Algebra di Boole

1. Algebra di Boole Casazza Andrea 3EA I.I.S. Maserati

2. Indice • Chi é • Cosa ha fatto • Cosa serve la sua teoria • Contenuti dell’algebra di Boole • Esempi applicativi

3. Chi è Boole, George: nasce il 2 novembre 1815 a Lincoln (Lincolnshire, Gran Bretagna). George Boole muore nel 1864 a Ballintemple (County Cork, Irlanda). info

4. Cosa ha fatto Sviluppò assieme ad Auguste De Morgan la logica matematica moderna e il metodo simbolico. Boole e De Morgan costruirono l'algebra della logica (o algebrea booleana), staccando la logica dalla filosofia (Logica Aristotelica) e legandola alla matematica. info

5. Cosa serve la sua teoria Boole ha voluto sviluppare una logica basata su due simboli, mentre per esempio la matematica si basa su un sistema di dieci cifre, per sviluppare la logica con il minor numero di simboli possibili. Solo nel secolo successivo questa logica assolutamente astratta e speculativa è stata impiegata nella costruzione dei primi computer.  info

6. Porte logiche Nell'affrontare l'algebra di Boole, bisogna tener presente che siamo nella logica e non in un sistema di numerazione; la logica lavora, infatti, con due soli valori: 0 e 1 (non intesi come numeri!) Le variabili logiche sono indicate generalmente con lettere maiuscole A, B, C, ... Gli operandi principali sono tre: la negazione o NOT (¯ oppure !) la somma logica o OR ( + ) il prodotto logico o AND ( • ) info

7. Porte logicheLe possibili combinazioni tra le porte principali sono: • L'operatore NAND (cioè la negazione del risultato dell'operazione AND) • L'operatore NOR, (cioè la negazione del risultato dell'operazione OR) • L'operatore XOR (detto anche OR esclusivo) • L'operatore XNOR (cioè la negazione del risultato dell'operazione XOR) info

8. Porta logica AND L' operazione AND (letteralmente e in inglese) restituisce 1 (vero) se e solo se tutti gli operandi hanno valore 1 (vero), altrimenti restituisce 0 (falso). Nei circuiti digitali, la porta logica AND è un meccanismo comune per avere un segnale di vero se un certo numero di altri segnali sono tutti veri. info

9. Porta logica OR L' operazione logica OR (letteralmente o in inglese) restituisce 1 (vero) se almeno uno degli elementi è 1 (vero); altrimenti dicibile: OR restituisce 0 (falso) se e solo se tutti glioperandi sono 0 (falso). info

10. Porta logica NOT L'operatore NOT Restituisce il valore inverso di quello in entrata. Una concatenazione di NOT è semplificabile con un solo NOT in caso di dispari ripetizioni o con nessuno nel caso di pari. info

11. Funzioni logiche Le funzioni possono essere scritte sia in forma canonica che non. Si ha la forma canonica quando ogni termine è composto da tutte le variabili dela funzione.Es. di forma canonica: Y = ABC + A!BC + !A!BC Es. di forma non canonica: Y = ABC + A!C + AB!C (nel secondo termine è assente la variabile B). info

12. Funzione booleana In matematica, una funzione booleana è una funzione F(b1, b2, ..., bn) di un numero n di variabili booleane bi che assumono valori nello spazio booleanoB = {0, 1}, cosi come F assume valori in B. Con un insieme di n variabili esistono funzioni possibili. Le funzioni booleane sono inoltre importanti poiché sono isomorfe ai circiuti digitali cioè un circuito digitale può essere espresso tramite un’espressione booleana e viceversa, esse dunque svolgono un ruolo chiave nel progetto dei circuiti digitali, ma trovano anche applicazione nella crittografia e nelle telecomunicazioni. info

13. Funzioni booleane Le funzioni booleane fondamentali sono la AND (solitamente indicata con il segno meno: - ), la OR (solitamente indicata con il segno più: +) e la NOT (solitamente indicata con il segno ¬ ); dalla combinazione delle funzioni boolene fondamentali si ottengono tutte le altre possibili funzioni. Poiché le variabili possono assumere solo i valori 0 o 1 una funzione booleana con n variabili di input ha solo 2n combinazioni possibili e può essere descritta dando una tabella, detta tabella di verità, con 2n righe. info

14. Proprietà Le operazioni di somma e prodotto sono commutative. Per ogni coppia di elementi x ed y appartenenti all’insieme A, si ha: (x ⊕ y) = (y ⊕ x); (x ⊗ y) = (y ⊗ x) • La somma è distributiva rispetto al prodotto e questo è distributivo rispetto alla somma. Per ogni coppia di elementi x ed y appartenenti all’insieme A, si ha: (x ⊕ (y ⊗ z)) = (x ⊕ y) ⊗ (x ⊕ z); (x ⊗ (y ⊕ z)) = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z); info

15. Proprietà O è l'elemento neutro per la somma ed I è l'elemento neutro per il prodotto. Esistono due elementi O, I tali che: per ogni elemento x appartenente all’insieme A, x ⊕ O = x; x ⊗ I = x • Ogni elemento x dell'insieme A ammette un complemento x' che è unico e si indica con ∼ x. Per ogni elemento x appartenente all’insieme A, esiste un elemento x' tale che: x ⊕ x' = I; x ⊗ x' = 0 Simboli usati per il complemento sono: x' = ∼ x = x info

16. Variabili e costanti booleane Tutti i simboli matematici consueti, possono essere usati per indicare uno dei due valori booleani, (O, I); es. : A, B, C, oppure x, y, z, ....., oppure, ancora, x0, x1, x2,....... Se un simbolo è associato sempre allo stesso valore booleano, esso rappresenta una costante. Se, invece esso può assumere volta per volta l'uno o l'altro dei due possibili valori, esso rappresenta una variabile booleana. info

17. Forma canonica Abbiamo visto che è possibile esprimere le funzioni booleane tramite la sua espressione analitica oppure tramite la tabella di verità. Le funzioni booleane possono essere scritte in vari modi ma vi sono delle espressioni che vengono considerate standard. Per far ciò definiamo i mintermini e i maxtermini info

18. Mintermini Considerando una riga della tabella di verità si definisce mintermine il prodotto delle variabili booleane relative a tal riga prese in forma diretta o complementata a seconda se assumono valore 1 o 0. info

19. Maxtermini Si definisca maxtermine la somma delle variabili booleane prese in forma diretta o negata a seconda se assumono valore 0 o 1. Con n variabili abbiamo mintermini e maxtermini info

20. Teorema di De Morgan Dimostrazione del Teorema di DeMorgan tramite tabella di Verità. info

21. Mappa di Karnaugh La mappa di Karnaugh è una metodologia esatta di sintesi di reti combinatorie a uno o più livelli. Queste sono una rappresentazione di una funzione booleana in modo da mettere in evidenza le coppie di mintermini o di maxtermini a distanza di Hamming unitaria (ovvero che differiscono di un solo bit). Siccome derivano da una meno intuitiva visione multidimensionale delle funzioni booleane in campo cartesiano, le mappe di Karnaugh risultano effettivamente applicabili a funzioni fino a 5 - 6 variabili. info