Algèbre de BOOLE

1. Algèbre de BOOLE Laurent JEANPIERRE <jeanpl@iutc3.unicaen.fr> D’après le cours de Pascal FOUGERAY IUT de CAEN – Campus 3

2. Contenu du cours • Introduction • Portes logiques de base • Propriétés intéressantes • Résolution d’un problème logique • Équivalence entre circuits

3. Définitions • Algèbre binaire • Variables booléennes : ne prennent que deux valeurs VRAI ou FAUX. • Opérateurs décrits par une table de vérité • Opérateurs réalisés par des portes logiques George BOOLE (1815-1864)

4. Contenu du cours • Introduction • Portes logiques de base • Propriétés intéressantes • Résolution d’un problème logique • Équivalence entre circuits

5. Opération suiveuse (OUI) Table de Symbole Équation vérité S = X

6. Opération inverseuse (NON) Table de Symbole Équation vérité _ S = ¬X = X Remarque : La barre oblique est utilisée dans tous les symboles pour représenter la fonction de négation

7. Opération produit (ET) Table de Symbole Équation vérité S = A.B = A\B = A^B

8. Opération somme (OU) Table de Symbole Équation vérité S = A+B = A[B = A_B

9. Opération NON-ET (NAND) Table de Symbole Équation vérité ___ ____ ____ S = A.B = A\B = A^B

10. Opération NON-OU (NOR) Table de Symbole Équation vérité ____ ____ ____ S = A+B = A[B = A_B

11. Opération dilemme (OU exclusif, XOR) Table de Symbole Équation vérité S = A⊕B

12. Opération NON OU exclusif (NEXOR) Table de Symbole Équation vérité ____ S = A⊕B

13. Contenu du cours • Introduction • Portes logiques de base • Propriétés intéressantes • Résolution d’un problème logique • Équivalence entre circuits

14. Propriétés algébriques

15. Contenu du cours • Introduction • Portes logiques de base • Propriétés intéressantes • Résolution d’un problème logique • Équivalence entre circuits

16. 1 Problème  Plusieurs variables Expressions possibles : Français Table de vérité Équations Circuits logiques Exemple : Fonction majorité F(A,B,C) = 1  majorité de 1 Table de vérité Les problèmes logiques

17. Fonction Majorité (équations) Table de vérité • F = • ¬A . B . C • + A . ¬B . C • + A . B . ¬C • + A . B . C • F = A.B + A.C + B.C • F = A . (B+C) + B.C • …

18. Tableaux de Karnaugh • Représentation compacte (non unique) • Couramment utilisé pour 3/4 variables • Utilise un code de Gray • Cherche les regroupements maximaux F=1 F=¬C F=B F=D.¬B F=B.¬D F=C.D.¬B F=B.C.¬A F=A.B.C.¬D

19. Contenu du cours • Introduction • Portes logiques de base • Propriétés intéressantes • Résolution d’un problème logique • Équivalence entre circuits

20. Équivalence de circuits • Il est possible de réaliser toutes les fonctions logiques avec des NAND ou de NOR • Il suffit de remarquer que : • ¬(X . X) = ¬X et ¬(X + X) = ¬X • ¬¬X = X • A+B = ¬¬(A+B) = (¬A NAND ¬B) Loi de De Morgan • A . B = ¬¬(A . B) = (¬A NOR ¬B) Loi de De Morgan • Ce principe est utilisé dans les CPLD et les FPGA (voir le cours sur la conception).

21. Ex : XOR avec des NAND • A⊕B = A.¬B + B.¬A = ¬(¬(A.¬B) . ¬(B.¬A )) • A⊕B = (A nand ¬B) nand (B nand ¬A) • A⊕B = (A nand (A nand B)) nand (B nand (A nand B))

22. Ex : NEXOR avec des NOR