Mathematical Analysis

1. Mathematical Analysis 数学分析

2. 鱼 我的教学观 渔 道

3. 我的教学观 • 鱼 渔 道 • 知识 方法 思想 • What How Why

4. 第 0 章 数学分析概述 SZU

5. 1 2 数学分析的产生与发展 数学分析的对象、工具与内容 Introduction 3 如何学习数学分析 SZU

6. 1 数学分析的产生与发展 The Invention and Development of Mathematical Analysis

7. 数学分析 = 微积分 • 微积分是变量数学发展的标志； • 数学分析是微积分发展成熟后通用的名称； • 《数学分析》课程是普通高等学校数学类本科专业最重要的专业基础课程，也是历时最长、占学分最多的一门课程，是几乎所有后继数学课程的基础。

8. （1）微积分的建立 • 进入17世纪，科技发展给数学提出了四类问题： • 瞬时速度问题； • 曲线的切线； • 函数极值问题； • 求积问题(曲线长度、图形面积等)。

9. b. 英国数学家牛顿（Newton,1642---1727）和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646---1716)分别独立地建立了微积分。

10. 牛顿莱布尼茨

11. 名人说…… 微积分大体上是由牛顿和莱布尼茨完成的，但不是他们发明的。 ——恩格斯

12. c.牛顿、莱布尼茨对微积分的主要贡献 • 澄清概念——特别是建立导数（变化率）的概念； • 提炼方法——从解决具体问题的方法中提炼、创立出普遍适用的微积分方法； • 改变形式——把概念与方法的几何形式变成解析形式，使其应用更广泛； • 确定关系——确定微分和积分互为逆运算。

13. （2）微积分的特点 与以往的数学相比：微积分的突出特点是可以研究不断变化的事物现象 ——运动，是变量数学的标志。

14. （3）微积分的应用 从17世纪末到19世纪初，微积分理论被广泛而有效地应用于物理、天文等领域。

15. （4）微积分存在的问题 理论体系粗糙，极不严密。它的一些定理和公式在推导过程前后出现逻辑矛盾，使人们感到难以理解，这种矛盾集中体现在对“无穷小量”的理解与处理中。

16. （5）微积分的严密化 19世纪初，法国数学家柯西建立了严格的极限理论，后来德国数学家魏尔斯特拉斯等加以完善，从而形成了严密的实数理论。由此把微积分的无矛盾性问题归结为实数系统的无矛盾问题。严密化后的微积分就称为数学分析。

17. 微积分得以严密化的基础是： 实数系统的完备性（或连续性）

18. 2 数学分析的对象、工具与内容 The Objects,Tools, and Contents of Mathematical Analysis

19. 对象：函数 内容：微分、积分，以及连接微分与积分的桥梁——微积分基本定理。 工具：极限

20. 对象：函数 函数：物质世界的基本模型 世界是物质的，物质是运动的，运动是相互联系的。这种相互联系的物质运动大都可以被数学家抽象为以数量之间的变化关系为基本特征的数学模型——函数。数学模型是人类认识与改造世界的一个基本手段。

21. 有些事物的变化是离散的 比如： • 随着时间的推移，中国奥运金牌的数量； • 随着时间的推移，母鸡下蛋的数量； • 随着重量的增加，邮局邮寄包裹的价格； • 随着路程的增大，乘坐出租车的费用； ……

22. y y y x x x 0 0 0

23. 有些事物的变化则是连续的 比如： • 随着时间的推移，一辆汽车行走距离、速度的变化；人的动作； • 随着时间的推移，某地气温的变化； • 随着半径的增大，圆盘面积的变化； • 随着气压的增高，水的沸点的变化； ……

24. y y y x x x 0 0 0

25. 函数既有具有具体表达式的初等函数 • 常值函数； • 幂函数与根式函数； • 三角函数与反三角函数； • 指数函数与对数函数 • 通过它们的有限次四则运算、复合运算所得到的函数及其反函数。 ……

26. 也有更多的不能具体通过代数式表示、但却具有实际意义的函数，以及一般的抽象函数。也有更多的不能具体通过代数式表示、但却具有实际意义的函数，以及一般的抽象函数。

27. 微积分：研究连续性变化 连续性变化的情况涉及到每一个瞬间，涉及到“无穷小”的时间段内的变化情况，人类是无法精确捕捉到的。如何研究？ 动画片如何表现连续动作？ 切片！很短时间内的一种静止画面。

