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Hydraulik I. W. Kinzelbach. 2. Hydrostatik. Hydrostatik. Druck und Piezometerhöhe Kräfte auf Flächen unter Wasser Unterscheidung: ebene Flächen gekrümmte Flächen Auftrieb und Schwimmen Schwimmstabilität. Druck (1). Definition Druckkraft ist normal zu der gedrückten Fläche
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Hydraulik I W. Kinzelbach 2. Hydrostatik
Hydrostatik • Druck und Piezometerhöhe • Kräfte auf Flächen unter Wasser • Unterscheidung: • ebene Flächen • gekrümmte Flächen • Auftrieb und Schwimmen • Schwimmstabilität
Druck (1) • Definition • Druckkraft ist normal zu der gedrückten Fläche • Druck ist flächenspezifische Kraft, Einheit: 1 N/m2 = 1 Pa
Druck (2) • Ein ruhendes Fluid kann keine Scherkräfte aufnehmen • Spannungen in jeder Ebene sind Normalspannungen (Druck) • Druck ist ein Skalar
Druck (3) (Druckgradient in z Richtung) (hydrostatische Druckverteilung)
Druck (4) const ist Referenzdruck, frei wählbar Absolutdruck wichtig für Kavitation, Verdampfen Relativer Druck (Überdruck) entscheidend für Strömungsvorgänge
Druck, Druckhöhe, Piezometerhöhe (1) • Druck p • Druckhöhe • Piezometerhöhe Pa mFS mFS
Druckeinheiten 1 Pa = 1 N/m2 1 mWS = 0.1 at 1 mmHgS = 1 Torr = 0.00135 mWS 1 at = 1.0197 bar 1 bar = 105 Pa
Was ist die treibende Kraft für Strömungen? A B z = 0 Nicht Differenzen in p sondern Differenzen in hp
Hydrostatisches Paradox Vergleiche Druckkraft am Boden bei gleicher Fläche und Gewicht des Wassers
Messung des Drucks (1) U-Rohr Manometer misst relativen Druck Gleichgewicht:
Messung des Drucks (2) Piezoresistiver Halbleiterdruck- aufnehmer (Pressure transducer) nutzt Widerstandsänderung bei Deformation Druckdose
Messung des Drucks (3) Bourdon‘sche Röhre Alle messen relativen Druck!
Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen A A A K=rghA K=rghA/2 K=?
Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen • Regeln: • 1) Druckkraft auf Fläche = Gewicht des Druckkörpers • = Volumen des Druckkörpers *r*g • = gedrückte Fläche * Druck im Flächenschwerpunkt • Wirkungslinie der Druckkraft geht durch den • Schwerpunkt des Druckkörpers • (nicht durch den Schwerpunkt der gedrückten Fläche!! • sondern durch ihren Druckmittelpunkt)
Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen h Druckkörper h Für ebene Flächen sind die Umrisse des Druckkörpers durch eine flächennormale Auftragung der Druckhöhe über der gedrückten Fläche gegeben.
Herleitung der Regeln (Fläche achsensymmetrisch um h-Achse) Daraus: hD
Regel 2: Allgemein • Schwerpunkt eines homogenen Körpers Für symmetrische Körper (bezüglich h-Achse): xD = 0
a b Beispiel Gesucht: F, hD b F a h a dh dA=b dh Wegen Symmetrie:
Wie findet man Jx? In Formelsammlung ist gewöhnlich das Flächenträgheitsmoment um eine Achse durch den Schwerpunkt gegeben. Das Flächenträgheitsmoment um eine beliebige, dazu parallele Achse (z.B. x-Achse) folgt aus dem Steinerschen Verschiebungssatz: x hS S
Zerlegung von Kräften (2) Horizontale Komponente Vertikale Komponente unterer Teil - oberer Teil = Resultierende
Kräfte auf gekrümmte Flächen (1) Die resultierende Kraft geht durch den Schnittpunkt der Wirkungslinien der Komponenten, der generell nicht mehr auf der gedrückten Fläche liegt.
Kräfte auf gekrümmte Flächen (2) Resultierende verläuft durch den Drehpunkt – Wasserlast bringt kein zusätzliches Moment
Kräfte auf gekrümmte Flächen (3) Oberflächennormale Auftragung zur Bestimmung der Gesamtkraft nicht mehr sinnvoll
Kräfte auf gekrümmte Flächen (4) Beispiel: b h P Gesucht: Kraft, Moment um P
Auftrieb Archimedisches Prinzip Auftrieb = Gewicht des verdrängten Fluids Angriffspunkt der Auftriebskraft: Schwerpunkt des Deplacements
Aräometer • Auftriebskraft FB = Gewicht des Aräometersist konstant • Eintauchtiefe grösser oder kleiner, je nach spezifischem Gewicht des Fluids
Schwimmen und Schwimmstabilität (1) sD sD sK sK Deplacement sK unter sD: immer schwimmstabil
Schwimmen und Schwimmstabilität (2) sK über sD
M hM SK FA FA SK O a G SV SV G Mr Schwimmen und Schwimmstabilität (3) M: Metazentrum hM: metazentrische Höhe
Schwimmen und Schwimmstabilität (4) Das entstehende Drehmoment ist A: In der Ruhelage von der Wasserlinie umschlossene Fläche hM DV SK a SV SU Stabilitätsbedingung:
f h FA G t z=0 b Schwimmen und Schwimmstabilität (5) Beispiel Quader Quaderabmessungen: b,h,l t: Tiefgang f: Freibord Quader= Q Fluid= Gesucht: Stabilitätsbedingung Lösung:
Sohlwasserdruck Welche Dichtung ist sinnvoller?
Der Operator • Nabla Operator: Definition • Schreibweise, die uns das Leben leichter macht
Vier Anwendungen • Anwendung auf Skalar: Gradient • Ergebnis der Operation: Vektor • Dieser gibt die Richtung der stärksten Abnahme des skalaren Felds p an. • Beispiel: Höhenlinien
Vier Anwendungen • Anwendung auf Vektor als Skalarprodukt: Divergenz • Ergebnis der Operation: Skalar • Die Divergenz eines Vektorfeldes gibt die Stärke einer lokalen Senke oder Quelle an • Eine erhaltene Vektorgrösse hat Divergenz 0
Vier Anwendungen • Anwendung auf Vektor als Vektorprodukt: Rotation • Ergebnis der Operation: Vektor • Die Rotation eines Vektorfeldes gibt die lokale Drehgeschwindigkeit an, mit der sich ein infinitesimaler Körper im Strömungsfeld drehen würde
Vier Anwendungen • Anwendung auf Vektor als Tensorprodukt • Ergebnis der Operation: Tensor zweiter Stufe • Der Tensor enthält die Deformation durch ein Strömungsfeld. Symm. Anteil: Drehung, assym. Anteil: Scherung