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Faculdade de Engenharia e Inovação Técnico Profissional. Av. Itororó, 1445 CEP: 87010-460 - Maringá - Pr. Introdução à Relatividade. Prof°. Antônio Oliveira de Souza 01 / 11 / 2013. Relatividade Especial – Dilatação Temporal.
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Faculdade de Engenharia e Inovação Técnico Profissional Av. Itororó, 1445CEP: 87010-460 - Maringá - Pr Introdução à Relatividade Prof°. Antônio Oliveira de Souza 01 / 11 / 2013
Relatividade Especial – Dilatação Temporal É bom lembrar que a prova de Física Geral e Experimental III está marcada, não devemos “marcar”!
Relatividade Especial – Dilatação Temporal Vamos trabalhar duro pois o conteúdo será tudo dado no segundo bimestre.
1.0 – Introdução • No final do século XIX, muitos físicos acreditavam que a tarefa da física tinha terminado, que nada mais havia para descobrir; restava alguns “pequenos” problemas para resolver. • Com o passar do tempo, porém, perceberam que esses problemas não eram tão pequenos quanto pensavam. • Por isso, só puderam ser resolvidos com a criação de duas novas teorias: a Teoria da Relatividade e a Mecânica Quântica. • Essas teorias revolucionaram a Física no início do século XX e ajudaram a conhecer muito da estrutura da matéria. • Obs: A relatividade trata de corpos que viajam com velocidades iguais (ou próximas) à velocidade da Luz.
A Física desenvolvida a partir do início do século XX passou a ser chamada de Física Moderna, enquanto que a Física desenvolvida anteriormente ficou conhecida como Física Clássica. • 2.0 – A Origem da Teoria da Relatividade • A Teoria da Relatividade foi criada por Albert Einstein (1879-1955) em duas etapas: • em 1905 ele publicou um trabalho que mais tarde ficou conhecido pelo nome de Teoria da Relatividade Especial, que trata do movimento uniforme (isto é, movimento em que a aceleração é nula e a velocidade é constante e não nula).
em 1915, publicou a Teoria da Relatividade Geral, que trata do movimento acelerado e da gravitação. • Antes, porém, de passar à apresentação das teorias, vamos considerar os fatos que levaram Einstein à criação da Teoria da Relatividade. • 2.1 – Teoria da Relatividade Especial • 2.1.1 o Problema da Luz • O primeiro desses problemas referia-se ao comportamento da luz. • De acordo com a teoria eletromagnética, a luz é constituída de campos elétricos e magnéticos que oscilam enquanto viajam. • Einstein então se perguntava: o que aconteceria se eu acompanhasse um feixe de luz mantendo a mesma velocidade da luz?
Ele chegou à seguinte resposta: a luz pareceria algo imóvel e sem alteração. • Mas isso lhe pareceu absurdo, pois o que caracteriza a luz é exatamente a alteração contínua dos campos; um pulso de luz estático não poderia existir. • 2.2 – O problema do Eletromagnetismo • O segundo problema que afligia Einstein era a falta de simetria observada em alguns fenômenos eletromagnéticos. • Consideremos, por exemplo, o caso apresentado na Figura 1. • Uma moça A está fixa no solo e observa um vagão que se move em linha reta e com velocidade constante.
Figura 1 - Duas esferas carregadas x e y. • Dentro do vagão há um rapaz B que segura duas esferas carregadasx e y. Suponhamos que a reta que une x e y seja perpendicular à velocidade do vagão. • Para o rapaz B, as esferas estão em repouso; assim existe um par de forças eletrostáticas dadas pela lei de Coulomb. • Porém, para a moça A, as esferas movem-se em trajetórias paralelas com velocidade v. Assim, para a moça A, além das forças dadas pela lei de Coulomb, há um par de forças magnéticas entre as esferas. Desse modo, a força resultante em cada esfera depende do observador.
