RISPOSTA AL MOTO DEL SOSTEGNO

1. RISPOSTA AL MOTO DEL SOSTEGNO Il sostegno (es: terreno) si muove di moto armonico: equaz. del moto dell'oscillatore:

2. L'equazione del moto ha la stessa forma di quella relativa alla struttura eccitata dal carico armonico in cui:

3. Risposta in termini di spostamento assoluto della massa La risposta per lo stato permanente, in termini di spostamento assoluto della massa, è : rappresenta la risposta assoluta dell'oscillatore smorzato ad un moto armonico della sua base, ovvero la trasmissione del moto del sostegno all'oscillatore l'espressione è applicabile a problemi di isolamento da vibrazioni: ad esempio, isolamento di strumentazioni che debbano essere protette da vibrazioni nocive della struttura di sostegno, isolamento delle costruzioni dalle vibrazioni del terreno, essenzialmente di origine sismica

4. TRASMISSIBILITÀ: grado di isolamento relativo = rapporto fra l’ampiezza del moto dell’oscillatore e l’ampiezza del moto del supporto: Sia la trasmissibilità del moto dalla base alla struttura, sia la trasmissibilità della forza della struttura alla base, sono fornite dalla stessa funzione. Quindi la curva di trasmissibilità rappresenta entrambi i tipi di trasmissibilità.

5. Risposta in termini di spostamento relativo della massa rispetto al sostegno equazione del moto in termini di spostamento relativo tra la massa m ed il sostegno: 1 - sistema eccitato da uno spostamento armonico della base: la risposta per lo stato permanente è: 2 - sistema eccitato da una accelerazione armonica alla base: la risposta per lo stato permanente è: FUNZIONE DI TRASFERIMENTO: rapporto tra l’ampiezza della risposta del sistema e la funzione eccitatrice

6. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO: rapporto tra l’ampiezza della risposta del sistema e la funzione eccitatrice 1 - sistema eccitato da uno spostamento armonico della base: 2 - sistema eccitato da una accelerazione armonica alla base:

7. STRUMENTI A RIFERIMENTO INERZIALE (SISMICI) Strumenti in cui un solo terminale (la base dello strumento) è fissato al punto dove deve essere eseguita la misura. La massa è montata su molle ed in generale il moto è smorzato per mezzo di un fluido o di correnti elettriche.

8. Le caratteristiche del moto sono ricavate dalla misura dello spostamento relativo della massa sismica rispetto alla base dello strumento. Lo strumento può essere impiegato per misure di spostamento o di accelerazione a seconda delle caratteristiche costruttive e del campo di frequenza in cui si opera. Lo spostamento relativo tra massa sismica e base è dato dalle funzioni di trasferimento a seconda che il moto della base sia espresso in termini di spostamento o di accelerazione, in funzione di r e x.

9. la risposta è praticamente uguale al moto della base per rapporti di frequenza r > 2 e rapporti di smorzamento x  0,5. La risposta di un sistema siffatto è essenzialmente proporzionale all'ampiezza dello spostamento della base per alte frequenze. Il campo di applicabilità dello strumento aumenta col diminuire della frequenza naturale. per x 0,7il valore della risposta coincide con quello della base nel campo di frequenze 0 < r < 0,5. Quindi uno strumento così concepito dà una risposta proporzionale all'accelerazione della base.

10. Qualora si misuri la velocità relativa tra massa e base, operando al di sopra di w, si realizza un sismometro, strumento per misurare velocità relative.

11. RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE PERIODICA: SERIE DI FOURIER Per i sistemi lineari vale il principio di sovrapposizione degli effetti: se somma di un certo numero di forze eccitatrici allora la risposta è data dalla somma delle risposte alle singole eccitazioni. eccitazione periodica: si ripete uguale a uguali intervalli di tempo eccitazione armonica: è un caso particolare di eccitazione periodica

12. Ogni funzione periodica può essere rappresentata, sotto certe condizioni, da una serie di funzioni armoniche le cui frequenze sono multipli interi di una frequenza fondamentale w0. SERIE DI FOURIER frequenza fondamentale prima armonica multipli interi armoniche Una funzione periodica può essere espressa dalla Σ di un numero infinito di termini sen e cos cioè come somma di un numero infinito di funzioni armoniche.

