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Francisco Periago Esparza

Fundamentos Matemáticos del Método de los Elementos Finitos. Francisco Periago Esparza. Dpto. Matemática Aplicada y Estadística Universidad Politécnica de Cartagena. Esquema de la Presentación. Modelización Matemática. Mecánica de Fluidos Difusión de Calor Electromagnetismo

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Presentation Transcript

  1. Fundamentos Matemáticos del Método de los Elementos Finitos Francisco Periago Esparza Dpto. Matemática Aplicada y Estadística Universidad Politécnica de Cartagena

  2. Esquema de la Presentación Modelización Matemática • Mecánica de Fluidos • Difusión de Calor • Electromagnetismo • Elasticidad, etc. etc. Análisis Matemático:El Método Variacional • Existencia de Solución • Unicidad • Dependencia continua respecto de los datos Análisis Numérico:El Método de los Elementos Finitos • Descripción del Método • Control del Error • Simulación Numérica de Elementos Finitos con Matlab

  3. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Mecánica de Fluidos

  4. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Claude-Louis Navier(1827) Georges Stokes (1845) Ecuaciones de Navier-Stokes. Fluidos viscosos incompresibles

  5. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Difusión de Calor

  6. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Ecuación del Calor

  7. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Electrostática

  8. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA James Clerk Maxwell (1862) Ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo en el vacío

  9. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Membrana Elástica Sujeta en el Borde Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos

  10. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Robert Hooke (1678) Elasticidad Lineal. Caso Estático

  11. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Más modelos….. y ecuaciones en derivadas parciales Etc, etc, etc….

  12. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Sir Isaac Newton (1643-1727) El Laplaciano Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

  13. CONCLUSIONES I Galileo Galilei (1564-1642) La Filosofía está escrita en ese gran libro del universo, que está continuamente abierto para que lo observemos. Pero el libro no puede comprenderse sin que antes aprendamos el lenguaje y alfabeto en que está compuesto. Está escrito en ellenguaje de las matemáticasy sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sóla de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto.

  14. CONCLUSIONES II 1. La Modelización Matemática es la mejor herramienta de la que disponemos para entender buena parte de fenómenos físicos que interesan a la Ciencia y la Tecnología. 2. Estos modelos matemáticos se componen de sistemas enormemente complejos de Ecuaciones en Derivadas Parciales que fueron formulados hace muchos pero aún hoy día sigue siendo un reto resolverlos satisfactoriamente. 3. El Método de los Elementos Finitos es uno de los métodos numéricos más usados por la comunidad científica y por la industria para poder resolver numéricamente dichos modelos.

  15. SIGLO XX: AÑO 1946 Teoría de las Distribuciones (1946). Nuevos conceptos de Soluciones de las Ecuaciones en derivadas Parciales Laurent Schwartz (1915-2002) John P. Eckert y Johnn W. Mauchly contruyeron en 1946 el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), primer ordenador de la historia METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Richard Courant (1943)

  16. SIGLO XXI: Método Científico 1. Modelización Matemática 2. Análisis Matemático 3. Análisis y Simulación Numérica 4. Control, Diseño, etc…

  17. ANÁLISIS MATEMÁTICO Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos ( PM ) ( PM )NO TIENE SOLUCIÓN CLÁSICA!!

  18. ¿QUÉ SE PUEDE HACER ENTONCES? ( PM ) ( PV ) Trabajo virtual interno de deformación Trabajo virtual de las fuerzas exteriores

  19. ANÁLISIS MATEMÁTICO Paul Dirac (1902-1984)

  20. ANÁLISIS MATEMÁTICO Teoría de Distribuciones

  21. ANÁLISIS MATEMÁTICO Teoría de Distribuciones

  22. ANÁLISIS MATEMÁTICO Ejemplos de Distribuciones

  23. ANÁLISIS MATEMÁTICO La derivación es una operación válida para cualquier distribución !!!

  24. ANÁLISIS MATEMÁTICO ( PM ) ( PV )

  25. ANÁLISIS MATEMÁTICO ( PM ) ( PV ) < f,v > a(u,v)

  26. ANÁLISIS MATEMÁTICO

  27. ANÁLISIS MATEMÁTICO Formulación en Mínima Energía Principio de Mínima Energía Principio de los Trabajos Virtuales Ecuación de Euler-Lagrange

  28. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Idea General del MEF

  29. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Construcción de los Espacios de Aproximación

  30. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Construcción de los Espacios de Aproximación

  31. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS El Problema Variacional en los Espacios de Aproximación

  32. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS MEF A modo de Resumen Sistema de ecuaciones algebraico

  33. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Estructura de la Matriz de Rigidez

  34. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Simulación Numérica con Matlab

  35. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Ensamblado de la Matriz de Rigidez Ah1 Ah2 Ah3

  36. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS ( PV ) Control del Error en el MEF • Regularidad de la malla • Regularidad de la solución débil • Grado de los polinomios de interpolación

  37. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS El caso de las dimensiones 2 y 3 a(u,v) < f,v >

  38. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Función de forma en dimensión 2

  39. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Problemas Evolutivos. Ecuación del Calor Concepto de solución débil. Se ha de cumplir: Solución del problema discretizado con elementos finitos:

  40. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS incógnita matriz de masa matriz de rigidez término independiente Tras sustituir la solución del problema discretizado en la formulación variacional obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

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