Para Einstein, essa conclusão era insuportável, pois naMecânica isso não ocorria. Quando temos dois referenciais inerciais, um movendo-se com velocidade constante em relação ao outro, as leis da Mecânica são as mesmas nos dois referenciais. • Um experimento mecânico dará o mesmo resultado nos dois referenciais, isto é, por meio de um experimento mecânico, não podemos determinar se o referencial está parado ou em movimento retilíneo uniforme. • Na situação representada na Figura 2, o rapa B está sobre um vagão que se move com velocidade constante v em relação ao solo.
Figura 2 – Vagão com velocidade constante. • Suponhamos que o rapaz jogue uma bola para cima. A bola subirá e cairá novamente em sua mão, do mesmo modo que subiria e cairia se o vagão estivesse em repouso em relação ao solo. • Naturalmente, para uma moça A, fixa em relação ao solo (Figura 3), a trajetória da bola será uma parábola, e a velocidade da bola terá valores diferentes para os dois observadores.
Figura 3 – Situação vista pela moça. • No entanto, para os dois observadores a aceleração da bola será a mesma (aceleração da gravidade) e a força resultante sobre a bola será a mesma (o peso). • Nenhum dos experimentos ilustrados pelas Figuras 2 e 3 poderá revelar se o vagão está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. • Portanto, ao contrário da Mecânica, as leis do Eletromagnetismo pareciam depender do referencial.
Dentro do vagão, o rapaz B poderia jogar uma partida de pingue-pongue ou peixinhos poderiam nadar num aquário do mesmo modo que o fariam se o vagão estivesse em repouso. • 3.0 – Os Postulados de Einstein • Albert Einstein apresentou a solução desses problemas em um trabalho intitulado “Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento”, publicado em 1905 numa revista científica alemã chamada Anais da Física. • A argumentação de Einstein se desenvolveu a partir de dois postulados, isto é, de duas afirmações consideradas válidas sem a necessidade de demonstração.
O Primeiro desses postulados foi chamado por Einstein de Princípio de Relatividade: • As leis da Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. • Portanto, tanto as leis da Mecânica como as leis do Eletromagnetismo devem ter a mesma formulação em qualquer referencial inercial. • O Segundo postulado refere-se à velocidade da luz; • A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em qualquer referencial inercial, independentemente da velocidade da fonte de luz. • O segundo postulado foi o mais difícil de ser aceito, mesmo por físicos famosos, pois contraria nossa experiência diária.
A Figura 4 considera uma moça A, fixa em relação ao solo, e um vagão movendo-se com velocidade v em relação ao solo. • Dentro do vagão há uma bola que se move com velocidade vB em relação ao vagão. Desse modo, para o rapaz B, que está fixo em relação ao vagão, a velocidade da bola é vB. • No entanto, para a moça A, a velocidade da bola é: vB + v. Figura 4 – Rapaz fixo em relação à bola.
No caso da luz as coisas são diferentes. • Na Figura 5 representamos uma moça a, fixa em relação ao solo, que se observa um vagão cuja velocidade em relação ao solo é v. • Dentro do vagão um rapaz B acende uma lanterna de modo que, para o rapaz B, a velocidade da luz é c. Figura 5 – Lanterna acesa dentro do vagão em movimento.
De acordo com o Segundo postulado de Einstein, para a moça A, a velocidade da luz emitida pela lanterna também é c e nãoc + v. logo, tanto para a moça A como para o rapaz B a velocidade da luz é c. • 4.0 – A Dilatação Temporal • Vamos supor que queiramos medir o intervalo de tempo gasto para ocorrer um fenômeno. • Uma das consequências dos postulados de Einstein é que o valor desse intervalo de tempo vai depender do referencial em que está o observador. • Se tivermos dois observadores situados em dois referenciais inerciais diferentes, um tendo velocidade constante em relação ao outro, os intervalos de tempo medidos por esses observadores são diferentes.
