Mathematical Analysis

1. Mathematical Analysis 数学分析

2. 序 数学分析教材结构解读

3. 全书分两册，共讲授四个学期，合计286学时。 上册：一元微积分，讲授两个学期； 下册：级数与多元微积分，讲授两个学期。

4. 本学期讲授内容： 第一章至第六章第二节（pp1-133)

5. 第一章 实数集与函数 6学时 奠定基础：初步了解实数系统的完备性，其核心是确界原理。 复习巩固：对实数的基本性质，函数的概念、性质进行复习和梳理。 本章解决微积分的基础与对象问题。

6. 第二章 数列极限 6学时 工具基础：微积分研究的基本手段是函数的极限，本节数列极限的理论是为函数极限做铺垫。 主要内容：明确数列极限的概念、基本运算与性质，极限存在与否的判别条件。 突出难点：通过有限认识无限的精细思维。

7. 第三章 函数极限 10学时 课程工具：微积分研究的基本手段。 主要内容：明确函数极限的概念、基本运算与性质，极限存在与否的判别条件，两个重要极限及其应用，无穷量及其比较、应用。 突出难点：以“静”识“动”的精细思维。

8. 第四章 函数的连续性 12学时 基础对象：连续函数是微积分关注的基础对象。 主要内容：函数连续的概念、性质，间断点及其分类，初等函数的连续性。 突出难点：连续函数的性质（抽象），尤其是闭区间上连续函数的性质，一致连续函数的性质，精细的逻辑分析。

9. 第五章 导数和微分 10学时 第一内容：导数和微分是微积分研究的第一内容，主要研究函数的局部变化性质。 主要内容：函数导数与微分的基本概念、运算法则、基本性质、意义价值。 本章解决微分、导数的计算问题，难度不大。

10. 第六章 微分中值定理及其应用（1） 6学时 应用基础：微分中值定理是用局部变化描述整体变化的重要工具，是微分学应用的基础，也是微分、积分的桥梁。 主要内容：微分中值定理及其推广形式。 本章解决微分的深刻性质，是微分学应用的基础。

11. 第一章 实 数 集 与 函 数

12. 第一章 实数集与函数 §1 实数 §2 数集 确界原理 §3 函数概念 §4 具有某些特性的函数

13. 第一讲 §1 实数

14. 1 实数及其性质 Real Numbers and Their Properties

15. 本节及下一节的根本目的：弄清实数基本性质，尤其是建立实数完备性本节及下一节的根本目的：弄清实数基本性质，尤其是建立实数完备性 • 传统的处理方法 • 视为公理； • 利用实数的直观表示：无限小数； • 利用戴德金分割理论。

16. 回忆—— 什么是“数” ？ 数是用来反映量的，是量的抽象. 自然数：0，1，2，3，…. 分数：有限小数或无限循环小数. 分数都是有限小数或无限循环小数，反之亦然.

17. 整数（integer)：0，. 有理数（rational number): 0 和正负分数. 无理数（irrational number): 正负无限不循环小数. • 记号： • 有理数集 Q； • 实数集 R 实数

18. （一）有理数集的性质 • 有理数集是最小的数域（代数性质） 有理数的运算及其法则来源于整数；有理数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且乘法对加法满足分配律，具有这种性质的数集叫做数域。

19. 有理数是有序的、可数的（集合性质） • 像自然数一样，有理数可以比较大小，是有序的，因此可以在数轴上排列出来。可以与自然数一一对应。 -10½1

20. 有理数在数轴上是稠密的、和谐的（几何性质）。有理数在数轴上是稠密的、和谐的（几何性质）。 稠密性：任意两个有理数之间，必然存在第三个有理数，而不管这两个有理数有多么接近。 和谐性：有理数之间相处得亲密无间，对任意一个给定的有理数，永远找不到一个与之最接近的有理数。

21. x 1 1 0 这里有有理数 这两位之间有有理数

22. 看 看 有理数 优 点 从代数上看， 有理数在四则运算下是封闭的， 构成一个数域。 从几何上看，有理数在数轴上是稠密的， 因此，要去度量任何一件实际事物， 不论要求多高的精度， 只要有理数就够了。 从集合上看，有理数是有序的、可数的， 可以在数轴上排列出来， 可以与自然数一一对应。

23. 从代数上看，有理数在开方运算下不封闭； • 从几何上看，有理数在数轴上还有许多缝隙； • 从分析上看，有理数对极限运算不封闭。 说说有理数的缺陷

24. （二）实数数集及其性质 • 实数数集产生的必要性 • 实数的表示 • 实数集的性质

25. 1. 实数数集产生的必要性 • 由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理数进行扩充，关于极限的运算就无法进行，从而也就不会有微积分。 • 有理数扩充的直接结果是实数集。 • 关于实数，长期以来，人们只是直觉地去认识：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，有理数与无理数统称为实数。

26. 问题： • 如何定义实数？如何表示实数？ • 实数是否能够填满整个数轴？ • 实数是否是有序的？ • 实数运算如何进行？法则如何？

27. 19世纪，德国数学家 康托（G. Cantor, 1845---1918）、 戴德金(J. W. R. Dedekind, 1831—1916) 、 魏尔斯特拉斯（ K. W. T. Weierstrass, 1815—1897 ） 通过对无理数本质进行深入研究，奠定了实数构造理论，明确解决了以上问题。

