El pensamiento geométrico y la “aplicabilidad” de las matemáticas

1. El pensamiento geométrico y la “aplicabilidad” de las matemáticas

2. Algunas citas • Paul Dirac: “La matemática es la herramienta especialmente adaptada para tratar con conceptos abstractos de cualquier tipo, y no hay límites a su poder en ese ámbito”. • Einstein, El mundo como yo lo veo (1934): • “Nuestra experiencia hasta el momento justifica nuestra creencia en que la naturaleza es la realización de las más simples ideas matemáticas que cabe concebir. […] La experiencia sigue siendo, por supuesto, el único criterio de utilidad de las construcciones matemáticas. Pero el principio creativo reside en las matemáticas”. • El premio Nobel E. P. Wigner escribió Sobre la nada razonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales (1960). Y A. Einstein: “Lo más incomprensible del mundo es que resulta comprensible”.

5. El camino de la geometrización Leonardo y Durero; Galileo y Kepler: el gran libro de Natura está escrito en formas geométricas; Descartes: la física se reduce a geometría. Pero lo de Newton no...

6. Ό έ. Ergo, “homo geometricus”.

7. Inflexión: el siglo XIX • La clave: generalización y abstracción de las nociones mismas de espacio y geometría. • Doble proceso: dentro de la inicial geometría se distinguen varios estratos conceptuales o estructuras (métrica, proyectiva, afín, topológica), y simultáneamente se formulan alternativas a muchas de esas estructuras. • Dos transformaciones prácticamente a la vez, aprox. entre 1820 y 1850: • se desarrolla la geometría proyectiva con gran pujanza, • y las geometrías no-euclideas de manera algo subterránea.

8. Geometrías no euclideas Bolyai en 1823: “De la nada, he creado un nuevo universo."

9. El problema del espacio: orígenes con Descartes, el espacio absoluto de Newton vs. la visión relacional de Leibniz; intervención de Kant. • Giro completamente nuevo en el XIX, Gauss: “debemos conceder con humildad que, si el número es puramente un producto de nuestro espíritu, el espacio tiene también una realidad fuera de nuestro espíritu, y que no podemos prescribir sus leyes completamente a priori.” • Observaciones y mediciones geodésicas y astronómicas: Gauss, Riemann, Schwarzschild...

12. Geometría proyectiva • Abstracción: distancia y ángulo no se conservan bajo transformación proyectiva • Nociones controvertidas: puntos y línea en el infinito • Aspectos metodológicos: • fenómeno de dualidad, • contraste entre enfoques sintético y analítico, • desarrollo independiente de conceptos métricos. • Exigencias axiomáticas: Pasch, Hilbert, etc. • Permite fundamentar las geometrías euclidea y no-euclideas • Considerada “el todo” de la geometría en el XIX.

14. ¿Cambio de tema? Matemática de construcciones Matemática de los axiomas Euclides diagramático: Postulamos el trazar una línea recta de cualquier punto a cualquier punto. Hilbert relacional: Dados dos puntos cualesquiera, existe una recta que pasa por ambos.

15. El triángulo mágico:matemáticas, física y filosofía • “Sobre las hipótesis en que se funda la geometría”, 1854 (public. 1868) • Generaliza la geometría diferencial de Gauss. • Libera la idea de espacio, aspecto filosófico. • Aplicaciones múltiples.

16. Diagramas del espacio-tiempo y de contracción de longitudes por Minkowski. Staats- und Universitäts-bibliothek Göttingen (tomado de Scott Walter).

18. Reflexiones • Estructuras matemáticas: modelos posibles de lo real. • El aspecto misterioso: • Dialéctica entre lo real y un mundo ideal? • Juego del pensamiento y la imaginación, razón creativa? • Implicaciones educativas: • El conocimiento matemático no puede construirse sólo “desde abajo”: “sumergir” al alumno • Importancia de repasar las grandes transformaciones en la Universidad • Papel de la formación física y aplicada.

19. Fin... ¿? José Ferreirós, Noviembre 2006