Para demonstrar isso, consideramos um trem que se move com velocidade v constante em relação ao solo, Figura 6. • (a) (b) • Figura 6. – Trem que se move com velocidade constante em relação ao solo.
Dentro do vagão há um observador O’, fixo em relação ao vagão, e fora dele há um observador O, fixo em relação ao solo. • O observador O’ aciona uma fonte de luz que emite um pulso para cima. Esse pulso é refletido por um espelho e volta para a fonte. • Para o observador O’, na ida e na volta o pulso de luz gasta um intervalo de tempo t’ dado por • (1) • em que c é a velocidade da luz. • Na Figura 6(a) representamos o trajeto da luz como é visto pelo observador O, o qual mede um tempo t para o percurso da luz.
Nesse intervalo de tempo, para o observador O o deslocamento do trem foi igual a v ∙ (t) enquanto o deslocamento da luz, de acordo com a Figura 7, foi • (2) • pois a velocidade da luz é a mesma (c) para os dois observadores. Figura 7 – Representação geométrica da luz vista por O.
Das Eqs. (1) e (2), obteremos: • (3) • (4) • Como d é a hipotenusa do triângulo da Fig. 7 e d’ é um cateto, logo concluímos que • O que implica que
Daí podemos concluir que um relógio que está em um referencial que se move em relação a nós “anda” mais devagar do que nosso relógio. • Essa relação vale para todos os processos físicos, incluindo reações químicas e processos biológicos. • O intervalo de tempo t’, em que os dois eventos (emissão e recepção da luz) ocorrem no mesmo local, é chamado de tempo próprio. • Para qualquer outro referencial inercial o intervalo de tempo t émaior do que o tempo próprio.
Vamos agora encontrar uma equação que relacione t e t’. • Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo sombreado na Figura 7, temos: • (5)
5.0 – Contração do Comprimento • Suponhamos que um objeto tenha comprimento L’ quando em repouso em relação a um observador, conforme Figura 8. • Einstein mostrou que, quando se move com velocidade v (em relação a esse mesmo observador) na mesma direção em que foi medido o comprimento, conforme Figura 9, esse objeto apresenta um comprimento L tal que: • (6) Figura 8 – Objeto em repouso.
Figura 9 – Objeto em movimento. • Observe que o comprimento h não se altera. • Dizemos então que houve uma alteração de comprimento. • A equação que relaciona L e L’ é: • (7)
Na Figura 10(a) mostramos um cubo em repouso. Quando esse cubo se move para a direita com velocidade próxima de c, a imagem observada tem o aspecto da Figura 10 (b). • Figura 10 – (a) objeto em repouso e (b) objeto em movimento.
6.0 – Momento Linear • Na Mecânica Clássica, um corpo de massa m e velocidade v possui Momento Linear p dada por • (8) • Essa definição é adequada quando o módulo de v é pequeno comparado à velocidade da luz. • Porém, quando as velocidades são “altas”, para que seja mantido o Princípio da Conservação de Momento Linear, verifica-se que p deve ser dada por: • (9) • ondem0 é a massa de repouso.
Se fizermos • (10) • onde é chamado de fator de Lorentz, a Eq. (9) pode ser • (11) • Para que a Eq. (11) fique igual à Eq. (8), podemos definir a massa relativística m por: • (12)
Observando a Eq. (9), vemos que, à medida que a velocidade v se aproxima de c, o denominador da fração aproxima-se de zero e o momento linear fica infinitamente grande. • Para que isso ocorra, é necessário um impulso infinito, o que não é possível. • Portanto, nenhum corpo pode atingir a velocidade da luz. • 7.0 – Massa e Energia • Entre o grande público, o aspecto mais conhecido da Teoria da relatividade é, em dúvida, a equação • (13)
que relaciona a massa (m) com a energia (E). • O significado dessa equação, contudo, é bem mais complicado do que pode parecer à primeira vista. • Antes de considerá-la, vamos analisar o significado de uma equação parecida com ela: • (14) • Como foi dito, Einstein introduziu a Teoria da Relatividade em seu trabalho “Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento”, escrito em junho de 1905. • Em setembro do mesmo ano, ele publicou mais um pequeno trabalho, complementando o anterior, intitulado “A inércia de um corpo depende de seu conteúdo de energia?”.