28. 1845年出生于圣彼得堡，犹太人后裔。 • 11 岁时进入德国，1867 年获柏林大学的博士学位，1872 年升为教授。 • 1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。

29. 戴德金﹐R. (Dedekind, Richard) 1831年10月 6日生于德国不伦瑞克； • 1916 年2月12 日卒于不伦瑞克。 • 数学家。 2. 实数集的代数属性

30. Weierstrass(1815 ～1897)德国数学家 • 先修财务、管理、法律，后学数学 • 1854年，哥尼斯堡大学名誉博士；1856年，柏林科学院院士 • 数论、几何、复分析

31. 戴德金实数构造论 • 基本思想： • 利用已知对象（有理数）引入并研究未知对象（实数）。 • 从特殊到一般，从具体到抽象。 • 类比原理。 • 具体做法见本节附录

32. 小结 通过本节课同学们应该宏观上了解微积分产生的背景、建立者、基本观念，以及研究对象、内容与方法；明白有理数的基本性质，明白实数引入的必要性。

33. 习 题 预习第1、2节 End

34. 附 戴德金实数构造论 Dedekind ‘s Real Number Construction Theory

35. 戴德金实数构造论 • 基本思想： • 利用已知对象（有理数）引入并研究未知对象（实数）。 • 从特殊到一般，从具体到抽象。 • 类比原理。

36. 看一个特殊的无理数 ： 这个无理数把全体有理数分为两类：A和A′。 A中的有理数比它小，而A′中的有理数比它大。而且

37. 再看另一个特殊的无理数 ： 这个无理数也把全体有理数分为两类：B和B′。 B中的有理数比它小，而B′中的有理数比它大。而且

38. 如此，对于一个给定的无理数 r，它可以把有理数集唯一地进行一种分划X与X ′，其中X中的有理数比它小，而X′中的有理数比它大。而且 由于对应r的分划X与X ′是唯一的，可以记

39. 定义 X与X ′是有理数集Q的两个非空子集，满足以下三个条件： （1）凡X中的有理数均比X′中的有理数小； （2） X与X ′的并集是有理数集Q，即 （3）X中无最大数，即如果 r ∈X，则存在t∈X，使得 r < t. 则称X与X ′做成一个戴德金分割（X|X ′），它代表一个实数。

40. 注： • 根据上述定义，用一个戴德金分割（X|X ′）代表一个实数 r。这是完全抽象的定义。直观地讲，在数轴上实数 r是分割集X与X ′的分界点，X是左半集，X ′是右半集。 • 由于右半集X ′=Q\X由X唯一确定, 因此任何一个分割(X|X′)都可以简记为(X)，并称(X)为一个实数。

41. 定义要求左半集X中无最大数，但右半集X ′=Q\X中可能有最小数。如果X ′中有最小数，则这个最小数也是有理数，而分割（X）就代表这个有理数 ；如果X ′=Q\X中没有最小数，分割（X）就代表无理数 。 • 记作 r=（X） R，也记作 r R。

42. 实数集的基本性质 （1）实数集是有序集 实数集中可以定义顺序关系，使得任何两个实数均可排出顺序。

43. 定义 设 a = (A)、b = (B) R. • 如果A  B，则称 a 小于或等于 b，记作 a ≤ b 或 b ≥ a ； • 若 a ≤ b 且 b ≤ a ，则称 a 等于 b，记作 a=b ； • 若 a ≤ b 但a ≠ b ，则称 a 小于 b，也称 b 大于 a记作 a<b 或 b>a.

44. 结论a = (A) < b = (B)的充分必要条件是A  B，即A  B但A ≠ B. 而且此时B\A是一个无限集。 证明：首先，A  B但A ≠ B  a = (A) ≤ b = (B)但a ≠ b，a < b。 其次，要证B\A是一个无限集，由于有理数的稠密性，只需证B\A中包含至少两个元素. 反证：如果B\A中只包含一个元素 r，则B=A{r}，从而B中有最大数 r，这与条件（3）矛盾。

45. 性质（实数集是有序集） （1）有序性：对任何 a 、b ，关系 a<b ，a=b和 b<a ，三者必有一个成立； （2）传递性：若 a<b 且 b<c ，则 a<c 。 以上性质可以由上述定义以及集合性质直接证明。

46. （2）实数集是数域 实数集中可以定义四则运算，而且实数集在四则运算下是封闭的，加法、乘法满足结合律与交换律，乘法对加法满足分配律。

47. 实数四则运算定义 加法： 若 x = (A), y = (B)，则定义 x+ y= (Z) 其中 减法：若x+ y= 0 , 则称 -x=y。一般规定x-y=x+（-y）。

48. 乘法： 若x = (A) ≥ 0, y = (B) ≥ 0，则定义 xy= (Z) 其中 若x < 0, y ≥ 0，则定义 xy= (-x)y, yx= y(-x); 若x < 0, y < 0，则定义 xy= (- x)(-y) . 除法为乘法之逆。

49. （3）实数具有阿基米德(Archimedes)性质. 若x 、y R，x > y > 0，则存在正整数n，使得 ny > x . x 、y R，x > y > 0，nN，s.tny > x .

50. （4）实数集具有稠密性 任意两个实数之间，必然存在第三个（无穷多个）实数，而不管这两个实数有多么接近。 证明： a = (A) 、b = (B) R，设 a < b, 则B\A是一个无限集，因此存在有理数分割集C，使得 A  C  B 从而存在 c=（C）R，使得 a < c < b。