pohon berakar yg setiap titiknya memiliki paling banyak 2 anak Pohon biner penuh adl pohon biner yg setiap titiknya memiliki 2 anak Dapat digunakan untuk menyatakan ekspresi aljabar dal pohon biner dg cara sbb Contoh Ekspresi aljabar x/y kalau dibuat bentuk pohon biner adalah Contoh Nyatakan ekspresi aljabar berikut dalam pohon biner / x y

  37. Pohon Rentangmerupakan salah satu bentuk husus dari pohon Definisi Pohon rentang suatu graf terhubung G adl subgraf G yg merupakan pohon dan memuat semua titik dalam G Dari definisi dapat dijelaskan bahwa garisnya bisa ada yg dihapus agar menjadi pohon, tetapi jika tidak ada sirkuit berarti graf G itu sendiri langsung menjadi pohon rentang Suatu graf bisa memiliki pohon rentang yg berbeda tetapi yg jelas dari pohon rentang tsb memiliki jumlah garis yg sama yaitu (k-1) dimana k adalah jumlah titik pada graf. Contoh diketahui graf berikut , buatlah pohon rentangnya Jawab Caranya menghilangkan garisnya satu persatu agar tidak ada sirkutnya ..

  38. Graf Berlabel Adalah graf yg setiap sisinya diberi bobot, Misal: bobot sisinya tentang jarak, biaya, waktu antar 2 kota, waktu tempuh pesan antar simpul komunikasi (dlm jaringan komputer) dsb. contoh Dalam suatu propinsi ada 8 kota (A,B,C,D,E,F,G,H)yg akan dihubungkan dg jaringan listrik yg mungkin dibuat antar dua kota sbb • Nyatan masalah tsb dalam graf berlabel • Buatlah matriks hubungnya

  39. Lintasan Minimum Lintasa minimumdipilih dari simpul tertentu kesemua simpul yglain. Algoritma Dijktra Misal: ada n buah simpul dg matrikketetanggan M = [ m ij] dimana m ij= bobot sisi (i,j) pd graf tak berarah m ij= mji, ,mii=0, dan m ij= θ Larik S = [si ] dimana si=1 temasuk lintasan terpendek si=0 tdk masuk lin. Terpendek larik/tabel D=[di] dimana di=panjang lin dr awal s ke simp. i Langkah-langkah mencari lintasan terpendek #Langkah 0 (inisialisasi) -Inisialisasisi=0 dan di=mai,unt. i=1,2,…..n nilai a sdh ada, untu mengisi baris selanjutnya # langkah 1: - isikan sa=1(krn simpul a adl simpul asal jadi sdh pasti terpilih) • isikan da=∞(tdk ada path terpendekdari a ke a ) Langkah 2,3,…(n-1) - cari j sedemikian hingga sj=0 dan dj=min{ d1,……dn} didapat kolom yg diinginkan - isi sjdgn1 untuk mengisi baris selanjutnya - perbarui di, unt. i=1,2,3,….n dgn ketentuan sbb di(baru)=min{di(lama),dj+mji} nilai j sudah tertentu(ada)

  40. contoh 1500 Diketahui graf berarah yg menyatakan jarak antar kota di pulau jawa sbb E D B C F A G Tentukan path minimumnya H A B C D E F G H jawab . matriks hubungnya sbb F G 1200 250 1000 800 10000 300 1400 900 1700 1000 A B C D E H

  41. lanjut Simpul awal E, dengan tabulasi berikut pilih lintasa S D Simpul 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 - - 0 0 0 0 0 0 0 0 - - - 1500 0 250 - - 5 5 0 0 0 0 1 0 0 0 - - - 1500 - 250 - - 6 5, 6, 0 0 0 0 1 1 0 0 - - - 250+1000 - 250 250+900 250+1400 7 5, 6, 7 0 0 0 0 1 1 1 0 - - - 1250 - 250 1150 1650 4 5, 6, 4 0 0 0 1 1 1 1 0 - - 1250+1200 1250 - 250 1150 1650 8 5, 6, 8 0 0 0 1 1 1 1 1 1650+1700 - 2450 1250 - 250 1150 1650 3 5, 6, 4, 3 0 0 1 1 1 1 1 1 3350 2450+800 2450 1250 - 250 1150 1650 2 5, 6, 4, 3, 2 0 1 1 1 1 1 1 1 3350 3250 2450 1250 - 250 1150 1650 1 5, 6, 8 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3350 3250 2450 1250 - 250 1150 1650 Jadi path minimum dari 5 ke 6 adalah 5, 6 dengan panjang 250 5 ke 7 adalah 5, 6, 7 dengan panjang 1150 5 ke 4 adalah 5, 6, 4 dengan panjang 1250 5 ke 8 adalah 5, 6, 8 dengan panjang 1650 5 ke 3 adalah 5, 6, 4, 3 dengan panjang 2450 5 ke 2 adalah 5, 6, 4, 3, 2 dengan panjang 3250 5 ke 1 adalah 5, 6, 8, 1 dengan panjang 3350

More Related