28. “微小的差异”是微分积分的奥秘！ 观察某一微小变化 =微分 连接一系列微小变化 =积分

29. 内容：微分、积分，二者关系 微分：函数的局部性质 函数表示的是因变量依赖于自变量的变化关系，函数值反映的是变化结果，但不能反映变化速度。函数的微分刻画的正是函数的瞬时变化速度。 平均速度 VS 瞬时速度

30. 积分：函数的整体性质 一个运动器每一时刻都有一个瞬时速度，从而会行走一段距离；但是在一定时间内，速度可能在变，如何知道变速运动在一定时间内的运行路程，这就是积分问题。积分问题是研究函数的整体变化性质。

31. 对于一个给定函数来说，局部与整体是一个事物的两个方面，二者是对立的统一。对于一个给定函数来说，局部与整体是一个事物的两个方面，二者是对立的统一。 因此，微分与积分具有密切关系，积分问题是由函数的局部性质研究整体性质。建立二者关系的桥梁是 微积分基本定理——牛顿-莱布尼茨公式。

32. 工具：极限 极限：人类认识无限的必要手段 由于生理的原因，人类只能看到有限时间、有限范围内的事物；只能判断、测量在一定时间段内事物的变化量与平均变化速度。要认识无限变化的事物，要确定事物瞬时变化的情况等，极限是一个有效工具。

33. 平均速度 VS 瞬时速度 时刻 t 之后 s 秒内的平均速度 =s 秒内的行走路程 d/s 时间幅度s 无限趋近于0 → 时刻 t 的瞬时速度

34. y y o o x x a a b b 直边图形面积 VS 曲边图形面积

38. 微积分研究函数的基本观点是 以静代动；以直代曲。

39. 3 如何学习数学分析 How to Study Mathematical Analysis

40. 华罗庚 方法中最主要的一个问题，就是“熟能生巧” … …。但是我这里所说的孰，并不是要大家死背定律和公式，或死记人家现成的结论… …。孰就是要掌握你所研究的学科的主要环节，要懂得前人是怎样思考和发明这些东西的。 ——华罗庚（1956年）

41. 一般来说 • 数学是做会的，不是背会的！ • 学习数学重在掌握数学思想方法，而不是简单地记住一堆数学知识（定义、定理、公式） • 信息时代的学生要实现由“学会”到“会学”的转变。

42. 数学好比一座城市，课本就是城市地图、老师则是导游员。数学好比一座城市，课本就是城市地图、老师则是导游员。 • 要想真正掌握这座“城市”，必须亲自走一走（做习题）

43. 会学的要求或标志 • 会提出问题：会怀疑、会发现、会提问、会请教 • 会寻找方法：会寻求、会探索、会选择

44. 会提出问题 有了疑问先思考，带着想法去请教。 敢于怀疑、提出不同意见，勇于发现问题，努力从旧知识中提出新问题来研究，是培养会提问题、进而增强会学本领的有效途径。

45. 会寻找方法 对老问题，从方法是怎样想出来的思考中积累经验；遇新问题，探索、寻求多种方法，对比、选择合适方法。这些是培养会找方法、进而增强会学本领的有效途径。 （最优化是数学的基本目标之一）

46. 学习数学分析的具体要求 1. 阅读教材 课前粗读（预习，了解大意，了解难点）； 课后精读（深刻理解概念本质，弄清结论因果关系及证明思想和思路，明白例题目的、解法、步骤）

47. 2. 不要缺席，认真听讲 原则上，老师在课堂上会对教学内容进行系统的讲授，尤其会把重点、难点、基本思想、基本方法、意义价值讲透。 认真听讲，在预习的基础上明白教材难点，有重点地去听，有选择地去记。

48. 3. 独立完成作业 （1）尽可能地通过画图解释问题的条件和结论，利用几何直观找出解题的方法与思路。 （2）把你的解题过程一步一步地写出来，就像你在向别人做解释一样，不允许似是而非、牵强附会、模棱两可。 （3）想一想为什么这个习题会出现在这里？为什么老师会布置它？它与课本内容或其它习题有什么关系？

49. 4. 知识、方法、思想 （1）知识：弄清概念（背景、涵义），性质（内在）、定理（外部联系）、公式。 （2）方法：运算法则、求解步骤、应用模型 。 （3）思想：概念引入、性质提炼、定理建立的原则，法则、公式成立的原理，不同对象的对比。

50. 5. 注意总结 每周周末设法用自己的语言把本周所学的内容进行梳理，用简短的语言描述其中的关键知识点，弄清知识本身的本质以及相互关系。