1 / 16

Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma. Nándori Péter (V.) Témavezető: Dr. Szász Domokos (BME MI). Definíció (Sinai, 1981). Legyen E véges (megszámlálható) halmaz. A ξ n , H-n értelmezett Markov láncot belső állapotú bolyongásnak nevezzük, ha:.

Download Presentation

Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma Nándori Péter (V.) Témavezető: Dr. Szász Domokos (BME MI)

  2. Definíció (Sinai, 1981) Legyen E véges (megszámlálható) halmaz. A ξn, H-n értelmezett Markov láncot belső állapotú bolyongásnak nevezzük, ha: Ekkor nyilvánvaló módon (ε0,ε1,…) is Markov lánc. Továbbiakban RWwIS (a Random Walk with Internal States kifejezés rövidítéséből). Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  3. Alap feltevések • (ε0,ε1,…) irreducibilis, aperiodikus M.L. (μ stacionáris mértékkel) • Triviális aritmetika • Egy lépés várható értéke 0, ha ε ~ μ • A (σl,m)l,m=1…d mátrix pozitív definit, ahol: Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  4. A meglátogatott pontok száma Célunk: aszimptotikus becslést adni Ed(n)-re, és Vd(n)-re. Egyszerű szimmetrikus véletlen bolyongásra (továbbiakban SSRW) ismertek ilyen becslések (Dvoretzky-Erdős, 1951). Lorentz folyamatra E2(n)-re ismert becslés (Péne, 2007). Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  5. 1. példa: 3 dimenziós RWwIS Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  6. 2. példa: 2 dimenziós RWwIS Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  7. Tétel Ed(n)-ről (d>2) • SSRW (Dvoretzky-Erdős) • Az alap feltevéseknek eleget tevő RWwIS-re tetszőleges eloszlású ε0 esetén Megfelelő, a RWwIS-től függő γd és βd konstansokkal: Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  8. SSRW RWwIS Tétel Vd(n)-ről (d>2) Az eredeti bizonyításban szereplő egy szimmetria érvelés RWwIS esetén nem érvényes, innen adódik, hogy gyengébb becslést kapunk, mint SSRW esetén. A becslések nem optimálisak, de… Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  9. Következmények Nagy számok gyenge törvénye: Bizonyítás: Vd(n)=o(n2) miatt a Csebisev egyenlőtlenségből következik. Nagy számok erős törvénye: Bizonyítás: nehezebb, Vd(n)=O(n2-ε)-t használja. Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  10. A lokális tételről 1. A d=2 eset egyik nehézségét adja. Tétel (Krámli-Szász,1984): ahol gσ a 0 várható értékű, σ kovariancia mátrixú normális eloszlás sűrűsége. Speciálisan: d=2-re a hibatag nem összegezhető! Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  11. A lokális tételről 2. Lokális határeloszlás-tétel hibataggal: Feltéve, hogy a bolyongás csak véges sok helyre léphet, 1 dimenzióban igaz: A levont kifejezés ugyanaz, mint a Petrov tételben független valószínűségi változók esetén. Magasabb dimenzióban: 2 dimenzióban összegezhető a hibatag! Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  12. A lokális tételről 3. Bizonyítás gondolata: operátor értékű Fourier transzformált. α(0)=Q, az (ε0,ε1,ε2,…) Markov lánc átmenet mátrixa. Q legnagyobb abszolútértékű sajátértéke 1, ezt fejtjük sorba a nulla körül, a megfelelő perturbációelméleti tételre hivatkozva. A klasszikus esetben (Krámli-Szász) a 2. tagig tekintjük a sorfejtést, jelen esetben a 3. tagig. Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  13. Szimulációk két dimenzióban 1. Dvoretzky-Erdős tétele SSRW-ra: Ez alapján sejthető, hogy RWwIS-re is ugyanez az aszimptotika, csak más konstanssal. Szimulációk: Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  14. Szimulációk két dimenzióban 2. RWwIS-re E2(n)-et c*n/log(n) – nek feltételezve c-re adott becslések Számítógépes szimulációk (10k hosszú trajektóriából 107-k db-ot generálva) alapján: Tanulság: Az aszimptotikus viselkedés megsejthető, a konstans nem (cI=). Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  15. Tétel E2(n)-ről és V2(n)-ről a feltételeknek eleget tevő RWwIS-re, tetszőleges eloszlású ε0 esetén. • SSRW – hoz képest E2(n) főtagja csak konstans szorzóban tér el. • Következmény: nagy számok gyenge törvénye (ugyanúgy, mint magas dimenzióban). • Nagy számok erős törvénye: SSRW esetén is nehéz, és megoldatlan RWwIS esetén! Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

  16. Köszönöm a figyelmet!

More Related