Nesse trabalho ele mostrou que a massa inercial de um corpo varia cada vez que esse corpo ganha ou perde energia, qualquer que seja o tipo de energia. • Se um corpo receber uma quantidade de energia E, sua massa inercial terá um aumento m dado por: • Do mesmo modo, se o corpo perder energia, sua massa inercial irá diminuir. • Assim, a massa de um tijolo quente é maior do que a massa de um tijolo frio; • Uma mola comprimida (ou alongada) tem massa maior do que quando não estava comprimida (ou alongada), pois o acréscimo de energia potencial elástica ocasiona um aumento da massa inercial da mola.
Essa variação de massa é tão pequena que as balanças não conseguem determiná-la. • Só foi possível observar a validade da Eq. (13) de Einstein quando s físicos conseguiram analisar as transformações com os núcleos dos átomos, pois durante essas transformações, as variações de massas são muito maiores do que ocorrem em uma reação química entre elétrons. • Portanto, a Eq. (13) de Einstein diz que: • A energia produz aumento da massa porque tem inércia, isto é, a energia tem massa. • Podemos dizer, então, é que a equação de Einstein exprime uma proporcionalidade entre os valores numéricos das variações de massa e energia.
8.0 – Teoria da Relatividade Geral • Na Teoria da Relatividade Especial, Einstein analisa as leis da Física em referencias. • Em 1915, ele publica sua Teoria da Relatividade Geral em que analisa as leis da Física em referenciais acelerados e desenvolve uma nova teoria da Gravitação. • Vamos comentar aqui apenas alguns aspectos da teoria da gravitação. • Para explicar a atração gravitacional entre corpos, Einstein abandona a noção newtoniana de força e introduz a noção de espaço curvo.
Para Einstein, os corpos produzem em torno de si uma curvatura do espaço, sendo que, quanto maior a massa do corpo, maior será a curvatura. • Podemos fazer uma analogia com a situação representada na Figura 11. • Figura 11 – Espaço curvo.
Na Figura 11 temos uma bola de ferro B colocada sobre uma superfície elástica. • A bola de ferro deforma a superfície de modo que o corpo C vai em direção a B não porque haja uma força de atração, mas sim porque segue a linha do espaço curvo. • A teoria de Einstein previa que a luz também seria atraída pelos corpos, mas esse efeito seria pequeno e, assim, só poderia ser observado quando a luz passasse perto de corpos de grande massa, como por exemplo o Sol, conforme Figura 12. Figura 12 – A luz é desviada.
A confirmação dessa teoria aconteceu em 19 de aio de 1919. • Nesse dia ocorreu eclipse do Sol que propiciou a obtenção de fotos de estrelas durante o dia. • Comparando-se a posição obtida da estrela (posição aparente) com a posição em que ela deveria estar, seria possível constatar se o raio de luz sofre desvio ao passar perto do Sol. • Para garantir bons resultados da observação do eclipse, uma equipe de astrônomos ingleses foi enviada para a cidade de Sobral, no Ceará, e a outra para a ilha de Príncipe (África Ocidental). • A equipe de Sobral foi mais feliz, pois na ilha de Príncipe o céu estava um pouco encoberto, com nuvens.
Desse episódio ficou famosa uma frase pronunciada por Einstein algum tempo depois: • “O problema concebido por meu cérebro foi resolvido pelo luminoso céu do Brasil” • Referências • HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J., Fundamentos de Física, vol. 4- 8ªed. Editora Livros técnicos e Científicos S.A. Rio de Janeiro - 2009.