13. ap , bp rappresentano una misura della partecipazione delle componenti armoniche cospw0t e sinpw0tnella funzione f(t). La rappresentazione in serie di Fourier evidenzia quindi le frequenze dominanti ovvero il “contenuto in frequenza” della vibrazione. La rappresentazione in serie di Fourier è possibile ammesso che gli integrali che definiscono ap e bp esistano. Per i problemi fisici che ci interessano tali integrali esistono. rappresenta il valor medio di f(t): è una costante, perciò, per sistemi lineari, la risposta all'eccitazione costante può essere trattata a parte (statica).

14. La risposta alle componenti armoniche può essere ottenuta come somma delle risposte a ciascuna componente: funzione di risposta in frequenza . quindi la risposta alla f(t) è anch'essa periodica con lo stesso periodo

15. Se il valore di pw0di una delle componenti armoniche è vicino alla frequenza naturale wdel sistema, allora quella particolare armonica tende ad essere maggiormente amplificata e quindi a fornire un contributo relativamente grande alla risposta, specialmente per bassi valori dello smorzamento. Nel caso di smorzamento nullo, se pw0= wper un certo p, allora si ha una condizione di risonanza. Quindi per un sistema non smorzato si può avere risonanza anche quando l'eccitazione non è armonica ma semplicemente periodica, purché una delle armoniche coincida con la frequenza naturale del sistema.

16. RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE NON PERIODICA NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE Nel caso di eccitazione periodica con periodo T si è visto che la risposta stazionaria, ottenuta ignorando l'eccitazione iniziale, è periodica di periodo T. Per eccitazione qualsiasi non si può parlare di risposta stazionaria e l'intera soluzione deve essere considerata transitoria. Ci sono più modi di risolvere il problema.

17. INTEGRALE DI FOURIER Consiste nel rappresentare l'eccitazione con l'integrale di Fourier, derivato dalla serie di Fourier con un procedimento al limite per il periodo T che tende a : così il primo intervallo diventa illimitato e la funzione è non periodica. Abbiamo visto che una funzione periodica di periodo T può essere rappresentata da una serie infinita di funzioni armoniche di frequenze pw0(p=0,1,2,...) dove (frequenza fondamentale). Al crescere di T, le frequenze discrete tendono ad essere sempre più vicine, fino a diventare continue, e la serie di Fourier diventa l'integrale di Fourier.

18. Le due trasformate sono chiamate rispettivamente trasformata di Fourier della f(t) mentre la f(t) è la trasformata inversa di Fourier della F(w). La seconda equazione mostra che ogni funzione arbitraria f(t) può essere descritta da un integrale che rappresenta i contributi delle componenti armoniche, aventi uno spettro di frequenze continuo da -  a +. La quantità F(w)dw può essere interpretata come il contributo alla funzione f(t) delle armoniche con frequenze nell'intervallo fra w e w +dw. La seconda eq. è la rappresentazione tramite l'integrale di Fourier di una funzione arbitraria f(t); contiene le informazioni sulla composizione in frequenza della f(t).

19. La risposta di un sistema alla f(t)può essere scritta anche questa come coppia di trasformate di Fourier: dove la trasformata di Fourier della risposta è: Le trasformate di Fourier sono di grande utilità quando interessa la composizione in frequenza piuttosto che l'andamento nel tempo della risposta.

20. TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER FFT La forma discreta è quella di maggior interesse nella pratica perché ne permette l'uso in applicazioni numeriche. Quando la funzione F(t) è nota solo in un numero finito di punti, corrispondenti ad N intervalli di tempo uguali, gli integrali sono sostituiti da Σ. T = periodo della funzione o intervallo in cui è nota la funzione intervallo di campionamento tempi di campionamento

21. L'analisi di Fourier permette di conoscere il "contenuto in frequenza" di una oscillazione; infatti, i coefficienti ap e bp rappresentano la misura dell'ampiezza di ciascuna componente armonica dell'oscillazione. Quanto maggiore è il valore del coefficiente relativo ad una certa armonica, tanto più tale armonica caratterizzerà l'oscillazione. Una rappresentazione particolarmente efficace dell'analisi di una oscillazione si ha diagrammando le ampiezze corrispondenti a ciascuna armonica in funzione della sua frequenza SPETTRO: diagramma che in ascissa riporta frequenza o periodo

22. Terremoto del Friuli 1976

23. Terremoto del Friuli 1976 spettro di Fourier dell'accelerazione